Meccanica del punto materiale/Forze conservative ed energia potenziale

Forza conservativa

Diamo immediatamente la definizione di forza conservativa.

Definizione

Si definisce forza conservativa una forza il cui lavoro non dipende dal percorso compiuto ma solo dalle posizioni iniziale e finale della traiettoria, ovvero:

$W_{A,B}=\int _{A}^{B}{\vec {f}}\cdot d{\vec {s}}=g(A,\,B)$

Dove $g$ è una funzione.

Un altro modo per definire le forze conservative è quello di dire che, su un qualsiasi percorso chiuso, il lavoro è nullo, ovvero:

$\oint {\vec {F}}\cdot d{\vec {s}}=0$

Possiamo studiare meglio questo caso. Prendiamo un percorso chiuso, e dividiamolo in un percorsi diversi tra loro, uno che va nel verso ${\overline {AB}}$, l'altro che va nel verso opposto ${\overline {BA}}$. Per comodità, li indicheremo con (I) e (II). Avremo quindi che:

${\begin{aligned}\oint {\vec {f}}\cdot d{\vec {s}}=&{\text{ (I)}}\int _{A}^{B}{\vec {f}}\cdot d{\vec {s}}+{\text{ (II)}}\int _{B}^{A}{\vec {f}}\cdot d{\vec {s}}=0\\&{\text{ (I)}}\int _{A}^{B}{\vec {f}}\cdot d{\vec {s}}=-{\text{(II)}}\int _{B}^{A}{\vec {f}}\cdot d{\vec {s}}\\&{\text{ (I)}}\int _{A}^{B}{\vec {f}}\cdot d{\vec {s}}={\text{ (II)}}\int _{A}^{B}{\vec {f}}\cdot d{\vec {s}}\end{aligned}}$

Quindi è riconfermato che il lavoro dipende solo dagli estremi e non dal percorso compiuto.

Energia potenziale

Analizziamo il calcolo del lavoro di una forza conservativa. Nel caso in cui si volesse calcolare il lavoro da un punto $P_{0}$ a un punto $B$, preso un punto $A$ qualsiasi, allora varrà la relazione:

$W(P_{0},\,B)=:W(P_{0},\,A)+W(A,\,B)$

Perché sappiamo che, per le forze conservative, il lavoro dipende solo dai punti estremi del percorso. Dall'espressione precedente si ricava immediatamente:

$W(A,\,B)=W(P_{0},\,B)-W(P_{0},\,A)=g(A,\,B)=g(P_{0},\,B)-g(P_{0},\,A)$

Dove $g$ è una funzione, che chiameremo funzione potenziale. Dalla precedente ricaviamo che:

$W(A,\,B)=g(B)-g(A)$

Ovvero un altro modo di esprimere il lavoro solo in funzione degli estremi.

Definizione

Si definisce energia potenziale $E_{p}$ di una forza conservativa:

$E_{p}=-g$

Da questa definizione possiamo esprimere il lavoro di una forza conservativa come:

$W(A,\,B)=-\Delta E_{p}=-[E_{p}(B)-E_{p}(A)]$

Ovvero il lavoro equivale all'opposto della differenza di energia potenziale.

Adesso sfrutteremo la definizione di energia potenziale per calcolarla in caso di forze conservative note, ricordando che bisogna sempre definire un punto dove l'energia potenziale vale zero.

Energia potenziale della forza peso

Come abbiamo visto nel precedente modulo, il lavoro della forza peso vale:

$W=\int _{A}^{B}{\vec {P}}\cdot d{\vec {s}}=-mg(z_{B}-z_{A})=-(mgz_{B}-mgz_{A})$

Abbiamo appena visto che il lavoro può essere anche scritto come:

$W=-\Delta E_{p}$

L'energia potenziale della forza peso è quindi:

$E_{p}=mgz$

dove abbiamo scelto il terreno come livello di riferimento in cui l'energia potenziale vale zero. Questa è una convenzione naturale, ma non è l'unica. Difatti il livello zero può essere scelto a piacimento, non influisce sul lavoro della forza peso perché esso è definito dalla variazione di energia potenziale, quindi la costante arbitraria scompare.

Energia potenziale elastica

Nel precedente modulo abbiamo visto come anche il lavoro della forza elastica dipendesse solo dagli estremi; esso vale:

$W=\int _{A}^{B}{\vec {f}}_{el}\cdot d{\vec {s}}=-{\frac {k}{2}}(x_{B}^{2}-x_{A}^{2})$

È immediato definire l'energia potenziale della forza elastica come:

$E_{p}={\frac {1}{2}}kx^{2}$

Anche qui conveniamo che l'energia potenziale della molla sia nulla nell'estremo libero di una molla a riposo. Nella precedente formula $x$ indica quindi la distanza di un estremo dal punto di equilibrio della molla.

Alla luce di questi esempi possiamo dare una nuova definizione di energia potenziale. L'energia potenziale di un corpo è il lavoro eventuale delle forze conservative applicate al corpo, cioè il lavoro che le forze conservative compirebbero in relazione a un eventuale spostamento del corpo dalla posizione iniziale al livello zero di riferimento. Attenzione a non definire l'energia potenziale come il lavoro che le forze "devono" compiere per spostare il corpo nella posizione di riferimento. Se, per esempio, un ascensore si trova al piano terra, e noi scegliamo come livello zero di riferimento per l'energia potenziale il terzo piano, la definizione ci costringerebbe a dire che l'energia potenziale dell'ascensore è il lavoro che la forza di gravità deve compiere per sollevarlo fino al terzo piano, il che stona un po'.

Conservazione dell'energia meccanica

Abbiamo studiato due relazioni del lavoro, una volta come differenza di energia cinetica, adesso sfruttando l'energia potenziale. Si possono relazionare i due casi:

$W=\Delta E_{k}=-\Delta E_{p}$

cioè

$E_{k,B}-E_{k,A}=E_{p,A}-E_{p,B}$

da cui

$E_{k,A}+E_{p,A}=E_{k,B}+E_{p,B}$

dove $A$ e $B$ indicano due configurazioni diverse in cui si può trovare il punto materiale. Quindi se su un punto materiale agiscono solo forze conservative, o se le eventuali forze non conservative non compiono lavoro, la somma di energia cinetica ed energia potenziale, detta anche energia meccanica del punto, si conserva.

Vediamo cosa succede invece se agiscono anche forze non conservative. Il lavoro totale è uguale alla somma delle forze conservative $W_{c}$ e delle forze non conservative $W_{nc}$:

$W=W_{c}+W_{nc}=E_{k,B}-E_{k,A}=E_{p,A}-E_{p,B}+W_{nc}=E_{k,B}-E_{k,A}$

da cui, indicando con $E_{m}$ l'energia meccanica del punto materiale

$W_{nc}=E_{m,B}-E_{m,A}$

Le forze non conservative causano una variazione di energia meccanica del punto materiale. Una classe particolare di forze non conservative sono le forze di attrito. In molti casi esse dissipano l'energia posseduta da un corpo. Per esempio, se un blocco scivola lungo un pavimento con attrito, una parte dell'energia cinetica del blocco rimane nel blocco, mentre una parte viene dissipata, cioè passa dal blocco al pavimento, diventando energia termica del pavimento, e dal blocco all'aria, propagandosi sotto forma di onde sonore (lo sentiamo il blocco che scivola). Tuttavia, non sempre l'attrito ha ruolo di forza dissipatrice. Se una sfera rotola senza strisciare è perché esiste una forza di attrito statico, che agisce sul punto di contatto, che le impedisce di slittare. Poiché il punto di contatto è istantaneamente fermo, la forza di attrito in questo caso non compie lavoro. Questo è il motivo per cui abbiamo sottolineato il fatto che l'energia meccanica si può conservare anche se agiscono forze non conservative.

Facciamo un'ultima considerazione sul lavoro. Al compimento di lavoro si accompagnano due fenomeni: trasferimento e trasformazione di energia. Illustriamoli con degli esempi.

Se diamo un calcio a un pallone, una parte di energia che si trovava inizialmente nel nostro corpo, che abbiamo assunto col cibo, si trova ora sotto forma di energia cinetica nel pallone. In questo caso il lavoro è un trasferimento di energia dal nostro corpo al pallone. Invece, quando la Terra fa cadere un corpo, certamente compie lavoro sul corpo, perché questo si sposta, ma non c'è nessun trasferimento di energia dalla Terra al corpo. È vero che il corpo acquista energia cinetica che prima non aveva, ma perde la stessa quantità sotto forma di energia potenziale. Questa volta non c'è trasferimento ma trasformazione di energia potenziale in energia cinetica.

Il compimento di lavoro non implica quindi il trasferimento di energia, come erroneamente molti sostengono, definendo anzi il lavoro come energia in transito. Per noi la definizione di lavoro non è altro che la seguente, già introdotta nel modulo precedente:

Definizione

Una forza $F$ compie lavoro quando agisce su un corpo (punto materiale, corpo esteso...) che si sposta percorrendo una traiettoria qualsiasi, purché tale traiettoria non sia perpendicolare alla direzione della forza. Per un percorso da $A$ a $B$ il lavoro vale:

$W=\int _{A}^{B}{\vec {F}}\cdot d{\vec {s}}$

Dall'energia potenziale alla forza

Immaginiamo di avere nota l'espressione dell'energia potenziale, e vogliamo ricavare la forza che l'ha generata. Ricordiamo un caso studiato nella definizione di lavoro:

$dW={\vec {f}}\cdot d{\vec {s}}$

Nel precedente paragrafo abbiamo visto come $dW=-dE_{p}$, quindi possiamo scrivere:

${\vec {f}}\cdot d{\vec {s}}=-dE_{p}\quad {\vec {f}}=-{\frac {dE_{p}}{d{\vec {s}}}}$

Attenzione: questo calcolo non è banale come sembra. L'energia potenziale è infatti uno scalare, mentre la forza è una grandezza vettoriale. Avremo quindi la derivata di uno scalare rispetto a un vettore. In questi casi, si usa la notazione di gradiente e derivata parziali. Una derivata parziale si usa quando è presente una funzione in più variabili e la si vuole derivare solo rispetto a una di esse: si eseguirà la derivata rispetto a quella variabile considerando le altre variabili presenti come costanti. Per fare un esempio:

${\frac {\partial }{\partial x}}(x^{2}y2\pi z)=2xy2\pi z$

Nulla di estraneo quindi. Il gradiente invece è un vettore dello spazio con coordinate le derivate parziali della funzione presa, ovvero:

$\nabla f(x)=\left({\frac {\partial }{\partial x_{1}}}f(x),\cdots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}f(x)\right)$

Riprendendo il discorso dell'energia potenziale, avremo quindi che:

${\vec {f}}=-{\frac {dE_{p}}{d{\vec {s}}}}=-\nabla E_{p}$

Possiamo scrivere la forza in coordinate cartesiane, semplificando l'espressione precedente:

${\vec {f}}={\begin{cases}f_{x}=-{\frac {\partial E_{p}}{\partial x}}\\f_{y}=-{\frac {\partial E_{p}}{\partial y}}\\f_{z}=-{\frac {\partial E_{p}}{\partial z}}\end{cases}}$

Prendiamo l'esempio della forza peso: abbiamo che $U=mgz$, e vogliamo ricavarne la forza. Avremo quindi che:

${\vec {P}}={\begin{cases}&f_{x}=-{\frac {\partial (mgz)}{\partial x}}=0\\&f_{y}=-{\frac {\partial (mgz)}{\partial y}}=0\\&f_{z}=-{\frac {\partial (mgz)}{\partial z}}=-mg\end{cases}}$

Da cui ${\vec {P}}=(0,\,0,\,-mg)$, coerente con la formula della forza peso che conosciamo.