Meccanica razionale/Richiami di calcolo vettoriale

Figura 1

Definizione di vettore

Un vettore è una grandezza definita dalle seguenti entità:

• modulo
• direzione
• verso

Consideriamo la figura 1: diremo che il modulo è rappresentato dalla distanza AB, la direzione è individuata dalla direzione della retta passante per A, B ed il verso è quello che va da A verso B.

Rappresentazione cartesiana

Scelta a piacere una terna cartesiana ortogonale (O, x, y, z) chiameremo componenti del vettore:

${\vec {v}}(AB)$

lungo x, y, z le seguenti quantità:

${\begin{vmatrix}v_{x}=x_{B}-x_{A}\\v_{y}=y_{B}-y_{A}\\v_{z}=z_{B}-z_{A}\end{vmatrix}}$

Il modulo di questo vettore è dato dalla seguente quantità:

$|{\vec {v}}|={\overline {AB}}={\sqrt[{2}]{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}$

L'orientamento del vettore, cioè direzione e verso, rimane completamente individuato dai coseni direttori:

$\alpha ={v_{x} \over {\sqrt[{2}]{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}}$

$\beta ={v_{y} \over {\sqrt[{2}]{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}}$

$\gamma ={v_{z} \over {\sqrt[{2}]{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}}$

Vettori unitari

Chiamasi vettore unitario o versore, il vettore avente modulo $|{\vec {v}}|=1$, e poiché:

$v_{x}=|{\vec {v}}|\alpha \qquad v_{y}=|{\vec {v}}|\beta \qquad v_{z}=|{\vec {v}}|\gamma$

si vede che le componenti del vettore unitario sono i coseni direttori stessi.

Definiamo come i tre vettori unitari fondamentali, i tre vettori unitari che hanno l'orientamento dei tre assi cartesiani $\ x,\ y,\ z$ e li individuiamo rispettivamente in ${\vec {i}},{\vec {j}},{\vec {k}}.$

Operazioni sui vettori

Somma

Dati $\ n$ vettori e scelto ad arbitrio il punto $\ O$ costruiamo la poligonale (in generale, sghemba), $\ OE_{1}E_{2}....E_{n}$ con la condizione che $\ E_{1}$ sia l'estremo del vettore ${\vec {v}}_{1}$ applicato in $\ O$, $\ E_{2}$ l'estremo del vettore ${\vec {v}}_{2}$ applicato in $\ E_{1}$, allora chiameremo risultato o somma dei ${\vec {v}}_{1},{\vec {v}}_{2}...{\vec {v}}_{n}$ il vettore ${\vec {OE_{n}}}\equiv {\vec {R}}$

Nella rappresentazione cartesiana si ottiene:

$\ R_{x}=\sum v_{x}$

$\ R_{y}=\sum v_{y}$

$\ R_{z}=\sum v_{z}$

Prodotto scalare

Si definisce come prodotto scalare fra due vettori ${\vec {v}},{\vec {w}}$ la quantità scalare:

$|{\vec {v}}|\times |{\vec {w}}|\cos({\vec {v}},{\vec {w}})$

Nella rappresentazione cartesiana ${\vec {v}}(v_{x},v_{y},v_{z})$ e ${\vec {w}}(w_{x},w_{y},w_{z}):$

${\vec {v}}\times {\vec {w}}=v_{x}w_{x}+v_{y}w_{y}+v_{z}w_{z}$

e ricordando che i coseni direttori sono:

$\alpha _{1}={v_{x} \over {\sqrt[{2}]{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}}\qquad \alpha _{2}={w_{x} \over {\sqrt[{2}]{w_{x}^{2}+w_{y}^{2}+wz^{2}}}}$

$\beta _{1}={v_{y} \over {\sqrt[{2}]{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}}\qquad \beta _{2}={w_{y} \over {\sqrt[{2}]{w_{x}^{2}+w_{y}^{2}+w_{z}^{2}}}}$

$\gamma _{1}={v_{z} \over {\sqrt[{2}]{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}}\qquad \gamma _{2}={w_{z} \over {\sqrt[{2}]{w_{x}^{2}+w_{y}^{2}+w_{z}^{2}}}}$

per cui:

${\vec {v}}\times {\vec {w}}=|{\vec {v}}||{\vec {w}}|(\alpha _{1}\alpha _{2}+\beta _{1}\beta _{2}+\gamma _{1}\gamma _{2})$

Il polinomio $\ \alpha _{1}\alpha _{2}+\beta _{1}\beta _{2}+\gamma _{1}\gamma _{2}$ è, il coseno dell'angolo fra le direzioni di ${\vec {v}}$ e ${\vec {w}}$; da questo è quindi facile vedere che se ${\vec {v}}\perp {\vec {w}}$ il prodotto scalare ${\vec {v}}\times {\vec {w}}=0$ in quanto $\ \alpha _{1}\alpha _{2}+\beta _{1}\beta _{2}+\gamma _{1}\gamma _{2}=0$

Prodotto vettoriale

Per quanto abbiamo detto precedentemente se $\ v_{x},\ v_{y},\ v_{z}$ sono le componenti di ${\vec {v}}$, e ${\vec {i}},{\vec {j}},{\vec {k}}$ sono i vettori fondamentali unitari, possiamo scrivere:

${\vec {v}}=\ v_{x}{\vec {i}}+v_{y}{\vec {j}}+v_{k}{\vec {k}}$

Premesso ciò, si definisce prodotto vettoriale o vettore, fra due vettori ${\vec {v}}$ e ${\vec {w}}$, il vettore definito nella seguente maniera:

${\vec {v}}\wedge {\vec {w}}=|{\vec {v}}||{\vec {w}}|\sin({\vec {v}},{\vec {w}})\cdot {\vec {n}}$

Il versore ${\vec {n}}$ determina la direzione del prodotto vettoriale, normale al piano formato da ${\vec {v}}$ e ${\vec {w}}$.

Prodotto misto e prodotto vettoriale doppio

Si definisce prodotto misto dati tre vettori ${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {d}}$

${\vec {a}}\times ({\vec {b}}\wedge {\vec {d}})$

che è una quantità scalare. Il prodotto misto si annulla se ${\vec {a}}$ è parallelo a ${\vec {b}}$ o a ${\vec {d}}.$

${\vec {a}}\times ({\vec {b}}\wedge {\vec {d}})=\qquad {\begin{vmatrix}a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\\d_{x}&d_{y}&d_{z}\end{vmatrix}}$

Valgono le seguenti proprietà commutatrici:

${\vec {a}}\times ({\vec {b}}\wedge {\vec {d}})={\vec {b}}\times ({\vec {d}}\wedge {\vec {a}})={\vec {d}}\times ({\vec {a}}\wedge {\vec {b}})$

Si definisce il prodotto vettoriale doppio il vettore:

${\vec {a}}\wedge ({\vec {b}}\wedge {\vec {d}})=({\vec {d}}\times {\vec {a}})\cdot {\vec {b}}-({\vec {b}}\times {\vec {a}})\cdot {\vec {d}}$

Infatti ${\vec {d}}\times {\vec {a}}$ e ${\vec {b}}\times {\vec {a}}$ sono numeri che moltiplicati rispettivamente per i vettori ${\vec {b}}$ e${\vec {d}}$ danno dei vettori.

In coordinate cartesiane si può scrivere sinteticamente:

${\begin{vmatrix}{\vec {i}}&{\vec {j}}&{\vec {k}}\\a_{x}&a_{y}&a_{z}\\{\begin{vmatrix}b_{y}&b_{z}\\d_{y}&d_{z}\end{vmatrix}}&{\begin{vmatrix}b_{z}&b_{x}\\d_{z}&d_{x}\end{vmatrix}}&{\begin{vmatrix}b_{x}&b_{y}\\d_{x}&d_{y}\end{vmatrix}}\end{vmatrix}}$

Prodotto vettore dei vettori unitari fondamentali

Si ottengono le seguenti formule:

${\begin{cases}{\vec {j}}\wedge {\vec {k}}={\vec {i}}\\{\vec {k}}\wedge {\vec {i}}={\vec {j}}\\{\vec {i}}\wedge {\vec {j}}={\vec {k}}\end{cases}}$

Vettori applicati

Si chiama vettore applicato, un qualsiasi vettore ${\vec {v}}$ applicato in un determinato punto $\ A$ dello spazio.

-Chiamasi coppia l'insieme di due vettori aventi modulo uguale e rette di applicazione parallele a versi opposti. La distanza $\ d$ fra le due rette è chiamata braccio della coppia.

b)

Momento di un vettore rispetto ad un punto.

Il momento di un vettore applicato rispetto ad un punto è il vettore definito nella seguente maniera. Se $\ B$ è il punto rispetto al quale si vuole calcolare il momento, dicesi momento di $\ (A,{\vec {v}})$ rispetto a $\ B$ il vettore che ha per modulo:

$\ |m_{b}|=AB\times |{\vec {v}}|\ sin\theta$

e direzione normale al piano ${\vec {BA}}$ e ${\vec {v}}$.

Il verso è definito quello di un osservatore che giacente lungo la normale al piano di $\ {\vec {BA}}$ e $\ {\vec {v}}$ vede ${\vec {BA}}$ andare verso ${\vec {v}}$ con senso indicato dalla regola della mano destra.

Differenziazione ed integrazione di vettori

Differenziazione

Una funzione vettoriale di una o più variabili scalari è generalmente chiamata campo vettoriale. La derivata di una funzione vettoriale ${\vec {F}}$ di una sola variabile $\ t$ è definita da:

${d{\vec {F}}(t) \over dt}=\lim _{\Delta \to 0}{{\vec {F}}(t+\Delta t)-{\vec {F}}(t) \over \Delta t}=\lim {\Delta {\vec {F}}{(t)} \over dt}$.

Ora durante l'incremento $\ \Delta (t)$ il vettore $\ {\vec {F}}$ può cambiare semplicemente in direzione, restando il suo modulo inalterato. Ed allora avremo:

$\ {\vec {F}}\times \Delta {\vec {F}}={\vec {F}}\times d{\vec {F}}=0.$

Ovvero può variare il modulo, rimanendo la direzione inalterata. E questo può essere espresso sinteticamente da:

${\vec {F}}\wedge d{\vec {F}}=0$

Regole di differenziazione

$\ d({\vec {A}}+{\vec {B}})=d{\vec {A}}+d{\vec {B}}$

$\ d({\vec {A}}\times {\vec {B}})={\vec {A}}\times d{\vec {B}}+{\vec {B}}\times d{\vec {A}}$

$\ d({\vec {A}}\wedge {\vec {B}})=d{\vec {A}}\wedge {\vec {B}}+{\vec {A}}\wedge d{\vec {B}}={\vec {A}}\wedge d{\vec {B}}-{\vec {B}}\wedge d{\vec {A}}$

Operatori differenziali

Vogliamo ricordare brevemente i principali operatori differenziali che si usano nei vari campi della Meccanica.
Si definisce l'operatore differenziale $\ \nabla$ il vettore:

$\ {\vec {\nabla }}={\vec {i}}{\partial \over \partial x}+{\vec {j}}{\partial \over \partial y}+{\vec {k}}{\partial \over \partial z}$

mentre l'operatore differenziale "Laplaciano" definito da:

$\ \nabla ^{2}={\partial ^{2} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial z^{2}}$

è uno scalare.

Se $\ V(P)$ e una funzione scalare dei punti dello spazio $\ V(x,y,z)$ si chiama gradiente di $\ V$ o $\ grad$ $\ V$ il vettore:

${\vec {\nabla }}\ V={\vec {i}}\ {\partial V \over \partial x}+{\vec {j}}\ {\partial V \over \partial y}+{\vec {k}}\ {\partial V \over \partial z}$

Se ${\vec {A}}$ è una funzione vettoriale con componenti $\ A_{x},\ A_{y},\ A_{z}$ si chiama divergenza di ${\vec {A}}$ la quantità scalare:

$\ div{\vec {A}}={\vec {\nabla }}\cdot {\vec {A}}={\partial A_{x} \over \partial x}+{\partial A_{y} \over \partial y}+{\partial A_{z} \over \partial z}$

Sempre nel caso che $\ {\vec {A}}$ sia una funzione vettoriale di componenti $\ A_{x},\ A_{y},\ A_{z}$ si chiama rotore di $\ {\vec {A}}$ il vettore definito da:

$\ rot{\vec {A}}={\vec {\nabla }}\wedge {\vec {A}}={\begin{vmatrix}{\vec {i}}&{\vec {j}}&{\vec {k}}\\{\partial \over \partial x}&{\partial \over \partial y}&{\partial \over \partial z}\\A_{x}&A_{y}&A_{z}\end{vmatrix}}=$

${\vec {i}}({\partial A_{z} \over \partial y}-{\partial A_{y} \over \partial z})+{\vec {j}}({\partial A_{x} \over \partial z}-{\partial A_{z} \over \partial x})+{\vec {k}}({\partial A_{y} \over \partial x}-{\partial A_{x} \over \partial y})$

N.B. Notare la differenza tra operatori vettoriali (aventi le componenti moltiplicate dai versori) e gli operatori scalari (privi di un versore associato)