Esercizi di fisica con soluzioni/Elettrostatica


EserciziModifica

1. Forza elettrica e gravitazionaleModifica

Calcolare il rapporto tra l'attrazione elettrica   tra un protone ed un elettrone e l'attrazione gravitazionale  .

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2. Quattro cariche egualiModifica

Quattro cariche eguali   sono poste su ognuno degli spigoli di un quadrato di lato   (piano  ). Determinare il modulo del campo elettrico generato da una singola carica e dall'insieme delle cariche in un punto sull'asse del quadrato a distanza   (cioè sull'asse   nel punto   se l'origine è al centro del quadrato).

(dati del problema  ,  )


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3. Tre cariche egualiModifica

Tre cariche eguali   praticamente puntiformi sono poste nel vuoto ai vertici di un triangolo equilatero di lato  . Quale carica   va posta nel centro del triangolo affinché la forza che agisce su ciascuna carica risulti nulla.?

(dati del problema  )


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4. Due sbarrette perpendicolariModifica

Due sbarrette sottili di materiale isolante, lunghe  , sono disposte perpendicolarmente tra di loro. Detta   la distanza del punto   dalla estremità delle due sbarrette. Su ciascuna sbarretta è distribuita uniformemente una carica  . Determinare l'intensita' del campo elettrico in  .

(dati del problema  ,  ,  )

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5. Dipoli differenza di potenzialeModifica

Un dipolo: due cariche   di segno opposto nel vuoto, sono poste ad una distanza  . Determinare la differenza di potenziale (rispetto all'infinito) esatta ed approssimata, in un punto a distanza  , la cui congiungente con il centro delle cariche forma un angolo di   con la congiungente delle cariche stesse.

(dati del problema  ,  ,   )

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6. Un disco uniformemente caricoModifica

Calcolare il campo elettrico generato sull'asse di un disco di raggio   posto nel vuoto su cui è distribuita uniformemente una carica  .

(dati  ,  ).

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7. Otto cariche egualiModifica

Otto cariche eguali   sono disposte sui vertici di un cubo di lato  . Assunto un sistema di riferimento con origine al centro del cubo e con assi delle coordinate paralleli agli spigoli del cubo. Determinare il campo elettrico su uno qualsiasi degli assi delle coordinate a distanza   dall'origine, confrontando tale valore con il campo calcolato approssimativamente (ipotesi di una carica puntiforme equivalente al centro). Inoltre scrivere la formula esatta per   generico.

(dati del problema:  ,  ,   )

 
 
 
 


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8. Quattro cariche di segno oppostoModifica

Sui vertici di un quadrato di lato   sono disposte delle cariche eguali in modulo  , ma di segno opposto. In maniera che vertici vicini hanno carica opposta. Determinare il modulo della forza elettrica che agisce su ogni carica.

(dati del problema  ,  )

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9. Un dipoloModifica

Un dipolo: due cariche   di segno opposto nel vuoto, sono poste ad una distanza  . Determinare il rapporto tra l'intensità esatta ed approssimata del campo elettrico ad una distanza   dal loro centro, in un punto la cui congiungente con il centro delle cariche forma un angolo di   con la congiungente delle cariche stesse.


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10. Una spira circolare caricaModifica

Calcolare il campo elettrico generato sull'asse di una spira circolare filiforme di raggio   posta nel vuoto in cui è distribuita uniformemente una carica  . Discutere i casi limite:   e  

(dati  ,  ).


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11. Un semplice quadripoloModifica

Sui vertici di un quadrato di lato   sono disposte delle cariche eguali in modulo  , ma di segno opposto. In maniera che vertici vicini hanno carica opposta.

Scrivere l'espressione del campo elettrico lungo l'asse delle  , ed in particolare calcolarne il valore per   .

(dati del problema  ,  )

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12. Una sbarretta sottile isolanteModifica

Una sbarretta sottile di materiale isolante ha una lunghezza  . Su di essa è distribuita uniformemente una carica  . Assunto un riferimento cartesiano con asse   coincidente con la direzione della sbarretta e origine nel suo centro. Trovare per quali   sono di pari intensità i campi elettrici in (d,0) e (0,d) a meno dell'1\%. (dati del problema  ,  )

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13. Tre particelle caricheModifica

Tre particelle cariche sono poste come in figura, separate da una distanza  . Le cariche   e   sono tenute ferme, da forze non elettriche, mentre la carica   soggetta alla sola forza elettrica è in equilibrio. Si determini il valore di   e la forza elettrica che agisce sulla carica  .

(dati del problema  ,  ,  )

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14. Anello caricoModifica

Su un anello di raggio   è distribuita uniformemente la carica  . Una particella di carica   viene posta con velocità nulla a distanza   dal centro. Determinare la velocità della particella quando passa per l'origine (immaginando che la particella sia vincolata a muoversi sull'asse normale al piano passante per il centro dell'anello).

(dati del problema  ,  ,   )


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15. Due dipoliModifica

Due dipoli elettrici di piccole dimensioni sono eguali e posti sullo stesso asse a distanza  . a) Determinare la forza con cui attraggono. b) Se invece l'asse del primo (a sinistra rimane lo stesso) ed il secondo viene ruotato di 90o e sono sempre posti alla stessa distanza quale è il momento della forza che il primo esercita sul secondo?

(dati del problema  ,  )


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16. Piano con foroModifica

Una particella dotata di carica   e massa   si trova in prossimità di un piano orizzontale isolante carico con densità di carica uniforme   in cui è praticato un foro circolare di raggio   e centro  .

1) Si calcoli l'altezza   rispetto a   del punto lungo l'asse del foro in cui la particella è in equilibrio.

2) Se la particella è inizialmente ferma lungo l'asse ad un'altezza   rispetto a  , osservando che la particella attraversa il centro del foro, quale sarà la sua velocità?

(Dati del problema:  ,  ,  ,  . Si intende che agiscono sulla particella sia le forze elettrostatiche che la forza peso)

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17. Due sbarre allineateModifica

Due sbarrette sottili di lunghezza   sono cariche uniformemente con una carica   e   come mostrato in figura. Le sbarrette sono disposte secondo l'asse delle   con i loro centri distanti  .

Determinare il campo generato nel centro del sistema (origine delle coordinate) e nel punto   (sull'asse delle  ). (Nel secondo punto eventualmente si può approssimare il sistema con un dipolo equivalente).

(Dati del problema  ,  ,  )


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18. Anello con distribuzione dipolareModifica

Un anello che giace nel piano x,y ed ha raggio  , ha una carica che varia lungo la circonferenza secondo la legge:

 

dove   è l'angolo con l'asse delle   per cui la carica è positiva per   e negativa per  . Determinare 1) la carica totale lungo il semianello in cui le y sono positive; 2) l'espressione del campo elettrico nei punti lungo l'asse   ed in particolare per  ; 3) il dipolo elettrico equivalente del sistema .

(dati del problema  ,  )


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19. Piano tagliatoModifica

Un piano infinito carico con una densità di carica uniforme   ha uno stretto taglio di dimensioni  . Determinare il campo generato sulla normale al taglio a grande distanza da   ( ).

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20. Goccia d'olioModifica

Una goccia sferica di olio (liquido isolante) ha una carica distribuita uniformemente al suo interno di Qo e sulla sua superficie un campo elettrico pari a Eo. Determinare a) il raggio Ro della sfera b) la differenza di potenziale tra la superficie della goccia ed il suo centro c) l'energia necessaria a creare tale distribuzione di carica e come cambia tale energia se la goccia di spezza in due frammenti identici sferici di pari densità (elettrica e di massa) separati ad una distanza molto maggiore delle loro dimensioni (praticamente all'infinito).

(dati del problema  ,  )


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21. Tre cariche sui vertici di un quadratoModifica

Su tre vertici di un quadrato di lato   sono fissate rispettivamente due cariche positive   ed una negativa   come mostrato in figura. Sul quarto spigolo   viene posta una carica  , di massa   con velocità nulla. Determinare: a) l'accelerazione della carica   nel punto   e b) la velocità con cui arriva nel punto   (sulla continuazione della diagonale del quadrato).

(Dati del problema:  ,  ,  ,  )

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22. Due cariche sui vertici di un triangoloModifica

Si consideri un triangolo rettangolo isoscele con cateti di lunghezza  . Sulla ipotenusa (asse orizzontale) ad un estremo è posta una carica puntiforme  , mentre all'estremità opposta è posta una carica   di valore variabile pari a  . Determinare sul vertice   opposto all'ipotenusa del triangolo: a) il valore delle componenti del campo elettrico nel caso in cui è massima la componente orizzontale; b) il valore delle componenti del campo elettrico nel caso in cui è massima la componente verticale; c) il valore di   per cui è minimo il modulo del campo elettrico ed il suo valore.

(Dati del problema:  ,  ,  )

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23. SemisferaModifica

Determinare il campo elettrico al centro di una semisfera di materiale isolante con pareti sottili e forma semisferica raggio   e carica  .

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24. Carica e dipoloModifica

Una carica   è posta nell'origine delle coordinate ed ad una distanza   vi è un dipolo elettrico, con momento  , orientato parallelamente alle linee del campo generato dalla carica (così da essere attratto) . Assunto come asse delle   la congiungente la carica ed il dipolo; determinare a) la forza con cui si attraggono, nell'ipotesi che le dimensioni fisiche del dipolo sia trascurabili rispetto a  ; b) il campo elettrico generato nel punto  ; c) la differenza di potenziale tra   e  .

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SoluzioniModifica

1. Forza elettrica e gravitazionaleModifica

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L'attrazione gravitazionale tra un protone ed un elettrone può essere espressa come:

 

Con   abbiamo indicato la massa del protone,

 

 

mentre con   indichiamo la massa dell'elettrone,

 

L'attrazione elettrostatica, sempre tra un protone ed un elettrone, vale:

 

Con   abbiamo indicato sia la carica del protone che la carica dell'elettrone,

 

Dato che le due forze dipendono nello stesso modo dalla distanza, il loro rapporto ne è indipendente, a qualsiasi distanza, quindi:


 

2. Quattro cariche egualiModifica

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La distanza di ogni carica dal punto dato vale:

 

Ognuna delle cariche genera un campo in modulo pari a:

 

La componente di tale campo nella direzione del piano del quadrato si annulla con quella dello spigolo opposto. Per cui solo la componente lungo l'asse del quadrato non è nulla ed eguale per tutti gli spigoli:

 

Quindi sommando i 4 contributi:

 

3. Tre cariche egualiModifica

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Al centro di ogni poligono regolare il campo elettrico è nullo per ragioni semplici di geometria. Quindi ci interessa solo la forza che agisce sugli spigoli del triangolo.

Se definiamo   e   le cariche in basso e   quella in alto disponendole come in figura. Detto   il lato del triangolo:

 

Le componenti delle due forze nella direzione   si annullano a vicenda per cui rimane solo la componente lungo   se definisco   l'angolo formato dalla verticale con i lati obliqui del triangolo. Tale angolo vale  . Quindi la componente lungo l'asse   di tali forze valgono:

 

Quindi la forza totale vale:

 

avendo sostituito a   il suo valore  .

La distanza dai vertici della carica al centro è l'ipotenusa (r) di un triangolo rettangolo con cateto   e angolo tra ipotenusa e cateto di  . Quindi:

 

Quindi la forza dovuta dalla carica al centro:

 


Affinché la forza totale sia nulla:

 

quindi:

 

4. Due sbarrette perpendicolariModifica

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Detto:

 

Il campo generato dalla prima barretta vale:

 

Per simmetria quello generato dall'altra sbarretta vale:

 

Quindi l'intensità del campo vale:  


5. Dipoli differenza di potenzialeModifica

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Assunta origine sul centro del dipolo e asse delle   coincidente con l'asse del dipolo. Le coordinate del punto valgono:

 

 

Quindi il punto dista dalla carica positiva:

 

e da quella negativa:

 

Il potenziale esatto vale:

 

Mentre quello approssimato vale:

 


6. Un disco uniformemente caricoModifica

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La densità di carica superficiale vale:

 

Seguendo la falsariga dell'esercizio sulla spira carica in cui una spira di raggio   e con carica   distribuita uniformemente sull'anello  , generava un campo su un punto generico dell'asse:

 

Se consideriamo i differenziali equivalenti:   invece di   e   invece di  . Si ha che:

 

Quindi:

 

Se   il termine   è trascurabile e quindi:

 

Mentre se   si può approssimare   facendo lo sviluppo di Taylor del termine all'interno delle parentesi quadre con:

 

quindi quando   si ha che lungo l'asse il campo vale:

 

come quello di una carica puntiforme posta sull'asse.

7. Otto cariche egualiModifica

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La distanza tra il punto e le 4 cariche vicine del cubo vale:

 

L'unica componente del campo che non si compensa tra spigolo opposti è quella lungo l'asse delle   quindi essendo il coseno dell'angolo formato con l'asse delle  :

 

Analogamente per le cariche lontane:

 

 

Quindi il valore del campo esatto, nella sola direzione  , vale:  

Mentre quello approssimato vale:

 

La formula generale vale:  

che per   grande diventa:

 

8. Quattro cariche di segno oppostoModifica

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Le due cariche vicine, generano due forze attrattive di intensità:

 

Quindi in totale, essendo a   una forza attrattiva lungo la diagonale pari a:

 

La carica più lontana, genera una forza repulsiva lungo la diagonale pari a:

 

Quindi in totale la forza è attrattiva e vale:

 


9. Un dipoloModifica

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Assunto come origine il centro delle due cariche e la loro congiungente come asse delle  , mentre la perpendicolare sul piano è l'asse delle  :   è in  ,   è in  , mentre il punto è in ( ). Quindi la distanza dalla carica negativa vale:

 

Mentre da quella positiva:

 

Il campo esatto per le componenti x vale:

 
 
 

Il campo approssimato per le componenti y vale:

 
 
 

 

Mentre quello approssimato:

 
 

Quindi:

 

Essendo:

 
 
 

per cui:

 

Quindi il rapporto vale:

 

Quindi le componenti esatte sono diverse da quelle approssimate, ma il modulo del campo elettrico è molto simile.

10. Una spira circolare caricaModifica

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La densità di carica vale:

 

Assunta come origine il centro della spira e asse delle   l'asse della spira. Il campo elettrico generato dal generico elemento   di circonferenza vale in modulo:

 

Dove:

 

Interessa calcolare solo la componente   di  . Infatti per ogni elemento   esiste una altro elemento, diametralmente opposto, che genera una componente normale all'asse   uguale ed opposta a quella generata dall'elemento considerato.

 

Detto   l'angolo formato dalla congiungente l'elementino   con il punto sull'asse e l'asse delle  . Integrando su   lungo tutta la circonferenza, e considerando che, fissato  , sia  , che   sono costanti:

 

Geometricamente è facile mostrare che:

 

Quindi:

 

Essendo:

 
 

Tale campo vale per  :

 

Inoltre:

 

Nella figura viene graficato il valore della funzione   e della espressione approssimata ottenuta ponendo all'origine una carica  

11. Un semplice quadripoloModifica

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Solo la componente   del campo elettrico è diversa da 0, in particolare le due cariche più distanti (rispetto un punto sull'asse delle   positivo) generano un campo:

 

mentre le più vicine:

 

Quindi in totale:

 

Ovviamente tale funzione vale   per  , mentre per gli altri due casi:

 
 

A grande distanza si comporta come un quadripolo il cui campo diminuisce con la quarta potenza della distanza.

12. Una sbarretta sottile isolanteModifica

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a) Detto :

 

Il campo generato dalla sbarretta nel punto (d,0), vale:


 

Nel punto (0,d) per ragioni di simmetria il campo può essere solo diretto secondo l'asse delle y, per cui:


 

Notare come a parità di distanza sempre nel punto (0,d) il campo sia inferiore al valore in (d,0).

A grande distanza i due valori coincidono e tendono a:

 

Quindi imponendo che:

 

 

Segue che la condizione viene realizzata se:

 

13. Tre particelle caricheModifica

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Il problema è unidimensionale per cui si omette il segno di vettore. Perché la forza elettrica che agisce sulla carica   sia nulla occorre che:

 

Quindi essendo:

 
 

Occorre che:

 
 

La forza elettrica che agisce sulla carica   vale (diretta da sinistra a destra):

 

Mentre quella dovuta alla carica   vale (diretta da sinistra a destra):

 

In totale quindi:

 

14. Anello caricoModifica

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La densità di carica vale:

 

Assunta come origine il centro della spira ed asse delle   l'asse della spira. La d.d.p. tra un punto a distanza   dal centro della spira vale:

 

Quindi:

 

 

Quindi:

 

 

15. Due dipoliModifica

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Scegliamo un sistema di coordinate sul centro del primo dipolo e con l'asse   diretto come l'asse del dipolo. Il campo sull'asse di un dipolo, a grande distanza dal centro, vale:

 

Quindi la derivata:

 

 

Mentre se il secondo è ortogonale alla direzione immutata del primo.

Il primo genera il campo calcolato prima che quindi produce un momento sull'altro pari a:

 

16. Piano con foroModifica

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Il campo generato dal piano lungo l'asse del foro si calcola usando il principio di sovrapposizione, infatti per quanto riguarda il piano, assunto come  , l'asse verticale:

 

Mentre, per quanto riguarda un disco di carica  :

 

Quindi in totale:

 

La condizione di equilibrio è:

 

Da cui si ricava:

 

la differenza di potenziale tra   e   vale:

 

Agendo solo forze conservative si ha:

 

Quindi:

 


17. Due sbarre allineateModifica

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Detto:

 

Se chiamiamo   la distanza generica di un elemento infinitesimo delle sbarrette dall'origine. Il campo generato, da un tratto infinitesimo della prima barretta sull'asse delle   al centro vale: Quindi genera al centro in totale:

 

Al centro l'altra sbarretta genera lo stesso campo in intensità e verso per cui:

 

In un punto generico dell'asse delle x per  : La prima sbarretta genera un campo:

 

Facendo un cambiamento di variabile:

 
 

Analogamente per l'altra sbarretta:

 

Facendo un cambiamento di variabile:

 
 

In totale quindi:

 

Mentre il dipolo equivalente vale:

 

Quindi il campo generato vale:

 

Praticamente eguale al valore approssimato.


18. Anello con distribuzione dipolareModifica

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La carica per   è quella che si ha se  :

 

Ma   e   quindi:

 

Il campo elettrico in modulo generato da un elemento dl vale:

 

 

 

 

 

 

 

Quindi nel caso di  :

 

mentre per quanto riguarda il dipolo equivalente, basta prendere due tratti infinitesimi simmetrici opposti rispetto all'asse delle  , che distano   con una carica  :

 

Ed integrare su metà della circonferenza:

 

Avendo sostituita l'espressione dell'integrale:

 

Si poteva ottenere lo stesso risultato calcolando   a grande distanza sull'asse.

19. Piano tagliatoModifica

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Il campo generato dal piano sulla verticale si calcola usando il principio di sovrapposizione: un piano infinito con densità   ed una striscia carica con densità  . Per quanto riguarda il piano, assunto come  , l'asse verticale:

 

Mentre, per quanto riguarda una striscia di larghezza   e densità di carica  , è equivalente al campo generato da un insieme di fili a distanza  , per ciascuno dei quali:

 

La componente lungo l'asse delle   di tale campo è l'unica che non si annulla per ragioni di simmetria quindi:

 
 

Se   si ha che   e quindi:

 

Quindi in totale:  


20. Goccia d'olioModifica

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Per il teorema di Gauss, il campo elettrico che attraversa una sfera di raggio  , avente lo stesso centro della goccia, è radiale e vale:

 

con Qr pari alla carica contenuta all'interno della sfera.

a)

Quindi, sulla superficie della goccia, vale:

 

 

b)

Poiché la carica è distribuita uniformemente, la densità di carica è costante, pertanto

 

per ogni r > 0, indicando con vr il volume della sfera di raggio r e con vo il volume della goccia d'olio.

 

La differenza di potenziale vale:

 

c)

Quindi la densità di carica vale:

 

Immaginiamo di costruire la goccia sferica, quando il raggio vale $r$ con  , il potenziale (rispetto all'infinito della superficie della sfera vale:

 

con  , quindi:

 

Se aggiungiamo una carica  :

 

L'energia necessaria sarà:

 

 

Se la sfera si spezza in due sfere di stessa densità:

 

 

 

21. Tre cariche sui vertici di un quadratoModifica

→ Vai alla traccia

a) Il campo elettrico generato nel punto   dalla carica   è diretto secondo la diagonale e vale:

 

quello generato dalle cariche poste sugli altri due spigoli valgono:

 

Le componenti nella direzione perpendicolare alla diagonale si annullano e rimane solo la componente lungo la diagonale (opposta a quella della carica  )

 

Quindi in totale:

 

Quindi dalla equazione di Newton l'accelerazione vale:

 

b) Il potenziale nel punto   (rispetto all'infinito) vale :

 

(il primo termine dovuto alla cariche  , l'altro dovuto alla carica  ) Il potenziale nel punto   (rispetto all'infinito) vale :

 

Quindi la differenza di potenziale tra   e  

vale:

 

Quindi:

 

 

22. Due cariche sui vertici di un triangoloModifica

→ Vai alla traccia Il campo generato dalla carica 1 ha componenti:

 

mentre quello generato dalla carica 2:

 

Quindi in totale

 
 

a)   è massimo quando   e vale:

 

mentre  .

b)   è massimo quando   e vale

 

mentre  .

c) Il modulo del campo elettrico vale:

 

che è minima quando   e vale:

 

23. SemisferaModifica

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La densità di carica è:

 

Definendo con   l'angolo tra l'asse della semisfera e il generico anello in cui possiamo dividere la superficie. Il generico anello ha un raggio   e dista dal centro della semisfera  . Quindi il generico anello ha una carica:

 

Un anello carico genera su un punto a distanza   un campo:

 

Quindi in questo caso il generico anello infinitesimo:

 

Quindi:

 

24. Carica e dipoloModifica

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a)

Un dipolo, posto nel punto di coordinate  , genera lungo il suo asse un campo pari:

 

In particolare per   (dove è la carica  ):

 

Quindi la forza attrattiva sulla carica   vale:

 

b)

Il campo generato lungo l'asse delle x per   vale:

 

Quindi se  :

 

c)

La differenza di potenziale dovuta alla carica vale:

 

La differenza di potenziale dovuta al dipolo vale:

 

Facendo un cambio di variabile  :

 

Quindi in totale: