Meccanica quantistica relativistica/Teoria di Dirac e antiparticelle

Ricerchiamo ora esplicitamente delle soluzioni all'equazione di Dirac per la particella libera. Per fare ciò, scriviamola in forma operatoriale:

$i{\frac {\hbar }{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}\psi =({\vec {\alpha }}\cdot {\vec {p}}+\beta mc)\psi$

e ricerchiamo delle soluzioni in termini della trasformata di Fourier:

$\psi ({\vec {r}},t)=\int \psi _{k}e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}d^{3}k\qquad \quad \psi _{k}=\left[{\begin{array}{c}\varphi _{k}\\\chi _{k}\\\end{array}}\right]$

le equazioni per i bispinori, che erano

${\begin{cases}\displaystyle i{\frac {\hbar }{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}\varphi _{k}&={\vec {\sigma }}\cdot {\vec {k}}\chi _{k}+mc\varphi _{k}\\[2.0ex]\displaystyle i{\frac {\hbar }{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}\chi _{k}&={\vec {\sigma }}\cdot {\vec {k}}\varphi _{k}+mc\chi _{k}\end{cases}}$

diventano, nel caso di soluzioni nella forma di onde piane $\psi _{k}=\psi _{0}(k)e^{-i\omega t}$:

${\begin{cases}\displaystyle \left({\frac {\hbar }{c}}\omega -mc\right)\varphi _{k}-\hbar {\vec {\sigma }}\cdot {\vec {k}}\chi _{k}&=0\\[2ex]\displaystyle -\hbar {\vec {\sigma }}\cdot {\vec {k}}\varphi _{k}+\left({\frac {\hbar }{c}}\omega +mc\right)\chi _{k}&=0\end{cases}}$

Ora, questo è un sistema di equazioni nelle due componenti del bispinore e per ammettere soluzioni diverse dalla soluzione banale il suo determinante deve essere nullo. Pertanto, la condizione per avere delle soluzioni è la seguente:

$\left({\frac {\hbar ^{2}}{c^{2}}}\omega ^{2}-m^{2}c^{2}\right)-\hbar ^{2}({\vec {\sigma }}\cdot {\vec {k}})({\vec {\sigma }}\cdot {\vec {k}})=0$

Ricordando ora che fra le proprietà delle matrici $\sigma$ c'è la $\sigma _{i}\sigma _{j}+\sigma _{j}\sigma _{i}=2\delta _{ij}$, si ricava:

$(\sigma _{i}k_{i})(\sigma _{j}k_{j})={\frac {1}{2}}(\sigma _{i}\sigma _{j}+\sigma _{j}\sigma _{i})k_{i}k_{j}=k^{2}$

e quindi per la condizione sul determinante:

${\frac {\hbar ^{2}}{c^{2}}}\omega ^{2}=m^{2}c^{2}+k^{2}$

che, ricordando che $E=\hbar \omega$ e $p=\hbar k$, si riduce alla ben nota relazione relativistica fra energia e impulso $E^{2}=p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}$. In particolare deve valere:

$\omega =\pm {\frac {1}{\hbar }}{\sqrt {m^{2}c^{4}+\hbar ^{2}k^{2}c^{2}}}\equiv \pm \epsilon$

L'energia può quindi risultare negativa.

La $\psi$ risulta somma di funzioni a frequenza positiva e a frequenza negativa: $\psi =\psi ^{(+)}+\psi ^{(-)}$. La più bassa frequenza positiva ammessa è $mc^{2}$, mentre la più alta negativa è $-mc^{2}$. Le trasformazioni di Lorentz, inoltre, non permettono di passare da soluzioni a frequenza positiva a soluzioni a frequenza negativa.

Se si lavora per comodità in "unità naturali", dove $\hbar =c=1$, le due soluzioni assumono la forma:

${\begin{aligned}\psi ^{(+)}({\vec {r}},t)&=\int \psi _{0}^{(+)}({\vec {k}})e^{i({\vec {k}}\cdot {\vec {r}}-\epsilon t)}d{\vec {k}}\\\psi ^{(-)}({\vec {r}},t)&=\int \psi _{0}^{(-)}({\vec {k}})e^{i({\vec {k}}\cdot {\vec {r}}+\epsilon t)}d{\vec {k}}\end{aligned}}$

La $\psi ^{(+)}({\vec {r}},t)$ rappresenta soluzioni che si propagano "in avanti" nel tempo, mentre la $\psi ^{(-)}({\vec {r}},t)$ rappresenta onde che si propagano "all'indietro". Questo è reso evidente mandando ${\vec {k}}\to -{\vec {k}}$, in quanto la soluzione negativa diventa:

$\psi ^{(-)}({\vec {r}},t)=\int \psi _{0}^{(-)}({\vec {k}})e^{-i({\vec {k}}\cdot {\vec {r}}-\epsilon t)}d{\vec {k}}$

Nell'equazione operatoriale ${\hat {E}}\psi =\hbar \omega \psi$, gli autovalori dell'energia sono dati proprio da $\omega =\pm {\sqrt {m^{2}+k^{2}}}$, e dunque $\psi ^{(+)}({\vec {r}},t)$ e $\psi ^{(-)}({\vec {r}},t)$ sono due autofunzioni relativi ad autovalori distinti e pertanto ortogonali fra loro.

In unità naturali, il sistema di equazioni ai bispinori si scrive:

${\begin{cases}(\omega -m)\varphi _{k}-{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {k}}\chi _{k}&=0\\[1.5ex]{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {k}}\varphi _{k}+(\omega -m)\chi _{k}&=0\end{cases}}$

che per le autofunzioni fornisce:

$\chi _{k}^{(+)}={\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {k}}}{(\epsilon -m)}}\varphi _{k}^{(+)}\qquad \qquad \varphi _{k}^{(-)}=-{\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {k}}}{(\epsilon +m)}}\chi _{k}^{(-)}$

Queste relazioni evidenziano effettivamente che $\psi ^{(+)}({\vec {r}},t)$ e $\psi ^{(-)}({\vec {r}},t)$ sono ortogonali e quindi soddisfano la relazione:

$\int \psi ^{(+)}({\vec {r}},t)\psi ^{(-)}({\vec {r}},t)d{\vec {r}}=0$

L'esistenza di energie negative con un limite superiore di $-mc^{2}$ ma senza limite inferiore rende impossibile la stazionarietà di qualunque sistema, in quanto in seguito a scambi di energia una particella potrebbe portarsi su livelli di energia via via sempre più bassi.

Nella teoria di Dirac, la stabilità della materia viene spiegata ipotizzando che tutti gli stati a energia negativa compatibili con il principio di Pauli siano occupati (mare di elettroni).

Questa teoria ha diverse conseguenze. Quando si cede al sistema un'energia pari ad almeno $2m_{e}c^{2}$, può accadere che un elettrone in un livello di energia negativa acquisti sufficiente energia e passi in uno stato a energia positiva, creando una buca. In questo caso si osserverà un elettrone (carica $-|e|$) di energia positiva $+E$ più una buca nel mare di elettroni a energia negativa. L'osservatore vedrà quindi anche l'assenza di un elettrone di carica $-|e|$ e energia $-E$, che sarà interpretata come la presenza di una particella di carica $+|e|$ e energia $+E$, ovvero un positrone.

In maniera analoga una buca si comporta come una trappola per qualunque elettrone a energia positiva e conduce quindi alla "annichilazione" dell'elettrone con la buca, con emissione di radiazione di energia pari ad almeno $2m_{e}c^{2}$.

La teoria di Dirac prevede quindi la presenza di coppie di particelle con carica opposta (antiparticelle) e la funzione d'onda deve tenere conto anche della possibilità di creare e distruggere particelle.

Le soluzioni relative all'autovalore negativo $-\epsilon$ sono quindi in realtà associate a una frequenza negativa e hanno un'energia positiva, si tratta quindi delle antiparticelle con una carica positiva: in altri termini, nella teoria di Dirac l'equazione ai bispinori rappresenta coppie identiche di particelle a carica opposta.

Dalla teoria delle buche di Dirac emerge quindi una fondamentale simmetria della natura: a ogni particella deve corrispondere una antiparticella, l'esistenza dell'una implica quella dell'altra. Per esprimere formalmente questa simmetria occorre cercare un operatore che permetta di passare da una soluzione all'altra (l'operatore coniugazione di carica ${\hat {C}}$).

Consideriamo l'equazione di Dirac con il termine di interazione elettromagnetica:

$\left[\gamma _{\mu }\left(p_{\mu }-{\frac {e}{c}}A_{\mu }\right)+mc\right]\psi =0$

L'analoga equazione per il positrone avrà la carica $e$ con il segno invertito:

$\left[\gamma _{\mu }\left(p_{\mu }+{\frac {e}{c}}A_{\mu }\right)+mc\right]\psi ^{C}=0$

Nella teoria di Dirac il segno della carica $e$ non ha in realtà alcun ruolo. La simmetria richiede che l'assenza di una soluzione a energia negativa dell'equazione dei positroni corrisponda a un elettrone di energia positiva. Esiste quindi una corrispondenza uno-a-uno fra le soluzioni dell'equazione di Dirac a energia positiva e a energia negativa. Per stabilire questa corrispondenza è necessario invertire il segno relativo dell'operatore impulso $p_{\mu }$ e campo elettromagnetico $A_{\mu }$. Per fare questo, si prende innanzitutto la complessa coniugata dell'equazione in forma operatoriale:

$\left[\gamma _{\mu }\left(p_{\mu }-{\frac {e}{c}}A_{\mu }\right)+mc\right]^{\ast }\psi ^{\ast }=\left[\left(-p_{\mu }+{\frac {e}{c}}A_{\mu }\right)\gamma _{\mu }^{\ast }+mc\right]\psi ^{\ast }=0$

avendo ricordato che $p_{\mu }=-i\hbar \partial _{\mu }$. Se è possibile trovare una matrice non singolare $C$ tale che:

$(C\gamma _{4})\gamma _{\mu }^{\ast }(C\gamma _{4})^{-1}=-\gamma _{\mu }$

allora l'equazione di Dirac assume la forma cercata per i positroni:

$\left[\gamma _{\mu }\left(p_{\mu }+{\frac {e}{c}}A_{\mu }\right)+mc\right](C\gamma _{4}\psi ^{\ast })=0$

e in questo caso la funzione d'onda dei positroni ha la forma:

$\psi ^{C}=C\gamma _{4}\psi ^{\ast }\equiv C{\bar {\psi }}^{T}$

La matrice dell'operatore coniugazione di carica ${\hat {C}}$ può essere costruita esplicitamente. Siccome vale la proprietà $\gamma _{4}\gamma _{\mu }^{\ast }\gamma _{4}=\gamma _{\mu }^{T}$, deve risultare:

$C\gamma _{\mu }^{T}C^{-1}=-\gamma _{\mu }\qquad \Rightarrow \qquad C^{-1}\gamma _{\mu }C=-\gamma _{\mu }^{T}$

In questa rappresentazione ${\hat {C}}$ deve quindi commutare con $\gamma _{1}$ e $\gamma _{3}$ e anticommutare con $\gamma _{2}$ e $\gamma _{3}$. Una scelta ragionevole è:

${\hat {C}}=i\gamma _{2}\gamma _{4}=-{\hat {C}}^{-1}=-{\hat {C}}^{\dagger }=-{\hat {C}}^{T}$

È sufficiente riuscire a costruire l'operatore ${\hat {C}}$ in una qualunque rappresentazione, in quanto la trasformazione unitaria che passa da una rappresentazione all'altra una volta applicata alla matrice $C$ fornisce la forma dell'operatore di coniugazione di carica in una qualunque altra rappresentazione. L'operatore ${\hat {C}}$ permette quindi di costruire esplicitamente la funzione d'onda del positrone.

Vediamo più in dettaglio come agisce la coniugazione di carica $\psi ^{C}=C{\hat {\psi }}^{T}=i\gamma _{2}\psi ^{\ast }$ su un elettrone libero di energia negativa e spin giù:

$\psi _{4}(t)=e^{{\frac {imc^{2}}{\hbar }}t}\left({\begin{array}{c}0\\0\\0\\1\\\end{array}}\right)$

L'operazione coniugazione fornisce:

$i\gamma _{2}\psi _{4}^{\ast }=i{\begin{pmatrix}0&0&0&-i\\0&0&i&0\\0&i&0&0\\-i&0&0&0\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}}e^{-{\frac {imc^{2}}{\hbar }}t}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}}e^{{\frac {-imc^{2}}{\hbar }}t}=\psi _{1}(t)$

e quindi l'assenza di un elettrone di energia negativa con spin giù corrisponde alla presenza di un positrone a energia negativa e spin su. Nel caso di particella libera, quindi non interagente con un campo elettromagnetico, non c'è differenza fra elettroni e positroni e la coniugazione di carica trasforma quindi una soluzione in un'altra soluzione.