Energia cinetica di un corpo rigido
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Se abbiamo un corpo rigido la velocità di ogni suo singolo punto è data, rispetto ad una terna di riferimento generico solidale con il corpo, dalla nota formula(6)
v p → = v o → + Ω → ∧ O P → {\displaystyle {\vec {v_{p}}}={\vec {v_{o}}}+{\vec {\Omega }}\wedge {\vec {OP}}} Se prendiamo la terna di riferimento con origine nel baricentro (terna centrale) 'G', abbiamo:
v p → = v G → + Ω → ∧ G P → {\displaystyle {\vec {v_{p}}}={\vec {v_{G}}}+{\vec {\Omega }}\wedge {\vec {GP}}} L'energia cinetica che compete quindi alla massa 'dm' con centro nel punto 'P' è data secondo la definizione da:
d T = d m 2 ( v G → + Ω → ∧ G P → ) 2 {\displaystyle dT={\frac {dm}{2}}({\vec {v_{G}}}+{\vec {\Omega }}\wedge {\vec {GP}})^{2}} Ora possiamo anche scrivere:
v p → − v G → = Ω → ∧ G P → {\displaystyle {\vec {v_{p}}}-{\vec {v_{G}}}={\vec {\Omega }}\wedge {\vec {GP}}}
cioè
d T = d m 2 [ v G → + ( v p → − v G → ) ] 2 = d m 2 [ v G → 2 + ( v p → − v G → ) 2 + 2 v G → × ( v p → − v G → ) ] {\displaystyle dT={\frac {dm}{2}}[{\vec {v_{G}}}+({\vec {v_{p}}}-{\vec {v_{G}}})]^{2}={\frac {dm}{2}}[{\vec {v_{G}}}^{2}+({\vec {v_{p}}}-{\vec {v_{G}}})^{2}+2{\vec {v_{G}}}\times ({\vec {v_{p}}}-{\vec {v_{G}}})]} ed ancora
d T = d m 2 v G 2 + d m 2 ( v p → − v G → ) 2 − v G → × ( v p → d m − v G → d m ) {\displaystyle dT={\frac {dm}{2}}v_{G}^{2}+{\frac {dm}{2}}({\vec {v_{p}}}-{\vec {v_{G}}})^{2}-{\vec {v_{G}}}\times ({\vec {v_{p}}}dm-{\vec {v_{G}}}dm)} ed integrando
T = v G 2 2 ∫ V . d m + 1 2 ∫ V . ( v p → − v G → ) 2 − v G → × ( ∫ V . v p → d m − v G → ∫ V . d m ) {\displaystyle T={\frac {v_{G}^{2}}{2}}\int _{V}^{.}dm+{\frac {1}{2}}\int _{V}^{.}({\vec {v_{p}}}-{\vec {v_{G}}})^{2}-{\vec {v_{G}}}\times (\int _{V}^{.}{\vec {v_{p}}}dm-{\vec {v_{G}}}\int _{V}^{.}dm)} avremo quindi in definitiva:
T = 1 2 M v G 2 + 1 2 ∫ V . ( Ω → ∧ G P → ) 2 d m {\displaystyle T={\frac {1}{2}}M{v_{G}}^{2}+{\frac {1}{2}}\int _{V}^{.}({\vec {\Omega }}\wedge {\vec {GP}})^{2}dm} in quanto per definizione di quantità di moto totale di un sistema
∫ V . v p → d m − ∫ V . v G → d m = M v G → − M v G → = 0 {\displaystyle \int _{V}^{.}{\vec {v_{p}}}dm-\int _{V}^{.}{\vec {v_{G}}}dm=M{\vec {v_{G}}}-M{\vec {v_{G}}}=0} Considerando che :
Ω → ∧ G P → = ( q z − r y ) i → + ( r x − p z ) j → + ( p y − q x ) k → {\displaystyle {\vec {\Omega }}\wedge {\vec {GP}}=(qz-ry){\vec {i}}+(rx-pz){\vec {j}}+(py-qx){\vec {k}}} abbiamo di conseguenza:
( Ω → ∧ G P → ) 2 = ( v p → − v G → ) 2 = ( q z − r y ) 2 + ( r x − p z ) 2 + ( p y − q x ) 2 = {\displaystyle ({\vec {\Omega }}\wedge {\vec {GP}})^{2}=({\vec {v_{p}}}-{\vec {v_{G}}})^{2}=(qz-ry)^{2}+(rx-pz)^{2}+(py-qx)^{2}=} ( z 2 + x 2 ) q 2 + ( z 2 + y 2 ) p 2 + ( x 2 + y 2 ) r 2 − 2 q r z y − 2 r p x z − 2 p q x y {\displaystyle \ (z^{2}+x^{2})q^{2}+(z^{2}+y^{2})p^{2}+(x^{2}+y^{2})r^{2}-2qrzy-2rpxz-2pqxy} .E quindi eseguendo l'integrale abbiamo:
1 2 [ q 2 ∫ V . ( z 2 + x 2 ) ρ d v + p 2 ∫ V . ( z 2 + y 2 ) ρ d v + r 2 ∫ V . ( x 2 + y 2 ) ρ d v − {\displaystyle {\frac {1}{2}}[q^{2}\int _{V}^{.}(z^{2}+x^{2})\rho dv+p^{2}\int _{V}^{.}(z^{2}+y^{2})\rho dv+r^{2}\int _{V}^{.}(x^{2}+y^{2})\rho dv-} 2 q r ∫ V . z y ρ d v − 2 r p ∫ v . x z d v − 2 p q ∫ V . x y d v ] = {\displaystyle 2qr\int _{V}^{.}zy\rho dv-2rp\int _{v}^{.}xzdv-2pq\int _{V}^{.}xydv]=} 1 2 ( A p 2 + B q 2 + C r 2 − 2 q r A 1 − 2 r p B 1 − 2 p q C 1 ) {\displaystyle {\frac {1}{2}}(Ap^{2}+Bq^{2}+Cr^{2}-2qrA_{1}-2rpB_{1}-2pqC_{1})} .Se la terna di riferimento è principale di inerzia A 1 = B 1 = C 1 = 0 {\displaystyle A_{1}=B_{1}=C_{1}=0} l'energia cinetica totale del corpo rigido è data da:
T = 1 2 ( A p 2 + B q 2 + C r 2 ) + 1 2 M v G 2 {\displaystyle T={\frac {1}{2}}(Ap^{2}+Bq^{2}+Cr^{2})+{\frac {1}{2}}M{v_{G}}^{2}}