Meccanica razionale/Sistemi rigidi/Momenti di inerzia

Teoria dei momenti d'inerzia

Consideriamo un punto materiale P ed una retta a. Dicesi momento d'inerzia del punto materiale P rispetto alla retta a:

$i=\ m\delta ^{2}$

essendo $\delta$ la distanza di P da a ed m la sua massa.

Nel caso di un sistema di n masse:

$I=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\delta _{i}^{2}$

Nel caso che si abbia un sistema continuo, la definizione è perfettamente valida; basta introdurre la densità $\rho$ del sistema e scrivere:

$I=\int _{V}^{.}{\rho \delta ^{2}dv}$

essendo dv l'elemento infinitesimo di volume.

Si chiama raggio d'inerzia:

$\sigma ={\sqrt {\frac {I}{M}}}$

Essendo:

$M=\sum _{i=1}^{n}{m_{i}}$

o, nel caso di un sistema continuo:

$M=\int _{V}^{.}{\rho dv}$

La ricerca del momento d'inerzia di un sistema S rispetto ad un asse generico dello spazio può in ogni caso effettuarsi direttamente in base alla definizione. Questa ricerca è spesso molto agevolata dalle due proposizioni seguenti.

--Teorema di Huygens

Se I è il momento d'inerzia di S rispetto ad a, $I_{0}$ il momento d'inerzia S rispetto ad $a_{0}$, retta parallela ad a passante per il baricentro G, e se infine d è la distanza fra queste due rette:

$I=I_{0}+M\cdot {d^{2}}$

-Teorema sul modo di variare di I al variare dell'asse 'a' entro una stella di centro 'O'.

Fissato un punto 'O' prendiamo una terna ortogonale 'Oxyz' di centro 'O' e consideriamo una retta generica 'r' passante per 'O', definita dai suoi tre coseni direttori 'α', 'β', 'γ' rispetto agli assi 'x','y', 'z'.

Si dimostra abbastanza facilmente che

$\ I=A\alpha ^{2}+B\beta ^{2}+C\gamma ^{2}-2A_{1}\beta \gamma -2B_{1}\gamma \alpha -2C_{1}\alpha \beta$

Consideriamo ora l'ellissoide d'equazione:

$\ Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}-2A_{1}yz-2B_{1}xz-2C_{1}yx=1$

questo ellissoide ha la proprietà che se si indica con 'L' un suo punto, la quantità:

${\frac {1}{|OL|^{2}}}$

dà il momento d'inerzia rispetto alla retta 'OL'

Ora se come terna di assi di riferimento si prendono i tre assi principali dell'ellissoide si ottiene:

$\ A_{1}=B_{1}=C_{1}=0$

e l'ellissoide si riduce a:

$\ Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}=1$

mentre il momento d'inerzia è dato semplicemente da:

$\ I=A\alpha ^{2}+B\beta ^{2}+C\gamma ^{2}$

Ora 'A','B','C' prendono il nome di momenti principali d'inerzia. Se 'O'='G' baricentro l'ellissoide si chiama ellissoide centrale ed 'A','B', 'C' si chiamano momenti centrali d'inerzia.

La ricerca degli assi principaliè assai semplificata nei seguenti casi particolari che si presentano di frequente.

--a)Se 'S' ammette un piano di simmetria in ogni punto di questo piano la normale al piano coincide con uno degli assi principali d'inerzia.

--b)Se un corpo ha due piani di simmetria ortogonali, sono assi principali la retta $r{1}$ e le due rette in 'O' normali ai piani $\pi _{1}$ e $\pi _{2}$.