Meccanica razionale/Appendice (cap 1°)

Appendice (cap 1°)

In aggiunta a quanto stato detto nel Capitolo 1°, vogliamo ricordare alcuni teoremi fondamentali relativi all'integrazione dei campi vettoriali:

Teorema di Gauss

Se $\ {\vec {\mathbf {F} }}(x,y,z)$ è un campo vettoriale continuo fino almeno alla derivata prima e se $\ S$ è una superficie chiusa vale il seguente teorema:

$\iint _{S}{\vec {\mathbf {F} }}\times {\vec {\mathbf {n} }}\ ds=\iiint _{V}div{\vec {\mathbf {F} }}\ dv$

Essendo n il versore della normale alla superficie nel punto $\ x,\ y,\ z,$ mentre

$\ div{\vec {\mathbf {F} }}={\delta F_{x} \over \delta x}+{\delta F_{y} \over \delta y}+{\delta F_{z} \over \delta z}$

come già è stato esposto nel Capitolo 1°.

Cioè il flusso del vettore $\ {\vec {\mathbf {F} }}$ è uguale all'integrale della divergenza al volume racchiuso in S.

Teorema di Stokes

Nelle ipotesi del paragrafo 1 si dimostra che se $\ l$ è una linea chiusa nello soazio e $\ S$ una superficie chiusa comunque abbracciata da $\ l$ possiamo dire che:

$\iint _{S}rot{\vec {\mathbf {F} }}\times {\vec {\mathbf {n} }}\ dS=\oint _{l}{\vec {\mathbf {F} }}\times d{\vec {\mathbf {l} }}$

L'integrale $\oint _{l}{\vec {\mathbf {F} }}\times d{\vec {\mathbf {l} }}=\oint _{l}(F_{x}dx+F_{y}dy+F_{z}dz)$ si chiama circolazione del vettore ${\vec {\mathbf {F} }}$: nel caso che ${\vec {\mathbf {F} }}$ è una forza la circolazione coincide con il lavoro della forza esteso alla linea chiusa.

Teorema di Green

Nelle ipotesi già scritte il teorema di Green stabilisce che se $\ U=U(x,\ y,\ z)$ e $\ V=V(x,\ y,\ z)$ sono due funzioni scalari l'integrale:

$\iint _{S}{\vec {\mathbf {n} }}\times U{\vec {\mathbf {grad} }}V=\iiint Udiv\ {\vec {\mathbf {grad} }}V+\iiint {\vec {\mathbf {grad} }}U\times {\vec {\mathbf {grad} }}V\ dv$

e ricordando dal capitolo 1° che:

${\vec {\mathbf {grad} }}V=\nabla V$

${\vec {\mathbf {grad} }}U=\nabla U$

$\ div{\vec {\mathbf {grad} }}V=\nabla ^{2}V={\delta ^{2}V \over \delta x^{2}}+{\delta ^{2}V \over \delta y^{2}}+{\delta ^{2}V \over \delta z^{2}}$

Il teorema di Green si può scrivere in forma simbolica:

$\iint _{S}{\vec {\mathbf {u} }}\times U\cdot \nabla V=\iiint _{V}U\nabla ^{2}V\ dv+\iiint _{V}\nabla U\times \nabla V\ dv$