Meccanica del punto materiale/Forza peso e forze vincolari

Nel modulo precedente abbiamo introdotto il concetto di forza e abbiamo visto come essa causi un cambiamento del moto di un corpo. Iniziamo ora a parlare di due forze fondamentali, forze che sperimentiamo ogni giorno della nostra vita: la forza peso e la forza vincolare. Partiamo da un'esperienza comune: prendiamo una pallina e teniamola in mano. A un certo punto apriamo la mano: la pallina cade. Come intuì Galileo, il moto della pallina è uniformemente accelerato. Ma se c'è un'accelerazione c'è anche una forza che causa tale accelerazione. Nel nostro caso è la forza di gravità della Terra. La Terra attrae verso il suo centro tutti i corpi sulla e in prossimità della sua superficie. Il peso di una persona non è altro che la forza con cui la Terra la attrae. Si parla per questo di forza peso, e si dice che su un corpo agisce la sua forza peso. Per un corpo di massa $m$ il suo peso vale:

${\vec {P}}=m{\vec {g}}$

dove $g$ è l'accelerazione di gravità. Se su un corpo agisce solo il suo peso, si dice che il corpo è in caduta libera. Nell'usare questa equazione in fenomeni fisici locali, cioè quei fenomeni che si svolgono su brevi distanze (una strada, una stanza, un tavolo ecc...) faremo le seguenti assunzioni:

• useremo per g g il suo valore medio, 9,8 m/s²;
• la direzione della forza peso sarà sempre verticale, ovvero per noi la Terra sarà a tutti gli effetti piatta.

Ora raccogliamo la pallina caduta e mettiamola sul tavolo. Notiamo che rimane ferma. Dobbiamo allora concludere, in virtù del secondo principio della dinamica, che sulla pallina agisce un'altra forza, oltre al suo peso. In generale, quando un corpo preme contro una superficie, quest'ultima, anche se rigida, si deforma seppur lievemente e preme sul corpo con una forza detta normale, in quanto perpendicolare alla superficie di contatto.

Non esiste un'espressione generale per la forza normale: a seconda della particolare situazione fisica avrà un certo valore. Nel caso del tavolo orizzontale la normale ha lo stesso modulo della forza peso ma verso opposto. Supponiamo però di avere un corpo fermo su un piano inclinato di un angolo $\theta$ rispetto all'orizzontale. Adottiamo un sistema di riferimento con assi $x,y$, uno in direzione perpendicolare al piano e l'altro parallelo a quest'ultimo. In direzione perpendicolare al piano agiscono due forze: la componente della forza peso diretta in questa direzione e la normale. Poiché il corpo è fermo, le due forze devono essere uguali in modulo, quindi la forza normale in questa situazione vale (vedi figura):

${\vec {N}}=m{\vec {g}}\cos \theta$

Quando ci pesiamo su una bilancia, la bilancia non misura il nostro peso, ma la forza normale. Se salissimo su un ascensore che accelera verso l'alto, la bilancia segnerebbe un valore più alto. Aumenta infatti la forza normale, mentre la forza peso è sempre la stessa.

Dunque se siamo fermi in piedi sul pavimento, o seduti da qualche parte, su di noi agiscono solo due forze: la forza peso e la forza normale esercitata dalla superficie su cui ci troviamo. In realtà ciò è vero solo se consideriamo la Terra come un sistema di riferimento inerziale. Essa infatti ruota su se stessa e, come abbiamo visto nel relativo modulo, un moto circolare uniforme è un moto accelerato. La Terra non è quindi un sistema di riferimento inerziale. Di conseguenza ogni corpo sulla sua superficie è soggetto a una forza apparente, detta forza centrifuga. Tuttavia il contributo di questa forza è completamente trascurabile (solo all'equatore si sente di più: ci fa sentire un po' più leggeri) e quindi, quando consideriamo situazioni fisiche locali, che riguardano corpi che si muovono per brevi distanze, ha senso considerare la Terra come se fosse ferma.

Continuiamo ora con l'analisi delle forze. La forza normale è solo un esempio di forza vincolare. Ogni volta che esiste un vincolo che impedisce il moto di un corpo in una data direzione, esiste una forza esercitata dal vincolo stesso sul corpo. Nel caso della pallina ferma sul tavolo, il vincolo è costituito appunto dal tavolo.

Vediamo ora un altro esempio di forza vincolare. Prendiamo un filo, attacchiamo un estremità al soffitto, e all'estremità libera attacchiamo una massa. Poiché la massa è ferma, oltre alla forza peso agisce un'altra forza. Essendo la massa a contatto solo con il filo, tale forza è esercitata dal filo stesso ed è chiamata tensione. Più in generale, ogni volta che una corda o una fune è attaccata a un corpo ed è tirata, essa tira il corpo con una forza ${\vec {T}}$, diretta lungo la corda e in verso concorde al moto del corpo.

Nella maggior parte dei casi possiamo fare le seguenti due assunzioni: la corda è inestensibile e ha massa trascurabile. Il fatto che la corda sia inestensibile ci dice che, se due corpi sono legati dalla stessa corda, le loro accelerazioni sono uguali. Cosa comporta il fatto che la massa sia trascurabile? Che il filo sviluppa alle sue estremità due forze uguali e contrarie, pari alla tensione. Vediamo perché.

Ogni pezzetto di filo è tirato da una parte e dall'altra da tutti gli altri pezzi di filo. In particolare, su ogni estremità libera del filo agisce una forza esterna. Queste forze esterne devono essere uguali alla tensione del filo. Infatti, se la massa è nulla, allora la risultante delle forze deve essere nulla, altrimenti per $F=ma$ il filo avrebbe un'accelerazione infinita. Quindi la tensione è la stessa in tutto il filo, e se il filo collega due corpi tirerà entrambi con la stessa forza di modulo pari alla tensione.

Concludiamo con qualche osservazione. Se la forza normale agente su un corpo diminuisce fino a diventare nulla, significa che il corpo e la superficie si toccano ma la superficie non esercita nessuna forza. Se la forza normale diventa negativa, allora il corpo si stacca dalla superficie. È questo il caso, per esempio, di un corpo che percorre il giro della morte. Se la sua velocità iniziale non è sufficientemente alta, il corpo nel punto più alto si stacca. Ancora, se la tensione diventa negativa, significa che la corda non è più tesa e il corpo si stacca della corda.