Meccanica quantistica relativistica/Quantizzazione del campo elettronico

Dopo aver effettuato la quantizzazione del campo elettromagnetico in assenza di cariche, si vuole ora considerare la quantizzazione del campo delle cariche, ovvero della carica elementare (elettrone) in assenza del campo elettromagnetico, riservando al paragrafo successivo il caso più complesso della loro interazione.

Come si è visto, la teoria di Dirac di prima quantizzazione prevede per l'elettrone libero anche stati di energia negativa, la cui interpretazione non era allora chiara. Tuttavia, si è appena visto che stati di energia negativa intervengono nella scrittura esplicita del campo elettromagnetico quantizzato. In analogia a quest'ultimo, Dirac propose di scrivere il campo quantizzato dell'elettrone $\psi ({\vec {r}},t)$ nella seguente forma:

$\psi ({\vec {r}},t)=\sum _{\beta ,{\vec {p}}}\left[u({\vec {p}},\beta )e^{i{\frac {{\vec {p}}\cdot {\vec {r}}}{\hbar }}}b_{e^{-}}({\vec {p}},\beta )e^{-i{\frac {E}{\hbar }}t}+u(-{\vec {p}},\beta )e^{-i{\frac {{\vec {p}}\cdot {\vec {r}}}{\hbar }}}b_{e^{+}}^{\dagger }({\vec {p}},\beta )e^{i{\frac {E}{\hbar }}t}\right]$

dove, al posto del vettore d'onda ${\vec {k}}$ c'è l'impulso della particella ${\vec {p}}$ e alla polarizzazione $\alpha$ è stato sostituito l'indice $\beta$ che individua i due possibili stati di spin della particella. Inoltre, nel caso considerato, il campo $\psi ({\vec {r}},t)$ è in generale complesso e non necessariamente reale. Questo campo quantizzato associato ai fermioni prende il nome di campo di Dirac.

Nel primo addendo della relazione precedente compare la funzione d'onda di una particella libera avente energia positiva (l'elettrone) moltiplicata per un operatore di distruzione di un elettrone. Poiché distruggendo un elettrone la carica aumenta di una unità, il primo addendo incrementa quindi di 1 la carica ($\Delta q=+1$). Prima di procedere avanti nell'interpretazione, si osservi che dovendo essere conservata la carica il campo $\psi ({\vec {r}},t)$ deve avere proprietà definite rispetto alla carica, per esempio può avere $\Delta q=0$ o $\Delta q=\pm 1$. In altre parole non può essere costituito, ad esempio, da una somma di termini che hanno ciascuno un $\Delta q$ diverso. Così, poiché il primo addendo ha $\Delta q=+1$, tale deve essere anche il secondo addendo. Di conseguenza, l'operatore di creazione compreso qui non può creare un elettrone perché in questo modo la carica diminuirebbe di 1: esso deve quindi creare una particella di carica positiva. Questa ipotesi è confortata dal fatto che $b_{e^{+}}^{\dagger }({\vec {p}},\beta )$ è moltiplicato per una funzione d'onda di una particella libera corrispondente a $E<0$ se la carica è negativa, ovvero con $E>0$ se la carica è positiva.

La teoria di Dirac di seconda quantizzazione prevede quindi l'esistenza di un elettrone positivo (positrone).

Perturbazioni dipendenti dal tempo

Si consideri un sistema descritto, all'istante iniziale $t=0$ dall'hamiltoniana non esplicitamente dipendente dal tempo $H_{0}$ e di cui sia noto lo spettro $H_{0}|\psi _{n}\rangle =E_{n}|\psi _{n}\rangle$. Se inizialmente il sistema è in uno stato $|\psi ^{0}\rangle =\sum _{n}c_{n}|\psi _{n}\rangle$, è già noto che agli istanti successivi sarà nello stato $|\psi ^{0}(t)\rangle =\sum _{n}e^{-E_{n}/\hbar t}c_{n}|\psi _{n}\rangle$, con i $c_{n}$ non dipendenti dal tempo.

Si supponga ora però che da $t=0$ in poi sul sistema agisca una perturbazione $V(t)$ per un periodo di tempo limitato, ossia il sistema abbia hamiltoniana $H=H_{0}+V(t)$. Lo stato $|\psi (t)\rangle$ è allora soluzione dell'equazione:

$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi (t)\rangle =\left(H_{0}+V(t)\right)|\psi (t)\rangle$

Poiché ${\mathopen {\{}}|\psi _{m}\rangle {\mathclose {\}}}$ è un sistema completo si può scrivere:

$|\psi (t)\rangle =\sum _{n=0}^{+\infty }c_{n}(t)e^{-i{\frac {E_{n}}{\hbar }}t}|\psi _{n}(t)\rangle$

per cui il problema è ricondotto alla ricerca dei coefficienti $c_{n}(t)$. Sostituendo quest'ultima nella precedente si ha:

$i\hbar \sum _{n=0}^{+\infty }\left[{\dot {c}}_{n}(t)-{\cancel {i{\frac {E_{n}}{\hbar }}c_{n}(t)}}\right]e^{-i{\frac {E_{n}}{\hbar }}t}|\psi _{n}(t)\rangle ={\cancel {\sum _{n=0}^{+\infty }c_{n}(t)e^{-i{\frac {E_{n}}{\hbar }}t}|\psi (t)\rangle }}+\sum _{n=0}^{+\infty }V_{n}(t)c_{n}(t)e^{-i{\frac {E_{n}}{\hbar }}t}|\psi (t)\rangle$

per cui i $c_{n}(t)$ soddisfano la relazione:

$\sum _{n=0}^{+\infty }{\dot {c}}_{n}(t)e^{-i{\frac {E_{n}}{\hbar }}t}|\psi _{n}(t)\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\sum _{n=0}^{+\infty }V_{n}(t)c_{n}(t)e^{-i{\frac {E_{n}}{\hbar }}t}|\psi _{n}(t)\rangle$

e proiettando sullo stato $\langle \psi _{m}(t)|$:

${\begin{aligned}{\dot {c}}_{n}(t)={\frac {1}{i\hbar }}\sum _{n=0}^{+\infty }V_{mn}(t)c_{n}(t)e^{i{\frac {E_{m}-E_{n}}{\hbar }}t}\end{aligned}}$

dove naturalmente $V_{mn}(t)$ è l'elemento di matrice $\langle \psi _{m}(t)|V(t)|\psi _{n}(t)\rangle$.

Si supponga ora di voler calcolare la probabilità di transizione dallo stato iniziale $|\psi _{p}(t)\rangle$ ad uno stato finale $|\psi _{a}(t)\rangle$, questa è data proprio da $|c_{a}(t)|^{2}$, ricavabile direttamente dall'ultima relazione. Poiché questa è generalmente difficile da risolvere, si cerca in genere una soluzione approssimata per $c_{q}(t)$ supponendo che la perturbazione $V(t)$ sia di piccola entità e che agisca per un tempo breve. Se all'istante iniziale il sistema è nello stato $\psi _{p}(t)$ allora deve valere $c_{n}(0)=\delta _{np}$; tuttavia se il potenziale perturbativo $V(t)$ soddisfa le condizioni appena citate si può assumere che per tutta la durata della perturbazione sia $c_{n}(t)\simeq \delta _{np}$, per cui la relazione diventa:

${\begin{aligned}c_{q}(t)\simeq {\frac {1}{i\hbar }}\int _{0}^{T}V_{qp}(t)e^{i{\frac {E_{p}-E_{q}}{\hbar }}t}dt\end{aligned}}$

Operatore di evoluzione temporale

È già noto che se un sistema è descritto da una hamiltoniana $H_{0}$ indipendente dal tempo, l'operatore evoluzione temporale è $e^{-i{\frac {H_{0}}{\hbar }}t}$, cioè che vale:

$|\psi (t)\rangle =e^{-i{\frac {H_{0}}{\hbar }}t}|\psi (0)\rangle$

Si supponga ora che l'hamiltoniana del sistema sia $H=H_{0}+V(t)$. In questo caso, la funzione d'onda $\psi (t)$ si può scrivere sviluppandola con coefficienti $c_{n}(t)$ ricavati a partire dalla relazione mostrata sopra. Si considerino ora le espressioni:

${\begin{aligned}f(t)&=\sum _{n=0}^{+\infty }c_{n}(t)|\psi _{n}(t)\rangle \\{\dot {f}}(t)&=\sum _{n=0}^{+\infty }{\dot {c}}_{n}(t)|\psi _{n}(t)\rangle \\\end{aligned}}$

da cui:

${\begin{aligned}e^{-i{\frac {H_{0}}{\hbar }}t}f(t)&=\sum _{n=0}^{+\infty }c_{n}(t)e^{-i{\frac {E_{n}}{\hbar }}t}|\psi _{n}(t)\rangle =|\psi (t)\rangle \\e^{-i{\frac {H_{0}}{\hbar }}t}{\dot {f}}(t)&=\sum _{n=0}^{+\infty }{\dot {c}}_{n}(t)e^{-i{\frac {E_{n}}{\hbar }}t}|\psi _{n}(t)\rangle \end{aligned}}$

Con queste notazioni, lo sviluppo diventa formalmente:

$e^{-i{\frac {H_{0}}{\hbar }}t}{\dot {f}}(t)={\frac {1}{i\hbar }}V(t)e^{-i{\frac {H_{0}}{\hbar }}t}f(t)$

o in maniera equivalente:

${\dot {f}}(t)={\frac {1}{i\hbar }}\left[e^{i{\frac {H_{0}}{\hbar }}t}V(t)e^{-i{\frac {H_{0}}{\hbar }}t}\right]f(t)$

ovvero, formalmente:

$f(t)=f(0)e^{{\frac {1}{i\hbar }}\int _{0}^{T}e^{i{\frac {H_{0}}{\hbar }}t}V(t)e^{-i{\frac {H_{0}}{\hbar }}t}dt}$

da cui si ricava che l'operatore di evoluzione temporale nel caso considerato è dato da:

$e^{{\frac {1}{i\hbar }}\int _{0}^{T}e^{i{\frac {H_{0}}{\hbar }}t}V(t)e^{-i{\frac {H_{0}}{\hbar }}t}dt}$

In linea generale, si possono estendere i limiti di integrazione fra $-\infty$ e $+\infty$, visto che la perturbazione si assume limitata nel tempo.

Rappresentazione di Schrödinger, Heisenberg e Dirac

È noto che in uno stato un operatore ${\hat {A}}$ ha un valore medio:

$\langle {\hat {A}}\rangle =\langle \psi (t)|{\hat {A}}|\psi (t)\rangle$

oppure equivalentemente:

$\langle {\hat {A}}\rangle =\langle \psi |{\hat {A}}(t)|\psi \rangle$

La prima rappresentazione è detta rappresentazione di Schrödinger. In essa si assume che il valore medio di ${\hat {A}}$ cambi nel tempo perché è lo stato $|\psi (t)\rangle$ che varia nel tempo. Invece, nella seconda equazione è mostrata la rappresentazione di Heisenberg, si assume che il valore medio di ${\hat {A}}$ cambia perché è l'operatore stesso che varia nel tempo mentre la funzione d'onda resta quella iniziale.

Una ulteriore rappresentazione, che risulterà utile nel seguito, è dovuta a Dirac (detta appunto rappresentazione di Dirac): in essa si considera l'hamiltoniana $H$ come somma di quella libera $H_{0}$ e di una hamiltoniana di interazione $H'$, ovvero $H=H_{0}+H'$. In questo caso risulta:

${\overline {A(t)}}=\langle \psi _{0}(t)|e^{i{\frac {H_{0}}{\hbar }}t}{\hat {A}}e^{-i{\frac {H_{0}}{\hbar }}t}|\psi _{0}(t)\rangle$

dove $\psi _{0}(t)\to \psi (0)$ se $H'=0$.

Nel seguito, per ragioni di convenienza, la componente temporale di un quadrivettore sarà indicata con l'indice 0. In questo modo risulta $x_{\mu }=(ct,{\vec {r}})$ e sarà adottata la segnatura metrica $+---$.