Meccanica del punto materiale/Momento angolare

Introduciamo ora una nuova grandezza fisica che avrà grande importanza nel moto di rotazione, il momento angolare. Supponiamo che un punto materiale di massa $m$ si muova nello spazio. Consideriamo un punto $O$, detto polo, che può essere fermo o in moto. Sia ${\vec {v}}$ la velocità del punto rispetto al sistema di riferimento in cui studiamo il moto.

Definizione

Definiamo momento angolare del punto materiale il prodotto vettoriale:

${\vec {L}}={\vec {r}}\times m{\vec {v}}$

dove ${\vec {r}}$ è il raggio vettore che indica la posizione del punto rispetto al polo.

Sottolineiamo che il polo non coincide necessariamente con l'origine del sistema di riferimento scelto. Vediamo ora un esempio di calcolo di momento angolare. Supponiamo che il moto sia curvilineo e che avvenga su un piano. Sappiamo già che in coordinate polari la velocità si può scrivere come

${\vec {v}}={\frac {dr}{dt}}{\hat {u}}_{r}+r{\frac {d\theta }{dt}}{\hat {u}}_{\theta }={\vec {v}}_{r}+{\vec {v}}_{\theta }$

dove ${\vec {v}}_{r}$ e ${\vec {v}}_{\theta }$ sono rispettivamente le velocità radiale e trasversale. Dalla definizione di momento angolare abbiamo che

${\vec {L}}={\vec {r}}\times m({\vec {v}}_{r}+{\vec {v}}_{\theta })={\vec {r}}\times m{\vec {v}}_{\theta }$

dove abbiamo tenuto conto del fatto che il prodotto vettoriale tra due vettori paralleli è nullo. Il momento angolare è quindi perpendicolare al piano su cui avviene il moto e vale in modulo

$L=mr^{2}{\frac {d\theta }{dt}}$

In particolare, se il moto è circolare uniforme con velocità angolare $\omega$, allora $L=mr^{2}\omega$.