Meccanica del punto materiale/Energia cinetica e lavoro

Da sempre l'uomo ha cercato di capire come produrre e usare in modo efficiente l'energia. Uno dei compiti principali della fisica è studiare i vari tipi di energia esistenti in natura, i loro effetti, e capire come i sistemi fisici scambiano tra loro questa quantità. Il XX secolo ha visto un grande avanzamento in questo campo, con la scoperta dell'energia nucleare.

Innanzitutto cosa significa il termine energia? Il concetto, apparentemente, è vasto. Basta pensare alle forme di energia che conosciamo: energia eolica, nucleare, elettrica... Vedremo però che in realtà tutte queste forme di energia si possono ricondurre a solo due tipi fondamentali, e che l'energia si può definire in modo molto semplice. Anticipiamo innanzitutto che l'energia è una quantità scalare, un numero che associamo a un sistema fisico. Ogni qualvolta il sistema interagisce con un altro sistema, il numero associato al primo sistema può, ad esempio, diminuire, mentre aumenta quello associato al secondo sistema. In altre parole non si perde né si crea dal nulla energia. Il principio di conservazione dell'energia non è stato finora mai confutato dall'esperimento e rappresenta una proprietà notevole del nostro universo.

Tutti i corpi in movimento posseggono energia. D'altra parte ciò sembra molto naturale: se siamo ammalati e "senza energia" difficilmente ci alziamo dal letto. O ancora, un atleta professionista ci batte sicuramente nei 100 metri piani perché ha più "energia" di noi. Quindi, intuitivamente, maggiore è la velocità di un corpo, maggiore è la sua energia. Vediamo ora come possiamo quantificare questa energia.

Supponiamo che su un punto materiale agisca un forza costante ${\vec {F}}$ che forma un angolo $\theta$ con l'orizzontale (un asse $x$ orientato). Durante uno spostamento $\Delta x$ la forza cambia la velocità del punto da $v_{0}$ a $v_{1}$. Detta $F_{x}$ la componente orizzontale della forza si ha:

$v_{1}^{2}-v_{0}^{2}=2a_{x}\Delta x$

D'altra parte per la seconda legge di Newton:

$F_{x}=ma_{x}$

risolvendo la prima equazione per $a_{x}$ e inserendola nella seconda abbiamo:

${\frac {1}{2}}mv_{1}^{2}-{\frac {1}{2}}mv_{0}^{2}=F_{x}\Delta x$

Definiamo la quantità ${\frac {1}{2}}mv^{2}$ come l'energia cinetica di un corpo di massa $m$ che si muove con velocità $v$.

Quando una forza sposta un corpo, si dice che la forza ha compiuto un lavoro. Se la forza non è bilanciata, come nell'esempio precedente, allora causa anche una variazione di energia cinetica del corpo. Il lavoro di una forza costante durante uno spostamento $\Delta x$ vale:

$W={\vec {F}}\cdot \Delta {\vec {x}}=Fcos\theta \Delta x=F_{x}\Delta x$

Dunque a compiere lavoro è solo la componente della forza parallela allo spostamento, e non la componente perpendicolare.

Supponiamo ora che un punto materiale si muova, lungo una traiettoria qualsiasi, sotto l'azione di una forza variabile in modulo e direzione. Vogliamo trovare il lavoro compiuto dalla forza durante uno spostamento del punto dalla posizione $A$ a quella $B$. Dividiamo dunque la traiettoria in segmenti $\Delta s$, abbastanza piccoli cosicché la forza si possa considerare costante durante questi spostamenti. Il lavoro totale sarà la somma dei lavori parziali compiuti durante questi piccoli spostamenti. Ovviamente il risultato ottenuto sarà solo un'approssimazione dell'effettivo valore del lavoro, tanto migliore quanto più piccoli sono i segmenti. Mediante un passaggio al limite abbiamo:

$W=\lim _{\Delta s\to \infty }\sum {\vec {F}}\cdot \Delta {\vec {s}}=\int _{A}^{B}{\vec {F}}\cdot d{\vec {s}}$

Il lavoro è dunque l'integrale di linea della forza. E' una grandezza scalare, in quanto definito da un prodotto scalare, e la sua unità di misura è il Joule (J).

Nel caso più generale il punto materiale si muove nello spazio. Usando gli assi cartesiani come sistema di riferimento possiamo scrivere uno spostamento infinitesimo come:

$d{\vec {s}}=dx{\hat {i}}+dy{\hat {j}}+dz{\hat {k}}$

Se il punto si sposta da una posizione di coordinate $(x_{0},y_{0},z_{0})$ a una di coordinate $(x_{f},y_{f},z_{f})$, possiamo allora scrivere il lavoro come:

$W=\int _{x_{0}}^{x_{f}}F_{x}dx+\int _{y_{0}}^{y_{f}}F_{y}dy+\int _{z_{0}}^{z_{f}}F_{z}dz$

Facciamo ora alcune considerazioni.

• Se su un corpo agiscono più forze il lavoro totale è la somma dei lavori compiuti da ogni singola forza.
• Solo le componenti della forza parallele allo spostamento compiono lavoro. Questo significa che le forze centripete non compiono mai lavoro.
• Affinché ci sia lavoro deve esserci uno spostamento. Se spingiamo forte contro una parete sentiamo una certa fatica, a causa delle continue contrazioni dei muscoli. Tuttavia non c'è lavoro compiuto sulla parere, dato che questa non si sposta.

Oltre alla definizione mediante un integrale che abbiamo appena dato, ne possiamo dare una equivalente, ma forse più intuitiva, che mette in risalto il significato fisico del lavoro. Una forza compie lavoro quando agisce su un corpo (un punto materiale, un corpo esteso..) che si sposta percorrendo una traiettoria qualsiasi, purché tale traiettoria non sia perpendicolare alla direzione della forza. Per esempio compiamo lavoro quando spostiamo un mobile, alziamo un bicchiere, trituriamo il cibo per mangiarlo. O ancora, l'attrito compie lavoro quando frena i corpi in movimento, compie lavoro un gas che si espande, e gli esempi sono innumerevoli.

Consideriamo ora un lavoro infinitesimo lungo una traiettoria. Indicata con $F$ la forza parallela allo spostamento abbiamo che:

$dW=Fds=m{\frac {dv}{dt}}ds=mvdv$

integrando abbiamo:

$W=\int _{v_{0}}^{v_{f}}mv\,dv={\frac {1}{2}}mv_{f}^{2}-{\frac {1}{2}}mv_{0}^{2}$

indicando con $E_{k}$ l'energia cinetica del punto materiale possiamo scrivere la seguente relazione:

$W=\Delta E_{k}$

che rappresenta il teorema dell'energia cinetica. Quando una forza compie lavoro su un punto materiale può aumentare l'energia cinetica del punto (compiendo lavoro positivo), oppure diminuirla (in questo caso il lavoro è negativo). Questo ci suggerisce un'altra definizione di energia cinetica. L'energia cinetica di un corpo che si muove con velocità $v$ è il lavoro che le forze esterne applicate al corpo hanno dovuto compiere per portare la sua velocità da 0 a $v$. Un lavoro positivo indica una forza motrice, un lavoro negativo è associato a una forza resistente che si oppone al moto del punto.

È importante poi notare che nel teorema dell'energia cinetica $W$ rappresenta la somma dei lavori di ciascuna forza che agisce sul punto materiale nel tratto considerato. Questo perché la nostra $F$ è in generale una risultante di più forze. Quindi se una persona sposta una cassa a velocità costante, sta compiendo un lavoro non nullo. Invece, se consideriamo la risultante tra forza applicata e forza d'attrito dinamico, il lavoro è nullo, perché non c'è variazione di energia cinetica.

Osservazione: è possibile partire dalla definizione di lavoro come integrale e poi dimostrare comunque il teorema dell'energia cinetica, definendo quindi il valore trovato ${\frac {1}{2}}mv^{2}$ come energia cinetica del punto materiale. Non è l'unico caso della meccanica in cui si può dimostrare un teorema partendo da considerazioni e definizioni differenti.

Infine, in molte situazioni è utile considerare la velocità di erogazione del lavoro.

Definiamo potenza istantanea la derivata del lavoro rispetto al tempo:

$P={\frac {dW}{dt}}$

ricordando che $dW=F\cos \theta ds$, dove $\theta$ è l'angolo che la forza forma con lo spostamento, possiamo scrivere:

$P={\frac {F\cos \theta ds}{dt}}={\vec {F}}\cdot {\vec {v}}$

dove $v$ è la velocità istantanea del punto materiale lungo la traiettoria. L'unità di misura della potenza è il watt (W).