Meccanica quantistica relativistica/Formalismo dei bispinori e interazione elettromagnetica

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Iniziamo, per semplicità, a considerare una particella a impulso nullo. L'equazione in forma operatoriale diventa quindi:

che può essere integrata componente per componente. In quattro dimensioni - come è il caso presente - una base di vettori è fornita banalmente da:

ricordando che , si ritrovano per soluzione i ben noti esponenziali:

ai quali risultano ora affiancate altre due soluzioni che devono essere prese in considerazione:

Le prime due soluzioni rappresentano l'evoluzione temporale di un'onda a due componenti: sono le funzioni rappresentanti lo spin semintero. Le seconde soluzioni sono invece la descrizione di particelle a energia negativa, che la teoria interpreta come antiparticelle. La semplificazione fatta di trascurare il termine dell'impulso corrisponde in realtà al limite non relativistico, in cui il termine predominante è proprio .

Introduciamo ora nella equazione di Dirac l'interazione elettromagnetica, operando la sostituzione . L'equazione in forma operatoriale si trasforma allora nella seguente:

Ne segue che l'hamiltoniana di questo sistema si può scrivere nella forma , dove rappresenta l'hamiltoniana di interazione con il campo elettromagnetico:

e dove , come già detto, assume il ruolo della velocità. Questo permette di riscrivere il teorema di Ehrenfest come:

Le conclusioni precedenti sulle soluzioni dell'equazione di Dirac ci autorizzano a scrivere la funzione d'onda in termini di un bispinore:

Un bispinore è quindi un particolare vettore che può essere pensato composto di due parti ( e ), in cui ogni parte contiene le due componenti dello spin. Scriviamo quindi l'equazione di Dirac comprendente l'interazione elettromagnetica nel formalismo dei bispinori:

dove e si è tenuto presente che:

Nel limite non relativistico il termine predominante è ovviamente . Ricerchiamo ora le soluzioni per la particella libera nella forma:

e sostituendo questa forma nell'equazione ai bispinori scritta sopra:

ovvero, eliminando il fattore esponenziale in comune ai due e mai nullo:

Nel limite non relativistico predominano chiaramente i termini in e . Separando quindi l'equazione per le componenti alte e basse, nel limite non relativistico otteniamo:

Le componenti alte restituiscono quindi in questo caso ("classico") e questo è corretto: a energie sufficientemente basse non ci sono componenti legate alle antiparticelle. Le componenti basse ci permettono invece di giungere alla relazione:

Questa relazione permette di identificare le componenti basse come le componenti "piccole" in rapporto alle componenti alte . Queste componenti sono infatti ridotte di un fattore nel limite non relativistico rispetto alle . Sostituendo la forma delle nelle componenti alte dell'equazione ai bispinori scritta sopra si ricava:

siccome vale:[1]

l'equazione per le componenti alte (particelle) nel caso non relativistico diventa quindi (equazione di Pauli per particelle con spin):

Ritrovare questa equazione significa che l'equazione di Dirac è effettivamente un buon punto di partenza per costruire una teoria quantistica relativistica. Infatti, le due componenti alte sono sufficienti per i due gradi di libertà associati allo spin 1/2 di una particella libera, ritrovando anche il corretto momento magnetico dell'elettrone corrispondente al rapporto giromagnetico . Infatti, tenendo presente che e prendendo solo i termini al primo ordine nel campo magnetico :

dalle proprietà del prodotto misto si sa che: , per cui denotando con l'operatore di spin l'equazione di Pauli assume la forma:

dove il coefficiente di interazione dello spin con il campo magnetico è appunto .

  1. Vale la relazione per il prodotto scalare:   e  . Il prodotto vettoriale esplicito fornisce:   I primi due termini scompaiono (si tratta in effetti di un prodotto vettore per se' stesso), per gli altri due termini vale ricordando che   e   sono operatori:   il termine   è nullo in quanto la parentesi è simmetrica in   e   e   è antisimmetrico, resta quindi il termine   e esplicitando gli operatori: