Determinare la distanza tra i primi vicini in un cristallo di Alluminio che ha una densità di
2.75
g
/
c
m
3
{\displaystyle 2.75\ g/cm^{3}}
27
{\displaystyle 27\ }
→ Vai alla soluzione
Determinare la densità del Litio (Li) che ha una struttura cristallina b.c.c. che un peso atomico di 6.9 u.a. ed ha un passo reticolare di 0.35 nm.
→ Vai alla soluzione
Determinare la struttura del Tungsteno (W) che è un materiale cubico che ha p.m. 189 u.a.,
densità
ρ
=
19.25
g
/
c
m
3
{\displaystyle \rho =19.25\ g/cm^{3}}
a
=
0.315
n
m
{\displaystyle a=0.315\ nm}
→ Vai alla soluzione
Si usano dei raggi X di lunghezza d'onda
λ
=
0.154
n
m
{\displaystyle \lambda =0.154\ nm}
19.4
o
{\displaystyle 19.4\ ^{o}}
28
o
{\displaystyle 28\ ^{o}}
→ Vai alla soluzione
Una molecola di
N
a
+
C
l
−
{\displaystyle Na^{+}Cl^{-}}
E
l
m
=
−
e
4
π
ε
o
r
o
m
+
B
e
−
r
o
m
/
ρ
{\displaystyle E_{lm}=-{\frac {e}{4\pi \varepsilon _{o}r_{om}}}+Be^{-r_{om}/\rho }\ }
Con
E
l
m
=
−
5.44
e
V
{\displaystyle E_{lm}=-5.44\ eV}
r
o
m
=
0.228
n
m
{\displaystyle r_{om}=0.228\ nm}
Il cristallo di
N
a
+
C
l
−
{\displaystyle Na^{+}Cl^{-}}
α
=
1.6378
{\displaystyle \alpha =1.6378}
E
l
c
=
−
α
e
4
π
ε
o
r
o
c
+
6
B
e
−
r
o
c
/
ρ
{\displaystyle E_{lc}=-\alpha {\frac {e}{4\pi \varepsilon _{o}r_{oc}}}+6Be^{-r_{oc}/\rho }\ }
Con
E
l
c
=
−
4.14
e
V
{\displaystyle E_{lc}=-4.14\ eV}
r
o
c
=
0.282
n
m
{\displaystyle r_{oc}=0.282\ nm}
Determinare
ρ
{\displaystyle \rho }
B
{\displaystyle B}
→ Vai alla soluzione
→ Vai alla traccia
La massa nel S.I. di un atomo di Alluminio vale:
m
A
l
=
27
⋅
1.66
⋅
10
−
27
k
g
{\displaystyle m_{Al}=27\cdot 1.66\cdot 10^{-27}\ kg\ }
In una cella convenzionale di un reticolo cubico a facce centrate (f.c.c.), costituito da un cubo di lato
a
{\displaystyle a\ }
ρ
=
4
m
A
l
a
3
{\displaystyle \rho ={\frac {4m_{Al}}{a^{3}}}}
da cui:
a
=
4
m
/
ρ
3
=
0.402
n
m
{\displaystyle a={\sqrt[{3}]{4m/\rho }}=0.402\ nm}
La distanza tra i primi vicini nel reticolo f.c.c. dell'Alluminio:
d
=
a
2
=
0.284
n
m
{\displaystyle d={\frac {a}{\sqrt {2}}}=0.284\ nm}
→ Vai alla traccia
essendo nel b.c.c:
ρ
=
2
m
a
3
=
2
×
6.9
×
1.66
⋅
10
−
27
/
(
0.35
⋅
10
−
9
)
3
=
0.535
g
/
c
m
3
{\displaystyle \rho ={\frac {2m}{a^{3}}}=2\times 6.9\times 1.66\cdot 10^{-27}/(0.35\cdot 10^{-9})^{3}=0.535g/cm^{3}\ }
→ Vai alla traccia
Se fosse cubico semplice avrebbe una densità di:
ρ
1
=
m
a
3
=
10
g
/
c
m
3
{\displaystyle \rho _{1}={\frac {m}{a^{3}}}=10\ g/cm^{3}\ }
Se fosse bcc:
ρ
2
=
2
m
a
3
=
20
g
/
c
m
3
{\displaystyle \rho _{2}={\frac {2m}{a^{3}}}=20\ g/cm^{3}\ }
Mentre se fosse fosse fcc:
ρ
3
=
4
m
a
3
=
40
g
/
c
m
3
{\displaystyle \rho _{3}={\frac {4m}{a^{3}}}=40\ g/cm^{3}}
Quindi è bcc.
→ Vai alla traccia
G
→
2
=
4
π
a
i
^
{\displaystyle {\vec {G}}_{2}={\frac {4\pi }{a}}{\hat {i}}\ }
Se riscriviamo la legge di Bragg in funzione del reticolo reciproco:
2
k
sin
θ
2
=
|
G
2
|
{\displaystyle 2k\sin \theta _{2}=|G_{2}|\ }
essendo
k
=
2
π
/
λ
{\displaystyle k=2\pi /\lambda }
a
=
λ
sin
θ
2
=
0
,
328
n
m
{\displaystyle a={\frac {\lambda }{\sin \theta _{2}}}=0,328\ nm}
Essendo:
sin
θ
1
=
0.33
{\displaystyle \sin \theta _{1}=0.33\ }
Per quanto riguarda il reticolo se fosse un reticolo bbc (reciproco fcc):
|
G
1
|
=
2
π
a
2
{\displaystyle |G_{1}|={\frac {2\pi }{a}}{\sqrt {2}}\ }
da cui:
sin
θ
1
=
λ
a
2
=
0.33
{\displaystyle \sin \theta _{1}={\frac {\lambda }{a{\sqrt {2}}}}=0.33\ }
quindi è bcc.
Infatti se fosse stato fcc:
|
G
1
|
=
2
π
a
3
{\displaystyle |G_{1}|={\frac {2\pi }{a}}{\sqrt {3}}\ }
sin
θ
1
=
λ
3
a
2
=
0.406
{\displaystyle \sin \theta _{1}={\frac {\lambda {\sqrt {3}}}{a2}}=0.406}
→ Vai alla traccia
La parte repulsiva dell'energia di legame nella molecola:
E
r
m
=
B
e
−
r
o
m
/
ρ
=
E
l
m
+
e
4
π
ε
o
r
o
m
=
0.878
e
V
{\displaystyle E_{rm}=Be^{-r_{om}/\rho }=E_{lm}+{\frac {e}{4\pi \varepsilon _{o}r_{om}}}=0.878\ eV\ }
Mentre nel caso del cristallo, per ogni primo vicino si ha:
E
r
c
=
B
e
−
r
o
c
/
ρ
=
(
E
l
c
+
α
e
4
π
ε
o
r
o
c
)
/
6
=
0.161
e
V
{\displaystyle E_{rc}=Be^{-r_{oc}/\rho }=(E_{lc}+\alpha {\frac {e}{4\pi \varepsilon _{o}r_{oc}}})/6=0.161\ eV\ }
Quindi dividendo le due espressioni si ha che:
ρ
=
r
o
c
−
r
o
m
log
E
r
m
/
E
r
c
=
0.0319
n
m
{\displaystyle \rho ={\frac {r_{oc}-r_{om}}{\log {E_{rm}/E_{rc}}}}=0.0319\ nm\ }
B
=
E
r
m
e
r
o
m
/
ρ
=
1120
e
V
{\displaystyle B=E_{rm}e^{r_{om}/\rho }=1120\ eV\ }
![{\displaystyle a={\sqrt[{3}]{4m/\rho }}=0.402\ nm}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd28e88832c07b1df33c9a529ac92a64fca22d0b)
