Meccanica del punto materiale/Oscillatore armonico
L'oscillatore armonico semplice è un sistema fisico il cui stato dinamico è descritto dall'equazione differenziale:
dove è una grandezza fisica che oscilla con legge armonica.
I fenomeni periodici sono frequentissimi in natura. Nei moduli precedenti abbiamo visto alcuni esempi: il pendolo (semplice e composto) e il sistema molla-punto materiale. Per il pendolo, il moto è armonico semplice solo per piccoli spostamenti dalla verticale. Se gli angoli sono grandi il moto è ancora periodico, ma non armonico. Allo stesso modo, la legge di Hooke è un'approssimazione del comportamento di una molla, tanto migliore quanto gli allungamenti sono piccoli. È quindi importante rendersi conto che la condizione di oscillatore armonico semplice si verifica per un sistema che si allontana di poco da una posizione di equilibrio.
Con i metodi dell'analisi matematica si può dimostrare che la soluzione più generale dell'equazione differenziale dell'oscillatore armonico semplice è:
che può essere riscritta come
ponendo e . L'ampiezza e la fase sono determinate dalle condizioni iniziali del moto.
Può capitare che in alcune situazioni ci si trovi di fronte all'equazione differenziale non omogenea
dove è una qualsiasi funzione del tempo. In questo caso la soluzione più generale è:
dove è una soluzione particolare dell'equazione non omogenea. Un esempio chiarirà le idee. Consideriamo una molla appesa verticalmente al soffitto, a cui è appesa una massa . La molla viene tirata leggermente e lasciata andare. Vogliamo trovare la legge oraria del moto. Per la seconda legge della dinamica abbiamo che:
ponendo ci riconduciamo all'equazione differenziale non omogenea
Una soluzione particolare di questa equazione è . Dalle condizioni iniziali abbiamo che:
Quindi la legge oraria è: