Meccanica razionale/Richiami di calcolo vettoriale

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Figura 1

Definizione di vettoreModifica

Un vettore è una grandezza definita dalle seguenti entità:

  • modulo
  • direzione
  • verso

Consideriamo la figura 1: diremo che il modulo è rappresentato dalla distanza AB, la direzione è individuata dalla direzione della retta passante per A, B ed il verso è quello che va da A verso B.

Rappresentazione cartesianaModifica

Scelta a piacere una terna cartesiana ortogonale (O, x, y, z) chiameremo componenti del vettore:

 

lungo x, y, z le seguenti quantità:

 

Il modulo di questo vettore è dato dalla seguente quantità:

 

L'orientamento del vettore, cioè direzione e verso, rimane completamente individuato dai coseni direttori:

 
 
 

Vettori unitariModifica

Chiamasi vettore unitario o versore, il vettore avente modulo  , e poiché:

 

si vede che le componenti del vettore unitario sono i coseni direttori stessi.

Definiamo come i tre vettori unitari fondamentali, i tre vettori unitari che hanno l'orientamento dei tre assi cartesiani   e li individuiamo rispettivamente in  

Operazioni sui vettoriModifica

SommaModifica

Dati   vettori e scelto ad arbitrio il punto   costruiamo la poligonale (in generale, sghemba),   con la condizione che   sia l'estremo del vettore   applicato in  ,   l'estremo del vettore   applicato in  , allora chiameremo risultato o somma dei   il vettore  

Nella rappresentazione cartesiana si ottiene:

 
 
 

Prodotto scalareModifica

Si definisce come prodotto scalare fra due vettori   la quantità scalare:

 

Nella rappresentazione cartesiana   e  

 

e ricordando che i coseni direttori sono:

 
 
 

per cui:

 

Il polinomio   è, il coseno dell'angolo fra le direzioni di   e  ; da questo è quindi facile vedere che se   il prodotto scalare   in quanto  

Prodotto vettorialeModifica

Per quanto abbiamo detto precedentemente se   sono le componenti di  , e   sono i vettori fondamentali unitari, possiamo scrivere:

 

Premesso ciò, si definisce prodotto vettoriale o vettore, fra due vettori   e  , il vettore definito nella seguente maniera:

 

Il versore   determina la direzione del prodotto vettoriale, normale al piano formato da   e  .

Prodotto misto e prodotto vettoriale doppioModifica

Si definisce prodotto misto dati tre vettori  

 

che è una quantità scalare. Il prodotto misto si annulla se   è parallelo a   o a  

 

Valgono le seguenti proprietà commutatrici:

 

Si definisce il prodotto vettoriale doppio il vettore:

 

Infatti   e   sono numeri che moltiplicati rispettivamente per i vettori   e  danno dei vettori.

In coordinate cartesiane si può scrivere sinteticamente:

 

Prodotto vettore dei vettori unitari fondamentaliModifica

Si ottengono le seguenti formule:

 

Vettori applicatiModifica

Si chiama vettore applicato, un qualsiasi vettore   applicato in un determinato punto   dello spazio.

-Chiamasi coppia l'insieme di due vettori aventi modulo uguale e rette di applicazione parallele a versi opposti. La distanza   fra le due rette è chiamata braccio della coppia.
b)
Momento di un vettore rispetto ad un punto.
Il momento di un vettore applicato rispetto ad un punto è il vettore definito nella seguente maniera. Se   è il punto rispetto al quale si vuole calcolare il momento, dicesi momento di   rispetto a   il vettore che ha per modulo:
 
e direzione normale al piano   e  .

Il verso è definito quello di un osservatore che giacente lungo la normale al piano di   e   vede   andare verso   con senso indicato dalla regola della mano destra.

Differenziazione ed integrazione di vettoriModifica

DifferenziazioneModifica

Una funzione vettoriale di una o più variabili scalari è generalmente chiamata campo vettoriale. La derivata di una funzione vettoriale   di una sola variabile   è definita da:

 .

Ora durante l'incremento   il vettore   può cambiare semplicemente in direzione, restando il suo modulo inalterato. Ed allora avremo:

 

Ovvero può variare il modulo, rimanendo la direzione inalterata. E questo può essere espresso sinteticamente da:

 

Regole di differenziazioneModifica

 
 
 

Operatori differenzialiModifica

Vogliamo ricordare brevemente i principali operatori differenziali che si usano nei vari campi della Meccanica.
Si definisce l'operatore differenziale   il vettore:

 

mentre l'operatore differenziale "Laplaciano" definito da:

 

è uno scalare.


Se   e una funzione scalare dei punti dello spazio   si chiama gradiente di   o     il vettore:

 

Se   è una funzione vettoriale con componenti   si chiama divergenza di   la quantità scalare:

 

Sempre nel caso che   sia una funzione vettoriale di componenti   si chiama rotore di   il vettore definito da:

 
 

N.B. Notare la differenza tra operatori vettoriali (aventi le componenti moltiplicate dai versori) e gli operatori scalari (privi di un versore associato)