Esercizi di fisica con soluzioni/La legge di Gauss


EserciziModifica

1. Guscio sfericoModifica

Una carica   è distribuita uniformemente su un guscio sferico di raggio interno   e raggio esterno  . Determinare il campo nel punto   equidistante tra le due superfici del guscio sferico e la differenza di potenziale tra le due superfici del guscio.

(dati del problema  ,  ,  . )

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2. Guscio sferico con foroModifica

Un guscio sferico isolante di spessore trascurabile di raggio   e carica   ha un piccolo foro di raggio  . La carica è distribuita con densità superficiale uniforme (se il guscio fosse conduttore la carica sarebbe non uniforme).

Tale foro non modifica la distribuzione uniforme di carica sulla sfera ed ai fini del calcolo si approssima il foro con una carica puntiforme (di valore opportuno e di segno chiaramente negativo). Determinare il campo nel centro della sfera e in che posizione dello spazio il campo elettrico è nullo. Discutere se l'approssimazione con una carica puntiforme sia giusta.

(Dati del problema  ,  ,  )

0,25m
0,05m
0,025m
0,005m
0,0025m


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3. Campo elettrico terrestreModifica

Il campo elettrostatico sulla superficie della terra in condizioni di bel tempo vale circa  , diretto verso il centro della terra. La terra che ha un raggio   è globalmente neutra, per cui fino ad una quota di   vi è una densità volumetrica approssimativemente distribuita uniformemente, tale carica deve essere eguale e contraria alla carica superficiale. Determinare a) la carica totale sulla superficie della terra, b)La differenza di potenziale tra il punto a quota   e la superficie della terra. c) la capacità equivalente della terra in senso lato.

(dati del problema  ,  ,  )

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4. Tre gusci sfericiModifica

Tre gusci sferici concentrici conduttori hanno raggi  ,   e  . Il guscio esterno ed interno sono allo stesso potenziale nullo (rispetto all'infinito). Sul guscio intermedio è depositata una carica  . Determinare la d.d.p tra il guscio intermedio e gli altri due, la capacità elettrica del sistema ed il campo elettrico massimo in valore assoluto.

(dati del problema  , suggerimento perché il potenziale sia nullo occorre che la carica totale sui tre gusci sia nulla)

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5. Nuvola cilindricaModifica

Una nuvola cilindrica di raggio   ha una densità di carica che varia con la distanza dall'asse secondo la legge:

 

Se il campo ad   vale in modulo   mentre a   vale  . Determinare il campo elettrico sul bordo della nuvola e la d.d.p. tra il bordo della nuvola ed il centro della nuvola.

(Dati del problema:  ,  ,  )

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6. Doppio stratoModifica

Un doppio strato è costituito da due regioni planari (ai fini dei conti infinite) di densità di carica   e   e di spessore d. Determinare il campo massimo e la d.d.p. tra -d e d.

(Dati del problema:  ,  )

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7. Un guscio spesso isolanteModifica

Una sfera non conduttrice di raggio   contiene una cavità sferica concentrica di raggio  . Tra   ed   è distribuita uniformemente una carica  . Determinare il valore del campo massimo ed il potenziale del centro della distribuzione di carica rispetto all'infinito.


(dati del problema  ,  ,  )

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8. Differenza di potenziale di una nuvola sfericaModifica

Una nuvola sferica carica ha un raggio   ed ha una densità di carica uniforme, la carica totale della nuvola è  . Determinare la differenza di potenziale tra il centro della nuvola ed il bordo della nuvola.

(Dati del problema:  ,  .)

La soluzione è approssimata alla prima cifra dopo la virgola.


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9. Due sfere lontaneModifica

Una sfera conduttrice isolata di raggio   viene caricata ad un potenziale rispetto all'infinito di   (e isolata dall'alimentatore). In seguito viene connessa mediante un filo ad una sfera lontana scarica di raggio la metà: Determinare il potenziale a cui si portano le sfere.

(dati del problema  ,  )

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10. Regione tra due pianiModifica

In una regione di spazio, limitata da due piani paralleli al piano cartesiano   ed infiniti, distanti   l'uno dall'altro, vi è una distribuzione di carica costante  . Calcolare il campo elettrico nella regione di spazio compresa tra i due piani e la differenza di potenziale (in modulo) tra il centro della regione di spazio ed un estremo.

(dati del problema:  ,  )

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11. Una goccia d'acquaModifica

Una goccia sferica di acqua, un conduttore liquido, su cui è presente una carica  , ha un potenziale   rispetto all'infinito.

Determinare il raggio della sfera.

(dati del problema  ,  )

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12. Una nuvola sferica caricaModifica

Una nuvola sferica carica ha un raggio  . La densità di carica è uniforme tra   ed   e vale  , mentre nel resto della nuvola (il guscio esterno restante) la densità è ancora uniforme, ma vale  . La carica totale della nuvola è nota e vale Q. Determinare il campo elettrico a distanza   dal centro della nuvola sferica. (Dati del problema:  ,  )


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13. Un corpo di massa m e caricoModifica

Un corpo di massa   e carica   si muove all'interno di una sfera di raggio   nella quale è distribuita uniformemente una carica  .

La forza esercitata è di tipo elastico (come si può dimostrare), calcolare la frequenza delle oscillazioni.

(dati del problema  ,  ,  )


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14. Giunzione p-n gradualeModifica

Una giunzione p-n tra due semiconduttori, che è rappresentabile come un doppio strato (piano) di spessore   , ha una densità di carica volumetrica che varia secondo la legge:  . Al di fuori dello strato la carica è nulla.

Determinare il campo elettrico sulla superficie dello strato e la differenza di potenziale tra i due estremi dello strato


(Dati del problema:  ,  )


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15. Nuvola sferica con due densitàModifica

Una nuvola sferica di raggio   carica ha una densità di carica   uniforme a distanza dal centro tra   ed   e diventa di segno opposto  , ma sempre uniforme tra   e  .

Determinare a) la carica   tra   e  ; b) il campo elettrico in  ; c) a che distanza dal centro (escludendo il centro e l'infinito) il campo è nullo; d) La differenza di potenziale tra il bordo della nuvola ( ) ed la regione di transizione ( ).


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16. Filo su pianoModifica

Un filo rettilineo, di lunghezza infinita, uniformemente carico, con una densità di carica lineare  , è parallelo ed è ad una distanza   da una superficie piana isolante (di spessore trascurabile) uniformemente carica con densità di carica superficiale  .

Deteminare: a) la forza per unità di lunghezza che si ha tra il filo e la superficie. b) la distanza dal piano, sulla verticale passante per il filo, per la quale il campo elettrico è nullo.

(dati del problema  ,  ,  )


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17. Moto in nuvola cilindricaModifica

Una nuvola cilindrica molto lunga (lunghezza praticamente infinita) di raggio  , ha una densità di carica uniforme pari a  . Una particella di carica   e massa   inizialmente ferma va da una posizione a distanza   dall'asse fino a  . Determinare a) l'accelerazione nel punto  , b) l'accelerazione nel punto  , 3) La velocità con cui la particella arriva nel punto  .

(dati del problema  ,  ,  ,  )


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18. Nuvola sferica con densità cubicaModifica

Una nuvola sferica di raggio  , ha una densità di carica variabile rapidamente con la distanza dal centro con legge:

 

ed una carica totale  .

Determinare: a) il valore di A; b) il valore del campo elettrico a   ; c) la differenza di potenziale tra i centro della nuvola e l'infinito.

(dati del problema  ,  )

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19. Nuvola sferica con densità variabileModifica

Una nuvola sferica di raggio   ha una densità di carica variabile radialmente secondo la legge:

 

con  .

Determinare a) la carica totale ; b) dove il campo elettrico è massimo ed il suo valore; c) la differenza di potenziale tra il centro della nuvola ed il suo bordo.

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20. Due sfereModifica

Due sfere di raggio   come in figura sono cariche uniformemente con densità di carica eguale   e sono a distanza pari a due volte il raggio. Determinare a) il valore del campo elettrico lungo l'asse delle x all'interno della sfera di destra e in particolare nel punto di coordinate  ; b) il valore del campo elettrico lungo l'asse delle y e in particolare nel punto di coordinate  ; c) la velocità minima che deve avere un protone di massa   e carica   per riuscire ad attraversare il sistema passando per l'origine delle coordinate provenendo da distanza molto grande (l'infinito).

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21. Carica dentro guscio sfericoModifica

Al centro di un guscio sferico spesso di raggio interno   e raggio esterno   è collocata una carica puntiforme  . All’interno del guscio sferico, per  , esiste una distribuzione di carica con densità di volume  , con   una costante. Il campo elettrico radiale all'interno del guscio sferico è costante in modulo.

Si determini: a) il campo elettrico sul bordo interno del guscio ; b) il valore della costante   che rende all'interno della distribuzione il campo elettrico costante in modulo; c) il valore della carica totale dell’intero sistema; d) la differenza di potenziale tra il bordo esterno ed interno del guscio sferico .

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22. Distribuzione esponenzialeModifica

Una distribuzione ha simmetria planare ed ha una densità che diminuisce esponenzialmente a partire dalla regione centrale:

 

Con  ,  .

Determinare a) il campo elettrico al centro e in  ; b) il campo elettrico a grande distanza  ; c) la differenza di potenziale tra   e  .

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23. Doppio strato separatoModifica

Due strati piani carichi di spessore   con densità di carica uniforme eguale e contraria   sono posti a distanza  . In figura è disegnato l'asse delle   e la sua origine. Determinare: a) il campo a grande distanza ; b) L'espressione del campo elettrico lungo l'asse delle x e in particolare al centro lungo al centro; c) la velocità minima che deve avere una particella di massa   e carica   per potere attraversare i due strati provenendo da grande distanza ( ) da destra nella figura.

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24 Sfera con due foriModifica

Una sfera di densità di carica uniforme   e raggio   contiene due zone prive di carica al suo interno sferiche di raggio   come indicato in figura. Determinare a) l'espressione del campo elettrico lungo l'asse delle   per  ; b) lungo l'asse delle   per  ; c) verificare che all'interno della sfera di destra la divergenza del campo elettrico sia ovunque nulla.

(dati del problema  ,  ).

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25. Guscio concentricoModifica

Una nuvola sferica isolante ha un raggio  , ha una densità di carica uniforme e una carica totale  . Concentrica con questa sfera vi è un guscio sferico metallico di raggio interno   e raggio esterno  , come mostrato in figura con una carica  .

Determinare: a) il campo a distanza   dal centro; b) la densità di carica nella superficie interna ed esterna del guscio sferico metallico; c) a che distanza dal centro il campo elettrico è massimo ed il suo valore;

d) la differenza di potenziale tra il guscio metallico e il centro.

(dati del problema  ,  ,  ,  )

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26. Nuvola cilindrica infinitamente lungaModifica

Una nuvola cilindrica infinitamente lunga e di raggio   ha una densità di carica che varia con la distanza dall'asse con la legge

 


Determinare: a) la carica per unità di lunghezza ; b) l'espressione del campo elettrico per   e in particolare ad  ; c) a che distanza dal centro il campo elettrico ha la massima intensità ed il suo valore; d) se il valore di   fosse 1.7 dove si troverebbe il massimo del campo elettrico e quale sarebbe la sua intensità?

(dati del problema  ,  ,  )

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SoluzioniModifica

1. Guscio sfericoModifica

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La densità di carica vale:

 

Quindi dal teorema di Gauss ad una distanza generica   tra   ed  :

 

 

Quindi per  :

 

mentre ovviamente la d.d.p. tra i gusci, in modulo vale:

 

2. Guscio sferico con foroModifica

→ Vai alla traccia

Il campo elettrico è quello di una superficie sferica carica con una densità di carica:

 

più una carica puntiforme posta sulla superficie esterna di carica:

 

Quindi il campo al centro è quello dovuto alla sola carica puntiforme (come direzione diretto verso il foro) e vale:

 

All'interno del guscio sferico in nessun punto il campo è nullo, all'esterno sulla retta passante per il centro del guscio sferico e per il foro vi è un punto a distanza   dalla superficie del guscio sferico per cui i campi prodotti dal guscio sferico:

 

e dalla carica puntiforme:

 

Si compensano, da cui segue con semplici passaggi che:

 

Con due soluzioni, rigettando la negativa che corrisponde a stare dentro il guscio sferico dove non vale il sistema:

 

La distanza trovata di   è chiaramente non trscurabile rispetto alle dimensioni del foro  . Quindi l'esercizio richiedeva un calcolo più sofisticato essendo la combinazione non di una carica puntiforme e di un guscio uniformemente carico, ma il caso più complesso di un disco uniformemente carico e di un guscio sferico.

3. Campo elettrico terrestreModifica

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a) Dal teorema di Coulomb:

 

Quindi:

 

b) Detta la densità di carica nell'atmosfera  , poiché lo spessore dell'atmosfera utile ai fini del calcolo   è piccolo rispetto al raggio della terra, si può approssimare il suo volume con   e quindi:

 

Quindi detta   una quota generica tra   ed  , considerando una sfera concentrica alla terra all'interno dell'atmosfera, l'applicazione del teorema di Gauss:

 

Trascurando   rispetto a   e sostituendo

 

Quindi:

 

Quindi la d.d.p. tra la quota   e la superficie della terra vale:

 

c) Quindi la capacità in senso lato vale:

 

4. Tre gusci sfericiModifica

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Chiamiamo   e   la carica sulle sfere interna ed esterna dovrà essere che:

 

Inoltre dal teorema di Gauss essendo radiale tra   ed   vale:

 

Quindi la d.d.p. tra la sfera interna e quella intermedia vale:

 

mentre tra quella esterna e quella intermedia vale:

 

Imponendo che:

 

 

Quindi

 
 

 

 

La capacità elettrica vale dunque:

 

La densità di carica sulla sfera interna vale:

 

Quindi nelle immediate vicinanze il campo vale:

 

che è il massimo campo presente nello spazio tra le sfere, è facile verificare come nelle immediate vicinanze della sfera intermedia il campo sia minore:  .

5. Nuvola cilindricaModifica

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per r<R si ha dal Teorema di Gauss, detta   l'altezza di un cilindro Gaussiano, che:

 

da cui:

 

mentre per r>R si ha dal Teorema di Gauss:

 

da cui:

 

Dai dati iniziali del problema si ha che:

 

 

Da cui:

 

 

Quindi per r=R:

 

Mentre la d.d.p. vale:


 

6. Doppio stratoModifica

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Consideriamo un solo stato e spostiamo l'origine nel suo centro come mostrato in figura. Distinguiamo tre zone di spazio. La prima è   e consideriamo un cilindro perpendicolare al piano di sezione   ed altezza   con il suo centro coincidente con il centro della regione.


Attraverso le basi del cilindro il campo è uscente e vale in modulo  . Il flusso attraverso la superficie laterale è identicamente nullo poiché il campo è parallelo alla superficie. Quindi applicando il teorema di Gauss:

 

Quindi:

 

Mentre se  :

 

Quindi:

 

 

Se la densità di carica fosse stata negativa avrei avuto:

 

 

 

Ritorniamo al problema reale facendo due cambiamenti di coordinare per   in maniera diversa tra + e -.

 

Le equazioni divengono:  

 

 

 

Le equazioni divengono:

   

 


Quindi il campo totale nelle 4 regioni di spazio diviene:

 

 

 

 

Quindi il massimo di   si ha nell'origine in cui:

 

Mentre la d.d.p. tra i due lati vale:

 

7. Un guscio spesso isolanteModifica

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Il campo elettrico, sempre radiale, si ricava dal teorema di Gauss. All'esterno della distribuzione si ha che:

 

 

Nella cavità il campo è nullo.

Mentre la densità di carica, nella regione dove è uniforme, vale:

 

Quindi applicando Gauss:

 

 

Il campo è ovviamente massimo per   dove vale:

 

   

8. Differenza di potenziale di una nuvola sfericaModifica

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Dal teorema di Gauss essendo il campo elettrico radiale la sua intensità all'interno della sfera vale:

 

Quindi:

 


9. Due sfere lontaneModifica

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La carica cui si porta la prima sfera è:

 

Dovendo portarsi allo stesso potenziale, detta   e   le cariche finali delle due sfere:

 

ma anche:

 

da cui:

 

 

Il potenziale finale (comune) vale:

 

10. Regione tra due pianiModifica

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Assunta come origine dell'asse delle   il centro e normale ai piani. Consideriamo un cilindro gaussiano di base   con asse parallelo all'asse delle   di altezza  . Applicando il teorema di Gauss, vi è flusso del campo elettrico solo attraverso le due superfici di base ed è eguale ed uscente per entrambe le superfici per cui

 

Quindi:

 

La differenza di potenziale tra il centro della distribuzione e l'estremo vale:

 

11. Una goccia d'acquaModifica

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Una sfera conduttrice con carica   genera un campo radiale di intensità, applicando il teorema di Gauss:

 

Per cui la d.d.p. tra la superficie della goccia e l'infinito: vale:

 

quindi:

 

12. Una nuvola sferica caricaModifica

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La carica totale vale:

 

quindi:

 

 


Nel guscio sferico compreso tra   e   vi è una carica:

 

Dal teorema di Gauss:

 


13. Un corpo di massa m e caricoModifica

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La densità di carica vale:

 

Dal teorema di Gauss:

 

 

L'equazione del moto per quanto riguarda la componente radiale dello spostamento vale:

 

 

Che l'equazione di un oscillatore armonico con pulsazione:

 

 

14. Giunzione p-n gradualeModifica

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Avendo il problema simmetria piana si hanno tre regioni di spazio, di cui due in cui il campo è nullo  ,   e una regione centrale   in cui in cui il campo è diverso da 0. La ragione per cui al di fuori dello strato il campo è identicamente nullo dipende dal fatto che la zona carica ha carica totale nulla, e quindi al di fuori della zona le cariche opposte da esse possedute si bilanciano completamente. All'interno della distribuzione invece non si ha un bilanciamento. Per ragioni di continuità sulle superfici dello strato il campo elettrico è nullo.

A partire da questo fatto si calcola mediante il teorema di Gauss il campo elettrico nella regione centrale. Si considera un cilindro gaussiano retto di superficie di base  . Disponiamo il cilindro con le generatrici ortogonali al piano dello strato e con una superficie all'esterno dello strato (dove il campo è nullo) e l'altra in un punto generico della regione centrale (di coordinata x), applicando il teorema di Gauss:

 

da cui imponendo che per   sia  :

 

La d.d.p. tra un estremo e il centro della distribuzione vale:

 

Si risolveva ancora più semplicemente ricorrendo al teorema di Gauss in forma locale che all'interno della nuvola si riduce in:

 

Che integrato diviene:

 

da cui imponendo che per   sia  :

 

15. Nuvola sferica con due densitàModifica

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a)

La carica totale tra   e   vale:

 

b)

La carica tra   ed   vale:

 

Quindi la carica totale tra   e   vale:

 

Quindi per il teorema di Gauss il campo elettrico all'esterno della distribuzione ( ) vale:

 

Quindi per  :

 

Cioè punta verso l'interno.

c)

Il campo è nullo nella sfera di raggio   all'interno della regione con carica negativa per cui la carica

 

è eguale ed opposta a:

 
 
 
 

d)

Dal teorema di Gauss per  :

 
 

La d.d.p. vale:

 
 

16. Filo su pianoModifica

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a) Il campo elettrico generato nella parte superiore della superficie piana, diretto verso l'alto visto il segno di  , vale:

 

Quindi la forza che agisce sulla carica   posta a distanza   vale:

 

di conseguenza, la forza attrattiva vale:

 

b) Il campo elettrico, diretto verso il filo per il segno della carica su di esso, creato a distanza   dal filo vale:

 

Tra il piano ed il filo il campo elettrico generato dalle due distribuzioni di carica sono concordi e quindi la risultante non si annulla mai. Mentre al di sopra del filo, scelta l'origine sul piano, sulla verticale del filo, si ha che  , per cui il campo risultante vale:

 

Che si annulla per:

 

Mentre sotto il piano:

 

che si annulla per:

 

17. Moto in nuvola cilindricaModifica

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Applicando il teorema di Gauss per   si ha che:

 

 

 

Applicando il teorema di Gauss per $r>R\ </math> si ha che:

 

 

 

La d.d.p. tra   e   vale:

 

La d.d.p tra   ed   vale:

 

Quindi:

 

 

18. Nuvola sferica con densità cubicaModifica

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a)

La carica in ogni guscio sferico di raggio   e spessore di   vale:

 

Quindi la carica totale vale:

 
 

b)

Applicando il teorema di Gauss ad una sfera di raggio   concentrica alla nuvola:

 

Segue che:

 

di conseguenza per  

 

c)

La differenza di potenziale tra il centro della nuvola e il bordo vale:

 

Il campo fuori della nuvola vale:

 

Quindi la d.d.p. tra il bordo della nuvola e l'infinito vale:

 

Quindi tra il centro della nuvola e l'infinito:

 

19. Nuvola sferica con densità variabileModifica

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a)

 

b)

Dal teorema di Gauss per  :

 
 

Mentre per  :

 

Notare che

 

Inoltre il campo elettrico è nullo per  , quindi all'interno della distribuzione ha un massimo, quando cioè:

 

cioè per:

 
 
 
 

c) La d.d.p. vale:

 
 

20. Due sfereModifica

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a)

La carica di una sfera positiva vale:

 

Dal teorema di Gauss il campo generato dalla sola sfera di destra è nullo al centro e vale all'interno:

 

(come all'interno di una sfera uniformemente carica ma con origine nel punto  ). Mentre quello della sfera di sinistra è semplicemente:

 

Quindi in totale:

 

In particolare per  :

 

o anche più semplicemente:

 

b)

In questo caso il campo coincide con quello di due cariche   puntiformi poste in   e  . Che generano un campo avente solo componente   (l'altra componente è nulla) che vale:

 

Quindi per  :

 

c)

La differenza di potenziale tra il centro della distribuzione e l'infinito vale:

 

Essendo:

 
 

Quindi imponendo che:

 

si ha che:

 

21. Carica dentro guscio sfericoModifica

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a)

Nella regione   dal centro vi è solo la carica puntiforme per cui:

 

Quindi:

 

b)

All'interno di una sfera gaussiana di raggio   la carica totale vale:

 

Quindi dovendo per il teorema di Gauss:

 
 

Perché quindi non dipenda da   deve essere:

 
 

c)

La carica totale vale:

 

d)

Essendo costante il campo elettrico la d.d.p. tra b ed a vale:

 

22. Distribuzione esponenzialeModifica

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a)

Al centro il campo è nullo per ragioni di simmetria, ma anche se viene usato il teorema di Gauss a una regione cilindrica simmetrica attorno al centro di altezza   risulta:

 
 

che è nullo per  .

Mentre per   vale:

 


b)

A grande distanza cioè per   si ha:

 

c)

La differenza di potenziale tra   e  :

 

Quindi se  :

 

23. Doppio strato separatoModifica

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L'unica componente del campo elettrico è lungo l'asse delle x.

a)

A grande distanza il campo è nullo in quanto la sovrapposizione di due strati carichi con carica eguale ed opposta.

b)

Per   e  :

 

Per   si ha che cresce in maniera lineare:

 

Quindi (imponendo che sia nullo per  :

 

Per   è costante:

 

Per   diminuisce linearmente:

 

c)

La differenza di potenziale tra   e   (integrando il campo elettrico tra   e  )

 

Quindi imponendo che:

 

si ha che la velocità deve essere maggiore di:

 

Si noti che se proveniva dalla direzione opposta non trova nessuna barriera.

24 Sfera con due foriModifica

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a)

Una sfera omogenea di raggio   e densità di carica uniforme  , ha in coordinate cartesiane nel punto generico all'interno di coordinate  :

 

Sovrapponendo due sfere di raggio   e densità di carica uniforme   centrate nei punti   e   si ottiene la stessa distribuzione di carica e anche lo stesso campo.

La carica totale negativa di ognuna delle sfere negative è:

 

i punti sull'asse delle z sono tutti all'esterno di tali regioni per cui (per cui generano il campo di una carica  ) e la componente lungo l'asse delle   si elidono a vicenda quindi il campo è pari a:

 
 

Funzione mostrata di lato.

b)

Lungo l'asse delle   avremo che la sfera positiva genera un campo

 

Per  , la zona a carica negativa di sinistra genera un campo:

 

Mentre la regione di destra genera un campo:

 

Quindi per   sommando i tre termini:

 

Mentre per  :

 

Funzione mostrata nella figura qui sopra.

Le componenti   ed   sono identicamente nulle lungo tale asse.

c)

Nella regione a carica nulla di destra:

 

il campo elettrico nelle sue tre componenti cartesiane può essere calcolato estendendo le formule precedenti:

 
 
 

Notiamo che le componenti   ed   sono nulle lungo l'asse delle   ma non le derivate parziali:

 
 
 

Sommando:

 

25. Guscio concentricoModifica

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a)

La carica totale è pari:

 

Quindi a distanza   dal centro il campo è radiale e vale:

 

b)

All'interno del guscio metallico il campo è nullo quindi sulla superficie interna deve essere indotta una carica eguale ed opposta a quella della nuvola isolante.

Quindi sulla superficie interna del guscio metallico la densità di carica è:

 

Mentre sulla superficie esterna per la conservazione della carica deve esserci una carica  . Quindi la densità superficiale vale:

 

c)

Per la legge di Coulomb sull'esterno del guscio metallico il campo vale:

 

Mentre sul bordo della nuvola isolante vi è il valore massimo del campo elettrico:

 

d)

la densità di carica della sfera interna è:

 

Quindi il campo per