Meccanica razionale/Sistemi rigidi/Giroscopio

Indice del libro

Un solido, che gode della proprietà che i suoi due momenti principali di inerzia A e B sono uguali, e rotante intorno ad un punto fisso, si chiama giroscopio simmetrico. Ed il suo terzo asse principale d'inerzia si chiama asse di simmetria del giroscopio.

--moto di precessione libera di un giroscopioModifica

Il tipo più importante di movimento di un giroscopio è detto moto di precessione. Lo si può dedurre facendo ruotare il corpo intorno al suo asse di simmetria   con velocità angolare  , e facendo contemporaneamente ruotare l'asse di simmetria con velocità angolare   intorno ad un asse fisso nello spazio per esempio l'asse   In questo caso l'asse di simmetria descrive una superficie conica, il cui angolo di semiapertura indicheremo con  

Il vettore  , risultante di   e   ruota anche lui intorno all'asse  

Vogliamo ora studiare il problema del moto di un giroscopio allorquando il sistema di forze ad esso applicato è un sistema nullo.

In questo caso, considerando che per tutti gli assi normali a   accade che A=B, le equazioni di Eulero si riducono alle seguenti:

 
 
 

Le componenti di   sugli assi mobili  ,  ,  , valgono:

 
 
 

L'ultima delle equazioni di Eulero:

 

porta subito alla conclusione che   sono costanti ed indipendenti dal tempo.

Sostituendo i valori di   nelle due prime equazioni di Eulero e sommandole otteniamo l'unica soluzione:

 

La quale ci fornisce, dati i valori di   e   il valore della velocità di precessione quando il giroscopio non è soggetto ad azioni esterne cioè:

 

Possiamo subito notare che nel caso di   e   la velocità   ha lo stesso senso di   per  

A parità di momenti d'inerzia A e C il senso di moto si inverte per   cioè se   è un angolo ottuso.

Consideriamo il piano   questo incontrerà il piano   lungo una retta   Essendo   una retta del piano  ed essendo tutti assi principali di inerzia le rette passanti per   e giacenti in   abbiamo:

 
 

e tenendo conto che la precessione è libera

 

Cioè

 

ovvero

 

Per cui le componenti di   sono

 
 

Cioè il vettore momento della quantità di moto   è fisso nello spazio e giacente come   su   e con modulo costante  

 

o in funzione di  

 

Cioè possiamo concludere che nel moto di precessione libero di un giroscopio con velocità di precessione   i quattro vettori   giacciono sempre sul piano rotante  .


--momento di un giroscopio simmetricoModifica

Abbiamo visto nel precedente paragrafo come mediante l'applicazione delle equazioni di Eulero è possibile risolvere il caso di un giroscopio non soggetto ad azioni di forze esterne ed abbiamo trovato l'espressioni che danno la velocità di precessione libera o regolare di un giroscopio. Vogliamo ora vedere quale è il valore del momento delle forze che devono agire sul giroscopio nel caso che la velocità di precessione non soddisfi la

 

Per trovare il valore di questo momento possiamo fare ricorso all'equazione cardinale della dinamica scritta per assi fissi

 

abbiamo visto infatti che nel caso di precessione libera  , se  

Ora se   sono costanti ma non soddisfano le condizioni di precessioe, il vettore   avrà modulo costante e risulterà applicato in   e ruoterà con velocità angolare   rispetto a  . Per cui ricordando che le derivate di un vettore ruotante  , se   è la velocità di rotazione, è dato da

 

otteniamo che

 

Nel riferimento preso abbiamoche

 
 
 

Mentre   ha componenti

 
 

Ricordando la regola del prodotto vettoriale si trova che   ha una sola componente normale al piano   ed è dato quindi da

 

--giroscopio pesanteModifica

Consideriamo il caso di un giroscopio di peso P che ruoti intorno al suo asse di simmetria con velocità  , e con velocità  ntorno ad un asse normale all'asse di simmetria.

In questo caso   per cui

 

Ora il momento esterno applicato   è uguale al peso per il braccio 'l' del baricentro G da O. Per cui in definitiva avremo

 

Cioè il giroscopio per effetto delle forze d'inerzia starà in equilibrio se   è tale che:

 

o viceversa:

 .