Considerata una traiettoria curvilinea su cui viene fissata arbitrariamente un'origine
O
{\displaystyle O}
Definizione
Si definisce
ascissa curvilinea la lunghezza del tratto di curva che congiunge
x
1
{\displaystyle x_{1}}
a
O
{\displaystyle O}
. Se
x
1
{\displaystyle x_{1}}
si trova verso
x
{\displaystyle x}
positive secondo il verso di percorrenza stabilito l'ascissa curvilinea
x
1
O
{\displaystyle x_{1}O}
o
O
x
1
{\displaystyle Ox_{1}}
è positiva, se
x
1
{\displaystyle x_{1}}
si trova verso
x
{\displaystyle x}
negative l'ascissa curvilinea è negativa. La velocità del punto definisce la concordanza tra il verso fissato e il verso di percorrenza della curva: velocità positive sono quelle che fanno muovere il punto secondo il verso fissato, negative quelle che lo fanno muovere nel verso opposto.
La velocità media
V
m
(
t
1
,
t
2
)
=
x
(
t
2
)
−
x
(
t
1
)
t
2
−
t
1
{\displaystyle V_{m}(t_{1},t_{2})={\frac {x(t_{2})-x(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}}}
è rappresentata dal vettore che ha stessa direzione del segmento
x
1
x
2
{\displaystyle x_{1}x_{2}}
Applicando l'operazione di limite si ottiene la velocità istantanea
V
=
lim
Δ
t
→
0
V
m
(
t
,
t
+
Δ
t
)
=
lim
Δ
t
→
0
Δ
X
Δ
t
=
d
X
d
t
{\displaystyle V=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}V_{m}(t,t+\Delta t)=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {\Delta X}{\Delta t}}={\frac {dX}{dt}}}
il cui vettore è tangente alla traiettoria nella posizione
x
1
{\displaystyle x_{1}}
t
{\displaystyle t}
Derivando una seconda volta si ottiene l'accelerazione istantanea
a
=
lim
Δ
t
→
0
Δ
v
Δ
t
=
d
v
d
t
=
d
d
t
⋅
d
x
d
t
=
d
2
x
d
t
2
{\displaystyle a=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {\Delta v}{\Delta t}}={\frac {dv}{dt}}={\frac {d}{dt}}\cdot {\frac {dx}{dt}}={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}}
il cui vettore è parallelo al raggio di curvatura in
x
1
{\displaystyle x_{1}}
v
(
t
)
{\displaystyle v(t)}
i
^
{\displaystyle {\hat {i}}}
j
^
{\displaystyle {\hat {j}}}
k
^
{\displaystyle {\hat {k}}}
x
→
(
t
)
{\displaystyle {\vec {x}}(t)}
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
z
{\displaystyle z}
x
→
(
t
)
=
x
(
t
)
⋅
i
^
+
y
(
t
)
⋅
j
^
+
z
(
t
)
⋅
k
^
{\displaystyle {\vec {x}}(t)=x(t)\cdot {\hat {i}}+y(t)\cdot {\hat {j}}+z(t)\cdot {\hat {k}}}
Ricavo, a partire dalla scomposizione di
x
→
(
t
)
{\displaystyle {\vec {x}}(t)}
v
→
(
t
)
{\displaystyle {\vec {v}}(t)}
v
→
(
t
)
=
d
x
→
d
t
=
d
x
d
t
i
^
+
d
y
d
t
j
^
+
d
z
d
t
k
^
{\displaystyle {\vec {v}}(t)={\frac {d{\vec {x}}}{dt}}={\frac {dx}{dt}}{\hat {i}}+{\frac {dy}{dt}}{\hat {j}}+{\frac {dz}{dt}}{\hat {k}}}
Sapendo inoltre che
v
→
(
t
)
=
v
x
i
^
+
v
y
j
^
+
v
z
k
^
{\displaystyle {\vec {v}}(t)=v_{x}{\hat {i}}+v_{y}{\hat {j}}+v_{z}{\hat {k}}}
Deduco la seguente uguaglianza
v
x
=
d
x
d
t
;
v
y
=
d
y
d
t
;
v
z
=
d
z
d
t
{\displaystyle v_{x}={\frac {dx}{dt}};\qquad v_{y}={\frac {dy}{dt}};\qquad v_{z}={\frac {dz}{dt}}}
Si può inoltre ricavare la scomposizione sui tre assi del vettore accelerazione
a
→
(
t
)
{\displaystyle {\vec {a}}(t)}
a
→
(
t
)
=
d
v
→
d
t
=
d
v
x
d
t
i
^
+
d
v
y
d
t
j
^
+
d
v
z
d
t
k
^
{\displaystyle {\vec {a}}(t)={\frac {d{\vec {v}}}{dt}}={\frac {dv_{x}}{dt}}{\hat {i}}+{\frac {dv_{y}}{dt}}{\hat {j}}+{\frac {dv_{z}}{dt}}{\hat {k}}}
Analogamente a quanto mostrato nel paragrafo sovrastante riguardante la velocità, dimostro che dato che
a
→
(
t
)
=
a
x
i
^
+
a
y
j
^
+
a
z
k
^
{\displaystyle {\vec {a}}(t)=a_{x}{\hat {i}}+a_{y}{\hat {j}}+a_{z}{\hat {k}}}
allora si deduce che
a
x
=
d
v
x
d
t
=
d
2
x
d
t
;
a
y
=
d
v
y
d
y
=
d
2
y
d
t
;
a
z
=
d
v
z
d
t
=
d
2
z
d
t
{\displaystyle a_{x}={\frac {dv_{x}}{dt}}={\frac {d^{2}x}{dt}};\qquad a_{y}={\frac {dv_{y}}{dy}}={\frac {d^{2}y}{dt}};\qquad a_{z}={\frac {dv_{z}}{dt}}={\frac {d^{2}z}{dt}}}
Definizione
Si definisce moto circolare il caso particolare di moto curvilineo che abbia traiettoria circolare di centro
O
{\displaystyle O}
R
{\displaystyle R}
Si definisce
coordinata curvilinea (e si indica con
s
{\displaystyle s}
) la lunghezza orientata dell'arco.
La legge oraria è:
θ
=
θ
(
t
)
{\displaystyle \theta =\theta (t)}
Se il moto è circolare uniforme, la velocità angolare è costante:
ω
=
ω
0
{\displaystyle \omega =\omega _{0}}
d
θ
d
t
=
ω
0
;
d
θ
=
ω
0
d
t
;
{\displaystyle {\frac {d\theta }{dt}}=\omega _{0};\quad d\theta =\omega _{0}dt;}
∫
θ
0
θ
(
t
)
d
θ
=
∫
t
0
t
ω
0
d
t
;
{\displaystyle \int _{\theta _{0}}^{\theta (t)}d\theta =\int _{t_{0}}^{t}\omega _{0}dt;}
[
θ
]
θ
0
θ
(
t
)
=
ω
0
[
t
]
t
0
t
;
θ
(
t
)
−
θ
0
=
ω
0
t
−
ω
0
t
0
;
{\displaystyle [\theta ]_{\theta _{0}}^{\theta (t)}=\omega _{0}[t]_{t_{0}}^{t};\quad \theta (t)-\theta _{0}=\omega _{0}t-\omega _{0}t_{0};}
Dato che
t
0
=
0
s
,
ω
0
t
0
=
0
{\displaystyle t_{0}=0s,\quad \omega _{0}t_{0}=0}
θ
(
t
)
=
θ
0
+
ω
0
t
{\displaystyle \theta (t)=\theta _{0}+\omega _{0}t}
ponendo
θ
0
=
0
rad
{\displaystyle \theta _{0}=0_{\text{rad}}}
θ
=
ω
t
{\displaystyle \theta =\omega t}
Applicando quanto appreso nel caso generale del moto curvilineo in due dimensioni sulle componenti dei vettori
v
(
t
)
{\displaystyle v(t)}
a
(
t
)
{\displaystyle a(t)}
{
x
(
t
)
=
r
cos
θ
=
r
cos
(
ω
t
)
y
(
t
)
=
r
sin
(
ω
t
)
{\displaystyle \left\{{\begin{aligned}&x(t)=r\cos \theta =r\cos(\omega t)\\&y(t)=r\sin(\omega t)\\\end{aligned}}\right.}
{
V
x
(
t
)
=
d
x
d
t
=
−
ω
r
sin
(
ω
t
)
V
y
(
t
)
=
ω
r
cos
(
ω
t
)
{\displaystyle \left\{{\begin{aligned}&V_{x}(t)={\frac {dx}{dt}}=-\omega r\sin(\omega t)\\&V_{y}(t)=\omega r\cos(\omega t)\\\end{aligned}}\right.}
{
a
x
(
t
)
=
d
V
x
d
t
=
−
ω
2
r
cos
(
ω
t
)
a
y
(
t
)
=
d
V
y
d
t
=
−
ω
2
r
sin
(
ω
t
)
{\displaystyle \left\{{\begin{aligned}&a_{x}(t)={\frac {dV_{x}}{dt}}=-\omega ^{2}r\cos(\omega t)\\&a_{y}(t)={\frac {dV_{y}}{dt}}=-\omega ^{2}r\sin(\omega t)\\\end{aligned}}\right.}
dove
a
{\displaystyle a}
Definizione
L'
accelerazione centripeta è l'accelerazione che causa il curvamento della traiettoria, senza modificare il modulo della velocità angolare
ω
{\displaystyle \omega }
.
Per questo si parla di moto uniforme nonostante sia presente un'accelerazione!
v
{\displaystyle v}
ω
{\displaystyle \omega }
a
{\displaystyle a}
modifica
θ
=
S
R
{\displaystyle \theta ={\frac {S}{R}}}
ω
=
d
θ
d
t
=
V
R
{\displaystyle \omega ={\frac {d\theta }{dt}}={\frac {V}{R}}}
Dato che
V
=
d
S
d
t
{\displaystyle V={\frac {dS}{dt}}}
ω
=
1
R
⋅
d
S
d
t
{\displaystyle \omega ={\frac {1}{R}}\cdot {\frac {dS}{dt}}}
|
a
¯
|
=
a
x
2
+
a
y
2
=
(
ω
2
R
cos
(
ω
t
)
)
2
+
(
ω
2
R
sin
(
ω
t
)
)
2
=
ω
2
R
cos
2
(
ω
t
)
+
sin
2
(
ω
t
)
{\displaystyle |{\bar {a}}|={\sqrt {a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}}={\sqrt {(\omega ^{2}R\cos(\omega t))^{2}+(\omega ^{2}R\sin(\omega t))^{2}}}=\omega ^{2}R{\sqrt {\cos ^{2}(\omega t)+\sin ^{2}(\omega t)}}}
Dato che
cos
2
α
+
sin
2
α
=
1
{\displaystyle \cos ^{2}\alpha +\sin ^{2}\alpha =1}
cos
2
(
ω
t
)
+
sin
2
(
ω
t
)
=
1
{\displaystyle \cos ^{2}(\omega t)+\sin ^{2}(\omega t)=1}
|
a
¯
|
=
ω
2
R
⋅
1
=
ω
2
R
{\displaystyle |{\bar {a}}|=\omega ^{2}R\cdot 1=\omega ^{2}R}
Tenendo inoltre conto del fatto che
ω
=
V
R
{\displaystyle \omega ={\frac {V}{R}}}
a
c
=
V
2
R
{\displaystyle a_{c}={\frac {V^{2}}{R}}}
Definizione
![{\displaystyle [\theta ]_{\theta _{0}}^{\theta (t)}=\omega _{0}[t]_{t_{0}}^{t};\quad \theta (t)-\theta _{0}=\omega _{0}t-\omega _{0}t_{0};}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e8a6f1e5122e80e6dc5f1150552e230198aab74)
