1. Oscillatore armonico semplice
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Una particella vibra di moto armonico semplice. All'istante iniziale (
t
=
0
{\displaystyle t=0}
E
0
=
2
J
{\displaystyle E_{0}=2\ J}
T
=
0.1
s
{\displaystyle T=0.1\ s}
m
=
700
g
{\displaystyle m=700\ g}
Determinare a) la costante di richiamo elastico
k
{\displaystyle k}
→ Vai alla soluzione
1. Oscillatore armonico semplice
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→ Vai alla traccia
a)
ω
=
2
π
T
=
63
r
a
d
/
s
{\displaystyle \omega ={\frac {2\pi }{T}}=63\ rad/s}
di conseguenza:
k
=
ω
2
m
=
2760
N
/
m
{\displaystyle k=\omega ^{2}m=2760\ N/m}
b)
Dovendosi conservare l'energia la massima velocità è quella
per cui tutta l'energia è cinetica:
1
2
m
v
o
2
=
2
E
o
{\displaystyle {\frac {1}{2}}mv_{o}^{2}=2E_{o}}
v
o
=
3.4
m
/
s
{\displaystyle v_{o}=3.4\ m/s}
c)
Mentre l'ampiezza di oscillazione è quella per cui tutta l'energia è potenziale:
1
2
k
x
o
2
=
2
E
o
{\displaystyle {\frac {1}{2}}kx_{o}^{2}=2E_{o}}
x
o
=
5.4
c
m
{\displaystyle x_{o}=5.4\ cm}
d)
Essendo un moto armonico posso scrivere:
x
=
x
o
cos
(
ω
t
+
φ
)
{\displaystyle x=x_{o}\cos(\omega t+\varphi )}
v
=
x
o
ω
sin
(
ω
t
+
φ
)
{\displaystyle v=x_{o}\omega \sin(\omega t+\varphi )}
dovendo essere
1
2
k
x
(
0
)
2
=
1
2
m
v
(
0
)
2
{\displaystyle {\frac {1}{2}}kx(0)^{2}={\frac {1}{2}}mv(0)^{2}}
1
2
k
x
o
2
cos
2
(
φ
)
=
1
2
m
x
o
2
ω
2
sin
2
(
φ
)
=
1
2
m
x
o
2
k
m
sin
2
(
φ
)
{\displaystyle {\frac {1}{2}}kx_{o}^{2}\cos ^{2}(\varphi )={\frac {1}{2}}mx_{o}^{2}\omega ^{2}\sin ^{2}(\varphi )={\frac {1}{2}}mx_{o}^{2}{\frac {k}{m}}\sin ^{2}(\varphi )}
da cui
tan
φ
=
1
{\displaystyle \tan {\varphi }=1}
Che ha due soluzioni la prima se si allontana dalla posizione di equilibrio
φ
=
45
o
=
π
/
4
{\displaystyle \varphi =45^{o}=\pi /4}
La seconda soluzione se si avvicina alla posizione di equilibrio:
φ
=
135
o
=
5
/
4
π
{\displaystyle \varphi =135^{o}=5/4\pi \ }
è esclusa dalla condizione iniziale.
Quindi imponendo che:
ω
t
1
+
φ
=
π
{\displaystyle \omega t_{1}+\varphi =\pi }
segue che:
t
1
=
37
m
s
{\displaystyle t_{1}=37\ ms}
