Meccanica quantistica relativistica/Bispinori: soluzioni a massa nulla

Torniamo ora a considerare la $\psi$ in termini di bispinori $\left[{\begin{array}{c}\varphi \\\chi \\\end{array}}\right]$.

Abbiamo visto che l'equazione in questo caso fornisce per le due componenti:

${\begin{cases}\displaystyle i{\frac {\hbar }{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}\varphi &={\vec {\sigma }}\cdot {\vec {\pi }}\chi +mc\varphi \\[2.0ex]\displaystyle i{\frac {\hbar }{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}\chi &={\vec {\sigma }}\cdot {\vec {\pi }}\varphi +mc\chi \end{cases}}$

Cerchiamo ora di disaccoppiare le due equazioni con una opportuna trasformazione unitaria: $\psi '\mapsto u\psi$ e $\gamma '_{\mu }\to u^{\dagger }\gamma _{\mu }u$ in modo che questa lasci l'equazione invariata. Utilizzando le matrici:

$\beta =\left({\begin{array}{cc}\mathbb {I} &0\\0&-\mathbb {I} \\\end{array}}\right)\qquad \qquad \rho =\left({\begin{array}{cc}0&\mathbb {I} \\\mathbb {I} &0\\\end{array}}\right)$

e definendo la trasformazione come $u\equiv {\frac {1}{\sqrt {2}}}(\beta +\rho )$, allora:

$uu^{\dagger }={\frac {1}{\sqrt {2}}}(\beta +\rho ){\frac {1}{\sqrt {2}}}(\beta +\rho )={\frac {1}{2}}(\beta ^{2}+\beta \rho +\rho \beta +\rho ^{2})=\mathbb {I} +{\frac {1}{2}}(\beta \rho +\rho \beta )$

Essendo:

${\begin{aligned}\beta \rho &=\left({\begin{array}{cc}\mathbb {I} &0\\0&-\mathbb {I} \\\end{array}}\right)\cdot \left({\begin{array}{cc}0&\mathbb {I} \\\mathbb {I} &0\\\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{cc}0&-\mathbb {I} \\\mathbb {I} &0\\\end{array}}\right)\\\rho \beta &=\left({\begin{array}{cc}0&\mathbb {I} \\\mathbb {I} &0\\\end{array}}\right)\cdot \left({\begin{array}{cc}\mathbb {I} &0\\0&-\mathbb {I} \\\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{cc}0&\mathbb {I} \\-\mathbb {I} &0\\\end{array}}\right)\end{aligned}}$

risulta effettivamente $uu^{\dagger }=\mathbb {I}$ e quindi $u$ è unitaria. Applichiamola quindi alla $\psi$:

$\psi '=u\psi ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(\beta +\rho )\left[{\begin{array}{c}\varphi \\\chi \\\end{array}}\right]$

e denominando $\psi '\equiv \left[{\begin{array}{c}\xi \\\eta \\\end{array}}\right]$, si ricava:

${\begin{cases}\xi &=\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}(\varphi +\chi )\\[2.0ex]\eta &=\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}(\varphi -\chi )\end{cases}}$

Operando ora con la trasformazione $u$ anche su $\alpha$, $\beta$:

${\begin{aligned}\alpha '_{i}&=u\alpha _{i}u^{\dagger }=\left({\begin{array}{cc}\sigma _{i}&0\\0&-\sigma _{i}\\\end{array}}\right)\\\beta &=u\beta u^{\dagger }=\left({\begin{array}{cc}0&\mathbb {I} \\\mathbb {I} &0\\\end{array}}\right)\end{aligned}}$

e l'equazione diventa:

$i{\frac {\hbar }{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}\left[{\begin{array}{c}\xi \\\eta \\\end{array}}\right]={\frac {\hbar }{i}}\left({\begin{array}{cc}\sigma _{i}&0\\0&-\sigma _{i}\\\end{array}}\right)\cdot {\vec {p}}\left[{\begin{array}{c}\xi \\\eta \\\end{array}}\right]+\left({\begin{array}{cc}0&\mathbb {I} \\\mathbb {I} &0\\\end{array}}\right)mc\left[{\begin{array}{c}\xi \\\eta \\\end{array}}\right]$

ovvero, per le singole equazioni:

${\begin{aligned}i{\frac {\hbar }{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}\xi &={\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}\,\xi +mc\eta \\[2.0ex]i{\frac {\hbar }{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}\eta &=-{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}\,\eta +mc\xi \end{aligned}}$

che si disaccoppiano completamente per particelle a massa zero. Si può tentati di interpretare queste soluzioni come neutrini, ma è stato finalmente dimostrato che queste particelle hanno una massa, anche se estremamente piccola. Quindi, anche per i neutrini queste due equazioni non si disaccoppiano perfettamente, ma "quasi".

Occorre fare attenzione al fatto che questa equazione non vale per particella a massa zero come i fotoni, perché questi ultimi sono a spin 1, mentre l'equazione di Dirac vale solo per particelle a spin semintero $\pm 1/2$.