Determinare il momento di inerzia di due sfere piene di massa e raggio , unite sulla superficie esterna, attorno ad un asse normale al congiungente i loro centri e passante per il punto di contatto.
Un pendolo fisico è costituito da un'asta sottile rigida ed omogenea di lunghezza e massa che ruota intorno al suo estremo . Sull'asta è collocata ad una distanza dall'estremo un corpo puntiforme di massa .
Si determini: a) il periodo delle piccole oscillazioni se si trova in ; b) il periodo delle piccole oscillazioni se la massa viene spostata da un estremo all'altro.
Un disco omogeneo di massa e raggio ruota liberamente attorno al proprio asse con velocità angolare . Sul disco viene azionato per un tempo un freno elettromagnetico che genera una coppia frenante di momento meccanico , dove è la velocità angolare istantanea.
Determinare: a) la velocità angolare del disco dopo l'azione del freno; b) l'energia dissipata dal freno
Un anello viene lasciato, con velocità iniziale nulla, sulla cima di un piano inclinato scabro
con un angolo rispetto alla direzione orizzontale. Determinare: a) se il moto dell'anello possa essere di puro rotolamento; b) la velocità dell'anello dopo che il suo centro
si è spostato di
Ad una carrucola di raggio e momento di inerzia rispetto al piano verticale in cui giace la carrucola e passante per il suo centro sono sospese tramite un filo
inestensibile due masse ed .
Calcolare: a) l'accelerazione delle masse; b) le tensioni dei fili; c) il tempo impiegato dalla carrucola, partendo dal sistema fermo, a fare un giro.
Un disco di raggio e massa scende srotolando un filo, che non slitta rispetto al bordo del disco. Quando arriva nel punto più basso, si è srotolato tutto il filo
ed è diminuita la quota del centro del disco di .
Determinare: a) la massima velocità angolare; b) la tensione del filo nel punto più basso; c) la tensione del filo durante la discesa (o salita a ritroso).
(Dati del problema , , ipotizzare che il filo nel punto più basso rimane in tiro.)
Una boccia (una sfera omogenea) di massa e raggio , viene lanciata tangenzialmente ad un piano orizzontale. Quando entra in contatto con il piano ha una velocità , ma senza alcuna rotazione. A causa dell'attrito ( coefficiente d'attrito dinamico), dopo un certo tempo essa inizia un moto di puro rotolamento.
Determinare: a) Il tempo ; b) l'energia dissipata dall'attrito (tra quando tocca il piano e quando incomincia a compiere un moto di puro rotolamento); c) lo spazio percorso dalla sfera prima di iniziare il moto di puro rotolamento.
(dati del problema , , , , l'attrito volvente viene trascurato)
Ad un disco pieno massa e raggio , che ha un coefficiente di attrito statico con il piano orizzontale su cui è poggiato, è applicata una coppia di momento .
E' il moto di puro rotolamento? Quale è la accelerazione del centro di massa?
Una sfera omogenea di massa e raggio , è posta su un piano orizzontale scabro di coefficiente di attrito dinamico ; inizialmente la sfera è in quiete. Viene applicato un impulso parallelo al piano orizzontale , appartenente al piano verticale che passa per il centro della sfera e la cui retta d'azione passa ad un'altezza
dal piano orizzontale. E' praticamente una palla da biliardo colpita dalla stecca sopra al centro.
Determinare: a) La velocità angolare iniziale della sfera; b) Dopo quanto tempo il moto diventa di puro rotolamento.
Una sfera di raggio ha un coefficiente di attrito volvente . Quale è la pendenza minima del piano inclinato, su cui è poggiata, per potere rotolare spontaneamente?
Una ruota è composta da due dischi metallici sottili concentrici omogenei di raggio ed . La ruota è in posizione verticale su di un piano orizzontale. Sul disco di raggio inferiore è arrotolato un filo inestensibile e di massa trascurabile a cui si applica una forza costante e parallela al piano orizzontale.
Si misura che il filo si srotola completamente una volta che la ruota ha compiuto giri completi dalla posizione iniziale nella quale la sua velocità era nulla. Sapendo che il disco di raggio minore ha massa , che quello di raggio maggiore ha massa .
Si determini nell’ipotesi di moto di puro rotolamento:
a) il valore della velocità angolare della ruota una volta che il filo si è completamente srotolato;
b) il valore del momento frenante costante da applicare alla ruota se si vuole arrestarla in un tempo pari a una volta raggiunta la velocità angolare trovata nel rispondere alla precedente domanda.
Su un piano orizzontale è posta una massa . Essa viene messa in movimento tramite
un filo che si avvolge sulla gola di una puleggia di raggio . La puleggia è messa in rotazione
dalla discesa, sotto l'azione della forza peso di una massa , a cui è collegata
da un filo avvolto su una gola di raggio (della stessa puleggia), coassiale e rigidamente fissata
alla precedente. Il momento di inerzia dell'insieme delle due pulegge vale .
Calcolare in assenza di attrito: a) Le velocità di ed dopo che è scesa di una quota ; b) Le tensioni dei due fili durante il moto;
c) quale sarebbe la velocità della massa nel caso in cui esistesse tra ed il piano un
coefficiente di attrito .
Una coppia motrice viene applicata sul mozzo di una ruota approssimabile come un disco pieno. La ruota ha massa e raggio e giace su un piano orizzontale. Il punto di contatto ha un coefficiente di attrito statico . Determinare: a) la forza di attrito tra ruota e piano; b) la distanza percorsa a partire da fermo in un tempo ; c) la massima coppia motrice applicabile .
Un argano è schematizzabile come una ruota con due gole che ruota senza attrito sul suo asse.
Un carico di massa è collegato, tramite una fune inestensibile, al raggio interno dell'argano di momento di inerzia . Sulla gola esterna, di raggio dell'argano agisce attraverso un'altra fune una forza (orizzontale). Supponendo di poter trascurare la massa dei due cavi e che gli stessi abbiano moto senza strisciamento lungo le gole, calcolare:
a) la accelerazione; b) la tensione che agisce sulla fune verticale; c) la potenza media sviluppata dalla forza se il carico viene sollevato di .
Un cilindro pieno ed omogeneo di raggio e massa viene posto in rotazione intorno al proprio asse orizzontale, con velocità angolare . In seguito il cilindro viene appoggiato su una superficie orizzontale con coefficiente di attrito dinamico . Nella prima fase il cilindro striscia sul piano, trascorso un tempo comincia il moto di puro rotolamento.
Determinare:
Un tubo di raggio interno ed esterno , lungo e densità uniforme , viene lasciato rotolare da fermo lungo
una discesa (un piano inclinato con angolo rispetto al piano orizzontale) da una altezza .
Il tubo rotola con moto di puro rotolamento.
Determinare : a) la massa del tubo; b) il momento di inerzia del tubo; c) la accelerazione nel moto in discesa; d) la accelerazione durante il moto in discesa se viene applicato anche un momento frenante di ; e) il coefficiente di attrito minimo che permette il moto di rotolamento con il momento frenante.
Un disco di raggio , massa su un piano inclinato con angolo rispetto alla direzione orizzontale a causa di una coppia applicata sul disco, sale () lungo un piano inclinato o scende . Determinare per in salita e per in discesa forza di attrito, accelerazione, accelerazione angolare. L'attrito statico tra piano inclinato e disco è di
, l'attrito dinamico è .
Una automobile di massa è messa in moto in moto da un motore che esercita un momento
su ciascuna delle due ruote motrici.
Le ruote hanno un raggio ed un momento di inerzia . Determinare la forza di attrito
che agisce sulle due ruote motrici (la strada è piana) in fase di accelerazione della automobile. Immaginare che la forza peso si scarichi in maniera eguale sulle ruote. Il coefficiente di attrito statico tra ruote e strada vale .
la condizione sull'attrito statico tra le ruote e il suolo. A causa della forza di attrito viscoso la macchina raggiunge
una velocità di regime , determinare la coppia sulle ruote motrici e la potenza del motore.
I due dischi pieni indicati in Figura sono uniti sul bordo costituendo così un sistema rigido sospeso all'estremo attorno a cui può ruotare senza attrito.
I due dischi hanno stessa massa e raggio tale che il periodo delle piccole oscillazioni del sistema attorno
al punto vale .
Determinare a) il raggio dei dischi; b) il momento di inerzia totale del sistema dei due dischi rispetto ad ; c) la velocità massima dell’estremo inferiore se il sistema viene lasciato cadere con velocità iniziale nulla dalla posizione orizzontale (cioè con il punto di contatto tra i due dischi allineato orizzontalmente con il punto ).
Uno yo-yo classico di momento di inerzia e massa è
rappresentato in figura. Attorno all'asse centrale di raggio
, (molto minore del raggio esterno del giocattolo) è avvolto un filo di lunghezza che è fissato ad una estremità in modo
tale che mentre lo yo-yo scende verticalmente, il filo si svolge. Se lo yo-yo parte da
fermo per si determini: a) la accelerazione e la tensione del filo; b) l' energia cinetica rotazionale (assumendo che la rotazione avvenga attorno al centro di massa) e quella traslazionale alla fine della discesa; c) Al termine della fase di discesa lo yo-yo continua a ruotare nella medesima direzione riavvolgendo il filo. Assumendo che nell'inversione del moto venga dissipata tutta l’energia
cinetica traslazionale, determinare l’altezza massima raggiunta).
Una piattaforma (un disco) non vincolata di massa e raggio è in quiete su di un piano orizzontale liscio quando da un suo bordo un sistema meccanico spara un proiettile (un punto materiale) di massa con velocità diretta tangenzialmente al bordo della piattaforma (si veda la figura) parallelamente all'asse delle x.
Ipotizzando il sistema meccanico di lancio come un punto materiale di massa posto sul bordo della piattaforma, si chiede di determinare in assenza di attriti (per il sistema piattaforma più lanciatore):
a) le coordinate del centro di massa, la distanza del lanciatore dal centro di massa ed il momento di inerzia dall'asse libero di rotazione;
b) dopo il lancio determinare la velocità di traslazione del centro di massa del sistema e quella angolare in modulo direzione e verso impressa dal lancio del punto materiale;
c) la velocità angolare della piattaforma nel caso in cui essa fosse vincolata a ruotare intorno al suo centro nelle stesse condizioni dinamiche indicate in precedenza.
Il punto di contatto del disco con il filo nel tratto finale si trova alla stessa quota quindi
la sua velocità rimane nulla. Rispetto a tale punto il moto è solo rotatorio.
Ed il momento di inerzia vale:
Quindi posso scrivere, che nel punto più basso l'energia è diventata solo rotazionale:
b)
La velocità del CM vale nel punto più basso:
Quindi la tensione del filo deve essere tale che:
c)
Lungo la discesa si ha che, proiettando lungo la direzione verticale e detta la tensione del filo ed la accelerazione del :
Mentre detto il momento di inerzia rispetto al , la forza peso ha braccio nullo:
La II equazione cardinale della dinamica rispetto assunto come polo il centro di massa:
Che integrata (con la condizione iniziale). ricordando che è positivo se il verso è antiorario ed l'asse delle sia scelto positivo nella direzione di :
in senso orario (segno negativo) poiché l'urto avviene al di sopra del centro di massa
(CM).
b)
Essendo
Il moto è rototraslatorio, con la rotazione in difetto rispetto alla traslazione.
Quindi l'attrito ha una funzione frenante per la traslazione, ed esercita un momento propulsivo per la rotazione
cioè
l'equazione del moto del CM:
che integrata:
Mentre la velocità angolare segue la legge:
che integrata:
Si raggiunge la condizione di puro rotolamento quando:
La prima parte si può risolvere o mediante la conservazione dell'energia:
La forza , di direzione parallela al piano orizzontale, agisce fino a che il filo è arrotolato attorno al disco di raggio minore.
Lo spostamento della. ruota compiendo 10 giri vale:
Quindi il lavoro fatto dalla forza è pari a:
Inoltre questa forza esercita un momento motore rispetto al centro della ruota. Pertanto, a sua volta, il momento compie un lavoro fino a che la forza ha la possibilità di agire sulla ruota. Il lavoro dovuto al momento ha la seguente espressione:
Quindi imponendo che:
dove si è posto: e
Quindi:
Mentre mediante la cinematica (detto f l'attrito), le equazioni cardinali sono:
Essendo un moto di puro rotolamento , quindi eliminando :
Poiché:
b)
Essendo:
se si vuole arrestare la ruota un tempo pari , applicando alla ruota un momento costante, si deve applicare un momento che provochi una decelerazione .
Le equazioni cardinali diventano (l'attrito statico diventa frenante):
Il momento della forza di attrito agisce in direzione opposta al momento frenante:
Ma continuando ad essere il moto di puro rotolamento, deve essere:
segue che eliminando dalle due equazioni cardinali:
Il momento di inerzia del I disco rispetto ad (usando il teorema di Huygens-Steiner):
Il momento di inerzia del II disco rispetto ad :
Quindi il momento di inerzia totale vale:
Il sistema costituisce un pendolo fisico con il centro di massa nel punto di contatto tra i dischi quindi
, quindi il periodo delle piccole oscillazioni vale:
Le equazioni cardinali della meccanica si riducono in questo caso a:
assunta la direzione verso il basso positiva
Dove è la tensione del filo ed la accelerazione angolare.
Eliminando da queste equazioni :
Ma poiché il cordino è fissato , quindi l'ultima equazione diviene:
la tensione del filo è:
b)
Chiamando la lunghezza del filo, applicando la conservazione dell’energia meccanica tra lo stato iniziale a velocità nulla e lo stato finale di massima elongazione dello yo-yo si ha:
Si è utilizzato , con il raggio della puleggia attorno alla quale si arrotola il filo. Di conseguenza .
Quindi l'energia rotazionale è:
Quindi l'energia cinetica traslazionale è:
La somma delle due energie è pari a quella potenziale iniziale:
c)
Viene dissipata tutta l'energia traslazionale e dalla trasformazione della energia rotazionale in energia potenziale:
Una volta effettuato il lancio del punto materiale di massa , assumendo come zero dell’asse delle ordinate il centro della piattaforma circolare, la coordinata del centro di massa del sistema vale
la distanza del lanciatore dal centro di massa:
La piattaforma ha un momento di inerzia rispetto all'asse libero di rotazione:
Quindi il sistema ha un momento di inerzia:
b)
Applicando la conservazione della quantità di moto la velocità di trascinamento del sistema:
lungo l'asse delle x.
Mentre dalla conservazione del momento angolare:
Il vettore velocità angolare è perpendicolare al piano del disco e uscente da esso.
c)
Nel caso in cui la piattaforma fosse vincolata a ruotare intorno al suo centro, il momento d’inerzia del sistema vale: