Meccanica razionale/Cinematica/Moto relativo

Indice del libro

Teorema di CoriolisModifica

Consideriamo un punto P in moto nello spazio, e supponiamo che il moto del punto sia individuato dalla conoscenza delle:

 
 
 

rispetto ad una terna mobile di moto più generale (traslazione e rotazione). Il problema che ora ci proponiamo è quello di determinare le velocità e le accelerazioni del punto P rispetto ad un sistema di assi fissi dalla conoscenza delle velocità e delle accelerazioni rispetto agli assi mobili. La risoluzione di questo problema richiede quindi la conoscenza delle seguenti grandezze:

  1. Parametri del moto della terna mobile.
  2. Parametri del moto del punto P rispetto alla terna mobile.

Velocità assolutaModifica

 ,x,y,z è il sistema di assi mobilii ed il suo moto è individuato dalle componenti  ,  ,   della velocità di traslazione   del punto   rispetto agli assi fissi, e dal vettore rotazione   diretto come l'asse istantaneo di rotazione e definito dalle sue tre componenti p, q, r rispetto agli assi mobili.

Se   è l'origine degli assi fissi avremo:

 

La velocità assoluta è data da:

 
 

Il termine

 

di quest'ultima equazione rappresenta la velocità del punto P qualora la terna   fosse fissa, cioè rappresenta la velocità di P relativa alla terna mobile ed è quindi chiamata velocità relativa.

mentre il termine:

 

rappresenta la velocità del punto P come se fosse rigidamente collegato con la terna mobile. Questo termine è noto come velocita di trascinamento  . Concludendo possiamo dire che la velocità assoluta è data:

 

Accelerazione assolutaModifica

La derivata rispetto al tempo della formula precedente rappresenta ovviamente l'accelerazione assoluta. Pertanto:

 

 

Sviluppando otteniamo tre termini:

 
 
 

Il primo termine, ricordando che   ed analoghe per   e  , rappresenta l'accelerazione di trascinamento di P come rigidamente connesso con  xyz:

 


Il secondo termine , ricordando sempre che  , è quello che si chiama l'accelerazione complementare o di Coriolis:

 

Il terzo termine è l'accelerazione di di P rispetto ad  xyz come se questo fosse fermo nello spazio ed è, quindi, l'accelerazione relativa:

 

Se la terna mobile si muove di moto di traslazione uniforme, cioè   e  , l'accelerazione assoluta del punto coincide esattamente con l'accelerazione relativa. Se la terna mobile si muove unicamente di moto traslatorio, cioè  , si ha:

 

Qualora la terna si muova solamente di moto rotatorio uniforme rispetto ad un asse,   , vale: