Consideriamo ora l'equazione di Dirac:
La richiesta di covarianza per trasformazioni di Lorentz implica la ricerca di un operatore tale che in modo da soddisfare ancora la stessa equazione. Di conseguenza, questo equivale a cercare una matrice che soddisfi la trasformazione , e quindi che soddisfi anche le:
e cioè, in definitiva, che rispetti:
Riscriviamo quindi l'equazione di Dirac in termini di e :
dove abbiamo fatto la posizione:
L'equazione di Dirac può essere espressa in questi termini:
che moltiplicata a sinistra per fornisce:
ricordando che vale la relazione:
l'equazione di sopra diventa:
la trasformazione rimane quindi invariata l'equazione di Dirac se risulta verificata la relazione:
siccome la matrice commuta con in quanto agiscono su spazi diversi, mandiamo in e moltiplichiamo poi per :
Passiamo ora a considerare trasformazioni infinitesime:
dove le sono quattro matrici antisimmetriche. Sostituiamo queste nella condizione su di sopra e ricordando che gli indici muti possono essere rinominati:
che permette di ricavare la relazione per le matrici :
Consideriamo ora la parte spaziale del generatore delle rotazioni:
ora, ricordando anche che vale :
abbiamo indicato , una sorta di matrice in quattro dimensioni. La parte spaziale risulta in definitiva:
che è una matrice simile a quelle di rotazione della per particelle con spin. La parte temporale fornisce:
ma risulta legata alla velocità, quindi le componenti temporali delle rotazioni infinitesime corrispondono alle trasformazioni di Lorentz propriamente dette.
Consideriamo ora l'equazione di Dirac scritta per le componenti . L'equazione si scrive in questo caso:
siccome , l'equazione di sopra si può riscrivere come:
dove la quantità rappresenta in sostanza la con le ultime due componenti cambiate di segno. Definendo , l'equazione assume la forma:
Ne consegue che quello che deve avere senso fisico è la quantità e non la semplice . Infatti, come abbiamo appena visto, è la quantità sulla quale l'equazione di Dirac conserva la sua forma, ovvero risulta covariante. La densità di corrente per la si può ricavare a partire dall'equazione scritta per la , dove definendo e :
Ma la densità di corrente e di probabilità possono essere scritte anche come:
ne consegue quindi che il quadrivettore soddisfa anch'esso l'equazione di continuità:
Siamo ora pronti per vedere come trasforma la quantità e quindi il quadrivettore corrente :
ma:
siccome è dimostrabile che , la precedente è riscrivibile nella forma:
Il termine della corrente di probabilità assume allora la forma:
Ma è la relazione che definisce e quindi il termine appena scritto equivale a . La legge di trasformazione diventa pertanto:
e in definitiva:
ovvero trasforma esattamente come un quadrivettore.
L'insieme delle matrici combinazioni di , e aventi proprietà definite di trasformazione (di Lorentz) sono sedici, si indicano complessivamente con e sono denominate covarianti bilineari.