Meccanica quantistica relativistica/Equazione di Klein-Gordon

Come è noto, l'equazione di Schrodinger è basata sul principio di corrispondenza:

${\vec {p}}\rightarrow -i\hbar {\vec {\nabla }}\qquad \qquad E\rightarrow i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}$

Questa equazione non è relativisticamente invariante sotto trasformazioni di Lorentz, tuttavia il principio di corrispondenza risulta conservato nella formulazione invariante:

$p_{\mu }\rightarrow -i\hbar \partial _{\mu }$

L'equazione quantistica relativistica per una particella libera a spin zero si ottiene applicando il principio di corrispondenza alla relazione relativistica sull'energia $E^{2}=p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}$:

$E^{2}=p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}\quad \rightarrow \quad \left[{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}+{\frac {m^{2}c^{4}}{\hbar ^{2}}}\right]\psi ({\vec {r}},t)=0$

o in modo più compatto, introducendo il dalambertiano (equazione di Klein-Gordon):

${\begin{aligned}\left[\square +\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)^{2}\right]\psi ({\vec {r}},t)=0\end{aligned}}$

Questa relazione implica, fra l'altro, che il quadrivettore impulso $p_{\mu }$ sia un vettore di lunghezza fissa pari a $m^{2}c^{2}$:

$p_{\mu }p^{\mu }={\frac {E^{2}}{c^{2}}}-p^{2}=m^{2}c^{2}$

Da notare che per $m=0$ questa equazione si riduce all'equazione di Maxwell per i potenziali, rafforzando la conclusione che questa equazione rappresenta particelle a spin zero.

Il fatto che questa equazione sia del secondo ordine nel tempo implica che se $\psi ({\vec {r}},t)$ è una soluzione, allora anche $\psi ({\vec {r}},-t)$ è una soluzione, ovvero:

${\begin{cases}i\hbar \displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\psi ({\vec {r}},t)&=E\psi ({\vec {r}},t)\\[1.5ex]i\hbar \displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\psi ({\vec {r}},-t)&=-E\psi ({\vec {r}},-t)\end{cases}}$

e quindi che una particella reale potrebbe avere energia negativa. Non si può qui escludere semplicemente la soluzione negativa in quanto questa scelta non si mantiene necessariamente nel tempo.

D'altronde, risulta naturale definire qui l'hamiltoniana del sistema come:

$H={\sqrt {p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}$

e quindi tramite il principio di corrispondenza:

$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi ({\vec {r}},t)={\sqrt {-\hbar ^{2}c^{2}\nabla ^{2}+m^{2}c^{4}}}\;\psi ({\vec {r}},t)$

La radice dell'operatore pone subito un problema di interpretazione. Se si effettua una espansione si ottiene una equazione che contiene tutte le potenze delle derivate e quindi una teoria non locale. Queste teorie sono difficili da trattare; inoltre non rappresenta una versione preferibile all'equazione di Schrödinger e presenta ancora tempo e spazio su due piani diversi. È possibile però eliminare la radice quadrata dell'operatore prendendo il quadrato dell'energia. Questo modo di ottenere l'equazione di Klein-Gordon rende ancora più evidente il fatto che si ritrovano soluzioni a energia negativa perché ora anche le:

$H=-{\sqrt {p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}$

sono soluzioni dell'equazione quadratica.

Da questa equazione deve essere possibile costruire una corrente di carica conservata perché vogliamo conservare l'interpretazione probabilistica della teoria quantistica non relativistica. Per fare questo, si procede usando la stessa tecnica come per l'equazione di Schrodinger. Consideriamo quindi l'equazione ottenuta moltiplicando l'equazione di Klein-Gordon a sinistra per $\psi ^{\ast }({\vec {r}},t)$:

$\psi ^{\ast }({\vec {r}},t)\left[\square +\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)^{2}\right]\psi ({\vec {r}},t)=0$

e la sua complessa coniugata:

$\psi ({\vec {r}},t)\left[\square +\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)^{2}\right]\psi ^{\ast }({\vec {r}},t)=0$

e sottraendo:

$\psi ^{\ast }({\vec {r}},t)\left[\square +\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)^{2}\right]\psi ({\vec {r}},t)-\psi ({\vec {r}},t)\left[\square +\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)^{2}\right]\psi ^{\ast }({\vec {r}},t)=0$

ovvero:

${\frac {\partial }{\partial t}}\left[{\frac {i\hbar }{2mc^{2}}}\left(\psi ^{\ast }{\frac {\partial }{\partial t}}\psi -\psi {\frac {\partial }{\partial t}}\psi ^{\ast }\right)\right]+{\frac {\hbar }{2im}}{\vec {\nabla }}\cdot [\psi ^{\ast }(\nabla \psi )-\psi (\nabla \psi ^{\ast })]=0$

L'idea sarebbe di interpretare la quantità ${\frac {i\hbar }{2mc^{2}}}\left(\psi ^{\ast }{\frac {\partial }{\partial t}}\psi -\psi {\frac {\partial }{\partial t}}\psi ^{\ast }\right)$ come una densità di probabilità $\varrho ({\vec {r}},t)$, ma questa non risulta definita positiva. Seguendo il percorso storico, quindi, questa equazione sarà abbandonata. Si tratta tuttavia di un abbandono temporaneo perché si vedrà che è possibile recuperare questa equazione e utilizzarla per descrivere particelle a spin zero.