Tale problema condusse Paul A.M. Dirac nel 1928 a formulare la sua equazione, che fra l'altro porta alla predizione dell'esistenza delle antiparticelle. La situazione in cui il numero delle particelle è una variabile viene detto seconda quantizzazione.
L'equazione che Dirac cercava doveva soddisfare i seguenti requisiti:
- deve essere lineare (per conservare il principio di sovrapposizione proprio dell'equazione di Schrödinger);
- deve rispettare la condizione relativistica fra e , comprendere le derivate di spazio e tempo sullo stesso piano (per avere una formulazione relativistica);
- deve contenere solo le derivate prime (per non incorrere nel problema dell'equazione di Klein-Gordon);
- deve tuttavia soddisfare l'equazione di Klein-Gordon (per contenere in sé la relazione relativistica );
- deve essere covariante a vista (per conservare l'invarianza per trasformazioni)
Impostiamo quindi una relazione lineare con le derivate prime, imponendo in tal modo i requisiti (1) e (3):
I coefficienti e sono calcolati imponendo le altre condizioni. Moltiplichiamo infatti la relazione precedente per la sua coniugata per imporre le condizioni (2) e (4). Si ottiene allora:
e tenendo presente che e commutano con (sono in effetti dei coefficienti), si ricava:
Siamo giunti quindi a un'equazione del secondo ordine, che deve corrispondere alla relazione relativistica della condizione (4). Esplicitando la componente :
Per ottenere ora la relazione a partire da questa equazione, dobbiamo ritrovare il termine e i termini misti in devono essere nulli. I coefficienti devono quindi sottostare alle condizioni:
e in questo caso la relazione diventa:
Bisogna ora esplicitare i coefficienti da inserire nell'equazione. I coefficienti soddisfano la proprietà di anticommutazione e quelle delle matrici. Questo implica immediatamente che non può essere uno scalare, ma un vettore sul quale queste matrici possono operare. La seconda proprietà ci permette di dedurre:
dimensioni. Ma il determinante è un numero, quindi deve essere pari. Essendo anche il determinante diverso da 0, possiamo prendere le matrici inverse e dalla stessa relazione ricavare le condizioni:
e prendendone le tracce:
Moltiplicando invece per si ricava:
Le tre matrici e la sono quindi matrici non unitarie a traccia nulla di dimensione pari. La matrice , per via della traccia nulla e della terza condizione sul suo quadrato, deve avere la forma:
La dimensione minima che soddisfa tutte queste richieste è 4 in quanto a causa della particolare forma della terza matrice non è possibile soddisfare queste condizioni in uno spazio a dimensione 2, poiché una base è composta dalle tre matrici di Pauli più la matrice unitaria. Si noti tuttavia che questo numero non ha alcuna relazione con le dimensioni dello spazio-tempo.
Notando che in uno spazio una base matriciale è costituita dalla matrice identità e dalle tre matrici di Pauli :
e notando inoltre che le matrici di Pauli possono essere utilizzate a livello più generale come elementi di matrici a blocchi, si può senz'altro scegliere come base:
Ovvero, esplicitamente:
Questa scelta costituisce la cosiddetta rappresentazione standard o rappresentazione di Dirac; altre due rappresentazioni possibili sono quella di Weyl e quella di Majorana.
L'equazione in forma operatoriale assume questo aspetto:
la cui complessa coniugata è:[1]
Seguendo il procedimento standard per trovare l'equazione di continuità, possiamo ora moltiplicare la prima per a sinistra e la seconda per a destra. Sottraendo poi la seconda dalla prima si ottiene:
ovvero:
È possibile quindi definire una densità di probabilità e una densità di corrente di probabilità rispettivamente come:
e ottenere infine l'equazione di continuità nella solita forma, dove il termine risulta legato alla velocità ed in cui la densità di probabilità è effettivamente definita positiva:
Resta da soddisfare infine la condizione (5). L'equazione scritta qui è in realtà già covariante e si esplicita semplicemente moltiplicando a sinistra per :
Introduciamo ora la notazione standard di Dirac, facendo le posizioni (matrici di Dirac):
Questo permette di riscrivere l'equazione in forma più compatta:
La covarianza a vista è ormai già evidente. Riscrivendo l'equazione in termini di quadrivettori si trova la forma definitiva per l'equazione di Dirac:
Si può introdurre anche la notazione ,[2] che permette di scrivere l'equazione di Dirac nella forma eccezionalmente compatta:
Evidenziamo ora alcune proprietà delle matrici . In primo luogo:
Dall'equazione di Dirac si ricava invece:
e in particolare, se , . Inoltre, per la quarta componente:
e dunque in definitiva vale l'importante relazione: