Formulario di fisica per l'ingegneria/Cinematica/Cinematica traslazionale/Equazioni del moto

Formulario di fisica per l'ingegneria/Cinematica/Equazioni del moto

Legge oraria

$$x(t)=\int {v(t)dt}$$

Significato: integrando la definizione di velocità istantanea si può ricavare un'equazione che definisca la posizione in funzione del tempo.

Legge della velocità

$$v(t)=\int {a(t)dt}$$

Significato: integrando la definizione di accelerazione istantanea si può ricavare un'equazione che definisca la velocità in funzione del tempo.

Casi particolari

• accelerazione costante: $a(t)=a$

Legge della velocità:

$$v(t)=a\int {dt}=at+C=v(c)+at$$

Legge oraria:

$$x(t)=\int {(v(c)+at)dt}=v(c)t+{\frac {1}{2}}at^{2}+C=x(c)+v(c)t+{\frac {1}{2}}at^{2}$$

• accelerazione nulla: $a(t)=0$

Legge della velocità:

$$v(t)=v(c)+at=v(c)=v$$

Legge oraria:

$$x(t)=x(c)+v(c)t+{\frac {1}{2}}at^{2}=x(c)+vt$$

Relazione indipendente dal tempo con accelerazione costante

$$t={\frac {v(t)-v(c)}{a}}$$

Significato: viene ricavata la variabile $t$ dalla legge della velocità.

$${\begin{aligned}&x(t)=x(c)+v(c){\bigg (}{\frac {v(t)-v(c)}{a}}{\bigg )}+{\frac {1}{2}}a{\bigg (}{\frac {v(t)-v(c)}{a}}{\bigg )}^{2}\\&2ax(t)=2ax(c)+2v(c)v(t)-2v^{2}(c)+v^{2}(t)+v^{2}(c)-2v(t)v(c)\\&2a(x(t)-x(c))=v^{2}(t)-v^{2}(c)\end{aligned}}$$

Significato: sostituendo la variabile $t$ e svolgendo i calcoli si ottiene una relazione che lega posizioni, velocità e accelerazione indipendentemente dalla variabile $t$.