Meccanica del punto materiale/Forza d'attrito viscoso

Nel modulo precedente abbiamo introdotto la forza di attrito radente. Questo però non è l'unico modo con cui l'attrito può manifestarsi. Per esempio, quando un corpo si muove in un fluido, cioè un liquido o un gas, è sottoposto a una forza che tende a frenarlo. In ogni istante le particelle di fluido a contatto con il corpo sono in moto con il corpo. Questo perché il corpo esercita una forza sulle particelle di fluido, che, inizialmente ferme, si mettono in moto. Per la terza legge di Newton le particelle di fluido esercitano una forza sul corpo in verso opposto alla sua velocità. Se questa non è troppo elevata, allora la forza di attrito viscoso si può scrivere come:

${\vec {F}}=-b{\vec {v}}$

dove $b$ è un coefficiente che dipende dalla viscosità del fluido e dalla superficie del corpo.

Supponiamo ora di lasciar cadere verticalmente con velocità iniziale nulla un corpo di massa $m$ in un tubo contenente del fluido. Vogliamo analizzare in dettaglio il moto del corpo. Assumendo che su di esso agiscono due forze, il suo peso e l'attrito viscoso (in realtà c'è anche una terza forza, la forza di Archimede, trascurabile se il volume del corpo è piccolo e la sua densità è molto più grande di quella del fluido), la seconda legge della dinamica di scrive come:

$m{\frac {dv}{dt}}+bv=mg$

ponendo $k={\frac {b}{m}}$ l'equazione diventa

${\frac {dv}{dt}}+kv=g$

Risolvendo per il tempo abbiamo:

$t=\int _{0}^{v}{\frac {1}{g-kv}}\,dv=-{\frac {1}{k}}\left[ln(g-kv)-ln(g)\right]=-{\frac {1}{k}}\left[ln\left({\frac {g-kv}{g}}\right)\right]$

quindi

$e^{-kt}={\frac {g-kv}{g}}$

e infine

$v(t)={\frac {g}{k}}\left(1-e^{-kt}\right)$

Per $t\to +\infty$ la velocità diventa costante e pari a $v={\frac {mg}{b}}$. Significa che a questo punto c'è equilibrio tra forza peso e forza d'attrito e il corpo si muove a velocità costante. Teoricamente quindi il corpo non si muove mai a velocità costante. In pratica però, dopo un certo tempo $t>>{\frac {1}{k}}$ le variazioni di velocità diventano così piccole che non sono registrate né dagli strumenti di misura né dalla calcolatrice. A quel punto possiamo certamente affermare che il corpo si muove a velocità costante.