Energia cinetica di un corpo rigido
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Se abbiamo un corpo rigido la velocità di ogni suo singolo punto è data, rispetto ad una terna di riferimento generico solidale con il corpo, dalla nota formula(6)
v
p
→
=
v
o
→
+
Ω
→
∧
O
P
→
{\displaystyle {\vec {v_{p}}}={\vec {v_{o}}}+{\vec {\Omega }}\wedge {\vec {OP}}}
Se prendiamo la terna di riferimento con origine nel baricentro (terna centrale) 'G', abbiamo:
v
p
→
=
v
G
→
+
Ω
→
∧
G
P
→
{\displaystyle {\vec {v_{p}}}={\vec {v_{G}}}+{\vec {\Omega }}\wedge {\vec {GP}}}
L'energia cinetica che compete quindi alla massa 'dm' con centro nel punto 'P' è data secondo la definizione da:
d
T
=
d
m
2
(
v
G
→
+
Ω
→
∧
G
P
→
)
2
{\displaystyle dT={\frac {dm}{2}}({\vec {v_{G}}}+{\vec {\Omega }}\wedge {\vec {GP}})^{2}}
Ora possiamo anche scrivere:
v
p
→
−
v
G
→
=
Ω
→
∧
G
P
→
{\displaystyle {\vec {v_{p}}}-{\vec {v_{G}}}={\vec {\Omega }}\wedge {\vec {GP}}}
cioè
d
T
=
d
m
2
[
v
G
→
+
(
v
p
→
−
v
G
→
)
]
2
=
d
m
2
[
v
G
→
2
+
(
v
p
→
−
v
G
→
)
2
+
2
v
G
→
×
(
v
p
→
−
v
G
→
)
]
{\displaystyle dT={\frac {dm}{2}}[{\vec {v_{G}}}+({\vec {v_{p}}}-{\vec {v_{G}}})]^{2}={\frac {dm}{2}}[{\vec {v_{G}}}^{2}+({\vec {v_{p}}}-{\vec {v_{G}}})^{2}+2{\vec {v_{G}}}\times ({\vec {v_{p}}}-{\vec {v_{G}}})]}
ed ancora
d
T
=
d
m
2
v
G
2
+
d
m
2
(
v
p
→
−
v
G
→
)
2
−
v
G
→
×
(
v
p
→
d
m
−
v
G
→
d
m
)
{\displaystyle dT={\frac {dm}{2}}v_{G}^{2}+{\frac {dm}{2}}({\vec {v_{p}}}-{\vec {v_{G}}})^{2}-{\vec {v_{G}}}\times ({\vec {v_{p}}}dm-{\vec {v_{G}}}dm)}
ed integrando
T
=
v
G
2
2
∫
V
.
d
m
+
1
2
∫
V
.
(
v
p
→
−
v
G
→
)
2
−
v
G
→
×
(
∫
V
.
v
p
→
d
m
−
v
G
→
∫
V
.
d
m
)
{\displaystyle T={\frac {v_{G}^{2}}{2}}\int _{V}^{.}dm+{\frac {1}{2}}\int _{V}^{.}({\vec {v_{p}}}-{\vec {v_{G}}})^{2}-{\vec {v_{G}}}\times (\int _{V}^{.}{\vec {v_{p}}}dm-{\vec {v_{G}}}\int _{V}^{.}dm)}
avremo quindi in definitiva:
T
=
1
2
M
v
G
2
+
1
2
∫
V
.
(
Ω
→
∧
G
P
→
)
2
d
m
{\displaystyle T={\frac {1}{2}}M{v_{G}}^{2}+{\frac {1}{2}}\int _{V}^{.}({\vec {\Omega }}\wedge {\vec {GP}})^{2}dm}
in quanto per definizione di quantità di moto totale di un sistema
∫
V
.
v
p
→
d
m
−
∫
V
.
v
G
→
d
m
=
M
v
G
→
−
M
v
G
→
=
0
{\displaystyle \int _{V}^{.}{\vec {v_{p}}}dm-\int _{V}^{.}{\vec {v_{G}}}dm=M{\vec {v_{G}}}-M{\vec {v_{G}}}=0}
Considerando che :
Ω
→
∧
G
P
→
=
(
q
z
−
r
y
)
i
→
+
(
r
x
−
p
z
)
j
→
+
(
p
y
−
q
x
)
k
→
{\displaystyle {\vec {\Omega }}\wedge {\vec {GP}}=(qz-ry){\vec {i}}+(rx-pz){\vec {j}}+(py-qx){\vec {k}}}
abbiamo di conseguenza:
(
Ω
→
∧
G
P
→
)
2
=
(
v
p
→
−
v
G
→
)
2
=
(
q
z
−
r
y
)
2
+
(
r
x
−
p
z
)
2
+
(
p
y
−
q
x
)
2
=
{\displaystyle ({\vec {\Omega }}\wedge {\vec {GP}})^{2}=({\vec {v_{p}}}-{\vec {v_{G}}})^{2}=(qz-ry)^{2}+(rx-pz)^{2}+(py-qx)^{2}=}
(
z
2
+
x
2
)
q
2
+
(
z
2
+
y
2
)
p
2
+
(
x
2
+
y
2
)
r
2
−
2
q
r
z
y
−
2
r
p
x
z
−
2
p
q
x
y
{\displaystyle \ (z^{2}+x^{2})q^{2}+(z^{2}+y^{2})p^{2}+(x^{2}+y^{2})r^{2}-2qrzy-2rpxz-2pqxy}
E quindi eseguendo l'integrale abbiamo:
1
2
[
q
2
∫
V
.
(
z
2
+
x
2
)
ρ
d
v
+
p
2
∫
V
.
(
z
2
+
y
2
)
ρ
d
v
+
r
2
∫
V
.
(
x
2
+
y
2
)
ρ
d
v
−
{\displaystyle {\frac {1}{2}}[q^{2}\int _{V}^{.}(z^{2}+x^{2})\rho dv+p^{2}\int _{V}^{.}(z^{2}+y^{2})\rho dv+r^{2}\int _{V}^{.}(x^{2}+y^{2})\rho dv-}
2
q
r
∫
V
.
z
y
ρ
d
v
−
2
r
p
∫
v
.
x
z
d
v
−
2
p
q
∫
V
.
x
y
d
v
]
=
{\displaystyle 2qr\int _{V}^{.}zy\rho dv-2rp\int _{v}^{.}xzdv-2pq\int _{V}^{.}xydv]=}
1
2
(
A
p
2
+
B
q
2
+
C
r
2
−
2
q
r
A
1
−
2
r
p
B
1
−
2
p
q
C
1
)
{\displaystyle {\frac {1}{2}}(Ap^{2}+Bq^{2}+Cr^{2}-2qrA_{1}-2rpB_{1}-2pqC_{1})}
Se la terna di riferimento è principale di inerzia
A
1
=
B
1
=
C
1
=
0
{\displaystyle A_{1}=B_{1}=C_{1}=0}
T
=
1
2
(
A
p
2
+
B
q
2
+
C
r
2
)
+
1
2
M
v
G
2
{\displaystyle T={\frac {1}{2}}(Ap^{2}+Bq^{2}+Cr^{2})+{\frac {1}{2}}M{v_{G}}^{2}}
![{\displaystyle dT={\frac {dm}{2}}[{\vec {v_{G}}}+({\vec {v_{p}}}-{\vec {v_{G}}})]^{2}={\frac {dm}{2}}[{\vec {v_{G}}}^{2}+({\vec {v_{p}}}-{\vec {v_{G}}})^{2}+2{\vec {v_{G}}}\times ({\vec {v_{p}}}-{\vec {v_{G}}})]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ae5519b7c3c6ed99a509a66717c2ab652e8d4b6)
![{\displaystyle 2qr\int _{V}^{.}zy\rho dv-2rp\int _{v}^{.}xzdv-2pq\int _{V}^{.}xydv]=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34cc886e447b9192343ae27a8ba159f1714b87f7)
