Meccanica razionale/Cinematica/Sistemi rigidi

Indice del libro

Si dice, che il moto di di S è un moto rigido quando risulta indipendente, dal tempo t, ciascuna delle distanze mutue dei punti di S, presi a due a due in tutti i modi possibili.

Moto di traslazioneModifica

Chiameremo con   e   due diverse posizioni di uno stesso sistema rigido nello spazio; esse sono due figure congruenti e la loro sovrapposizione avverrà quando tre punti della  , non giacenti in una medesima retta verranno a coincidere coi loro corrispondenti della  .

Se   e   sono due punti corrispondenti , il vettore   dicesi lo spostamento del punto  . Se:

 

cioè se tutti i vettori spostamenti dei vari punti sono uguali, si dice allora che la posizione   è dedotta da   mediante una traslazione semplice di vettore  .Se questa proprietà vale per tutte le posizioni intermedie fra     , vicine quanto si vuole, il moto si chiama allora di traslazione semplice continua. In tal caso se A e B sono due punti di   ed A' e B' sono i loro corrispondenti in una qualunque posizione intermedia fra   e  , poiché

 

e poiché A e B possono assumersi vicini quanto si vuole, si conclude che la velocità di A è eguale a quella di B istante per istante. Cioè tutti i punti di   descrivono curve parallele ed hanno in ogni istante la stessa velocità. Se la velocità è costante nel tempo si ha una traslazione rettilinea uniforme.

Si Consideri il caso limite di moto rigido puramente traslatorio su traiettoria circolare (fig.1), presi due punti qualsiasi A e B sul corpo rigido, notiamo come la retta che li unisce si mantenga sempre parallela a se stessa. Contrariamente in (fig.2) si vede il corpo essere dotato di moto rotatorio attorno al suo asse e tutti i punti (Elementi) che lo compongono si muovono su circonferenze concentriche.  

Moto rotatorioModifica

Supponiamo ora che le due figure componenti   e   abbiano in comune due punti e quindi tutti i punti comuni della congiungente che diremo asse.

Consideriamo ore un punto   di   non appartenente all'asse, e sia   il suo corrispondente in  . Mandiamo dal punto   la normale O  all'asse, e conduciamo anche la O , la O  risulterà, essendo   corrispondente di  , normale all'asse ed  .

Allora facendo descrivere a   l'arco di cerchio  , la figura   si sovrapporrà ad  , in quanto hanno tre punti comuni non allineati, mediante un movimento che si chiamerà di rotazione semplice. L'angolo θ di cui ha ruotato il piano   formato da   e l'asse, per andare a coincidere con il piano   formato da   e l'asse, chiamasi ampiezza della rotazione.

Definizione di velocità angolareModifica

Preso un piano di riferimento fisso passante per l'asse di rotazione, e se   è l'angolo che un piano mobile, passante per l'asse, forma con questo piano fisso, si definisce velocità angolare scalare il termine:

 

Nel caso che

 

si dice che il moto è di rotazione uniforme.

Velocità angolare vettorialeModifica

Si chiama vettore velocità angolare, il vettore   che ha per modulo  , direzione parallela all'asse di rotazione e verso positivo quello anti orario.


Velocità di un punto P in un moto rotatorio.

Se O è un punto qualsiasi dell'asse e P è il punto di cui si vuol conoscere la velocità, questa è data:

 

Moto elicoidaleModifica

Il moto rigido costituito da una rotazione del corpo con velocità   intorno ad un asse, e da una traslazione lungo questo asse di ampiezza   , si chiama moto rigido elicoidale. Le traiettorie dei vari punti S sono tutte eliche dello stesso passo. Questo è il moto che in genere descrive una vite.

Formule fondamentali di Cinematica dei corpi rigidiModifica

Se P e O sono due punti qualunque di un sistema rigido in movimento, e chiamiamo con   e   le loro velocità ad un certo istante t. Si dimostra che:

 


Preso in O un sistema di riferimento solidale con S, Oxyz, e scelto un sistema fisso di riferimento  ,  ,  , e se  ,  ,   sono i vettori unitari degli assi mobili x, y, z del corpo rigido abbiamo che

 

Per cui la velocità di P,  , è uguale a  , mentre quella di O,  , è data da  . Posto ciò abbiamo che:

 

Se deriviamo la (7) rispetto al tempo otteniamo di conseguenza:

 

Essendo P un punto collegato rigidamente al corpo abbiamo che  . La (8) si riduce allora a:

 

Vogliamo ora dimostrare che:

 

Per dimostrare ciò ricordiamo ora alcune proprietà dei vettori unitari:

prodotto vettoriale prodotto scalare
   
   
   

Inoltre possiamo scrivere:

 
 
 




 
 
 



Il vettore   potrà essere espresso in generale come:

 

Se moltiplichiamo scalarmente la (14) rispettivamente per  ,  ,   otteniamo:

 
 
 

Si ottiene

 
 .

E se definiamo:

 

otteniamo le (10):

 

ed analoghe.

Accelerazione di un punto di un corpo rigidoModifica

Abbiamo precedentemente visto che la velocità di un punto P appartenente ad un corpo rigido è data da:

 

Essendo 0 la velocità di un punto del corpo rigido assunto come origine degli assi mobili ed   il vettore velocità angolare del corpo rigido. Ovviamente per ottenere l'accelerazione di P bisogna derivare vettorialmente la (13) rispetto al tempo:

 

Cioè:

 

In quanto per le (13) si ha:

 

E ricordando le formule del prodotto vettoriale doppio si ottiene:

 

Le espressioni cartesiane delle componenti di   rispetto agli assi mobili x, y, z sono date da:

 
 
 

Essendo   le componenti di   rispetto agli assi mobili   e   le componenti di   in definitiva avremo

 
 
 

Formule riassuntive di Cinematica dei moti rigidiModifica

...

VelocitàModifica

Se P è un punto di un corpo rigido e se x,y e z sono le coordinate di questo punto rispetto agli assi O x y z solidali con il corpo, le componenti della velocità assoluta di P sugli assi mobili       sono date proiettando la formula fondamentale:

 

sugli assi  .

Chiamando con   le componenti della velocità assoluta di   (traslazione) in tre assi   (mobili), e con   le componenti del vettore velocità angolare   in tre assi mobili otteniamo:

 
 
 

I valori   si chiamano i sei parametri del moto rigido.