Meccanica razionale/Statica/Sistemi di forze

risultante e momento risultante

Si chiama sistema di forze l'insieme di più forze applicate ad un corpo. Chiamiamo risultante del sistema di forze il vettore ${\vec {R}}$ di componenti

(1)

$R_{x}=\sum _{i=1}^{n}F_{xi}\quad R_{y}=\sum _{i=1}^{n}F_{yi}\quad R_{z}=\sum _{i=1}^{n}F_{zi}$

essendo $F_{xi}$, $F_{yi}$ e $F_{zi}$ le componenti rispetto ai tre assi della generica forza ${\vec {F_{i}}}$.

Mentre chiamiamo momento risultante del sistema rispetto ad un punto P($x_{p},y_{p},z_{p}$) il vettore ${\vec {M}}$ di componenti

$M_{x}=\sum _{i=1}^{n}[(y_{i}-y_{p})F_{zi}-(z_{i}-z_{p})F_{yi}]$

(2)

$M_{y}=\sum _{i=1}^{n}[(z_{i}-z_{p})F_{xi}-(x_{i}-x_{p})F_{zi}]$

$M_{z}=\sum _{i=1}^{n}[(x_{i}-x_{p})F_{yi}-(y_{i}-y_{p})F_{xi}]$

Essendo $x_{i}$, $y_{i}$, $z_{i}$ le coordinate del punto di applicazione $A_{i}$ della generica forza ${\vec {F_{i}}}$.

Sistemi di forze particolari

Sistemi di forze coordinate in un punto (teorema di Varignon)

Se tutte le forze concorrono in un punto $\ A$, la risultante passa per $\ A$, mentre il momento risultante rispetto ad un punto $\ P$ coincide con il momento della risultante. Invero dalle (2), essendo tutti i punti di applicazione delle forze coincidenti con il punto $\ A$, si ottiene

$M_{x}=(y_{A}-y_{p})\sum _{i=1}^{n}F_{zi}-(z_{A}-z_{p})\sum _{i=1}^{n}F_{yi}$ $M_{y}=(z_{A}-z_{p})\sum _{i=1}^{n}F_{xi}-(x_{A}-x_{p})\sum _{i=1}^{n}F_{zi}$ $M_{z}=(x_{A}-x_{p})\sum _{i=1}^{n}F_{yi}-(y_{A}-y_{p})\sum _{i=1}^{n}F_{xi}$

Ricordando le (1) rimane immediatamente dimostrato il teorema.

sistema nullo

Si dice che il sistema di forze è nullo allorquando accade:

${\vec {R}}=0$

${\vec {M}}=0$ (rispetto ad un polo qualsiasi)

Sistemi di forze parallele

Se tutte le forze costituenti il sistema sono parallele ad una retta r data, il sistema gode di particolari proprietà. In quanto il modulo del risultante è dato direttamente dalla somma delle ${\vec {|F|}}$

${\vec {|R|}}=\sum {\vec {|F|}}$

ed è diretto come la retta $\ r$ cioè

${\vec {R}}=\sum {\vec {|F|}}{\vec {r}}$

Inoltre il momento risultante ha sole due componenti rispetto a due assi giacenti sul piano normale ad $\ r$. Per cui nel caso particolare cka la retta $\ r$ coincide con l'asse $\ z$, si ottiene:

$\ R_{x}=0\qquad R_{y}=0\qquad R_{z}=\sum _{i=1}^{n}F_{i}$ $\ M_{x}=\sum _{i=1}^{n}F_{i}y_{i}\qquad M_{y}=-\sum _{i=1}^{n}F_{i}x_{i}\qquad M_{z}=0$

Centro di forze parallele

Le forze parallele ammettono sempre un centro $\ G$ le cui coordinate sono date da:

$x_{G}={\frac {\sum _{}f_{i}x_{i}}{\sum _{}f_{i}}}$

$y_{G}={\frac {\sum _{}f_{i}y_{i}}{\sum _{}f_{i}}}$

$z_{G}={\frac {\sum _{}f_{i}z_{i}}{\sum _{}f_{i}}}$

Il centro di dette forze ha le seguenti proprietà:

1. Esso non dipende dalla direzione delle forze, ma solo dai punti di applicazione.
2. Il punto $\ G$ non varia se si alterano tutte le forze in un rapporto costante.

Sistemi di forze non complanari

Si abbia un sistema di forze non complanari. Si dimostra che questo sistema è sempre riducibile ad un sistema equivalente. Si chiama sistema equivalente di uno dato, quello che ha lo stesso momento risultante rispetto ad un punto di quello dato. Cioè l'insieme del sistema dato e di quello equivalente cambiato di segno devono formare un sistema nullo di forze.Il sistema equivalente di un sistema di forze comunque nello spazio è dato, scelto un punto $\ G$ qualunque, da una forza applicata in $\ G$ La forza applicata in $\ G$ e da una coppia. La forza applicata in $\ G$ è il risultante del sistema ed ha quindi componenti rispetto a tre assi fissi, se $F_{xi}$ ed $F_{yi}$ ed $F_{zi}$ sono le componenti della generica forza ${\vec {F_{i}}}$, applicata in $A_{i}$, date da:

$R_{x}=\sum _{i=1}^{n}F_{xi}$ $R_{y}=\sum _{i=1}^{n}F_{yi}$ $R_{z}=\sum _{i=1}^{n}F_{zi}$

La coppia ha invece intensità data dal momento di tutte le forze rispetto al punto di riduzione $\ G$. Infatti l'intensità di una coppia di forze è data dal suo momento vettoriale espresso da:

${\vec {M}}={\vec {|F|}}\cdot {d}\cdot {\vec {n}}$

Essendo ${\vec {n}}$ la normale al piano della coppia orientata verso l'alto o verso il basso, a seconda che la coppia sia antioraria od oraria. Per cui le componenti della coppia sono date, rispetto a tre assi, da:

$M_{x}=\sum _{i=1}^{n}[(y_{i}-y_{G})F_{zi}-(z_{i}-z_{G})F_{yi}]$

$M_{y}=\sum _{i=1}^{n}[(z_{i}-z_{G})F_{xi}-(x_{i}-x_{G})F_{zi}]$

$M_{z}=\sum _{i=1}^{n}[(x_{i}-x_{G})F_{yi}-(y_{i}-y_{G})F_{xi}]$

Essendo $\ x_{i},\ y_{i},\ z_{i}$ le coordinate del punto di applicazione della generica forza $\ F_{i}$ .