Fisica nucleare e subnucleare/Teoria delle interazioni forti

La quantum chromodynamics (QCD) è nata come conseguenza dello studio delle interazioni nucleari, e si è evoluta anche grazie a rinnovate tecniche sperimentali.

Nello studio di interazioni del tipo $e^{+}+e^{-}\longrightarrow \mu ^{+}+\mu ^{-}$, col miglioramento delle tecniche sperimentali si è riusciti ad aumentare l'energia disponibile nel centro di massa, rendendo possibili reazioni del tipo $e^{+}+e^{-}\longrightarrow {\mbox{adroni}}$; a un certo punto però, aumentando l'energia, gli eventi osservati nei rivelatori hanno "cambiato forma". Insomma, gli adroni non vengono emessi uniformemente, ma in direzioni precise dello spazio, dette "jets". All'aumentare dell'energia, poi, compaiono nuovi jets. Da dove derivano? Si capì che il processo di formazione dei jet avviene in due fasi: il processo $e^{+}+e^{-}\longrightarrow q+{\overline {q}}$ (ove $q$ è un generico quark) e l'adronizzazione dei quark. La prima fase è un processo che sappiamo descrivere con i diagrammi di Feynman (ossia sappiamo scriverne la lagrangiana), mentre l'adronizzazione è un processo non perturbativo, ossia non sappiamo come descriverlo con strumenti di meccanica quantistica standard. I quark prodotti nella prima fase, però, possono irradiare un gluone (così come un elettrone irradia un fotone), che a sua volta può decadere in una coppia quark-antiquark ("gluon splitting"), che a loro volta possono emettere gluoni e così via. Insomma:

$g\longrightarrow q+{\overline {q}}\longrightarrow q+{\overline {q}}+g_{1}+g_{2}\longrightarrow q+{\overline {q}}+q_{1}+{\overline {q}}_{1}+q_{2}+{\overline {q}}_{2}\longrightarrow \cdots$

Questo processo, ovviamente, prosegue finché energeticamente possibile; dopodiché i quark creati nel processo finiscono in uno stato legato (adronizzano), anche se non sappiamo come ciò accada, nel senso che non esiste ancora una descrizione analitica del processo; esistono però modelli in grado di descrivere sistemi del genere, basati su simulazioni Monte Carlo. Esiste anche tutta una modellistica in grado di descrivere bene ciò che si osserva (anche se ci sono ancora diversi problemi).

Nel caso dell'interazione elettromagnetica, la forza diminuisce all'aumentare della distanza, e pertanto per "allontanare" due cariche di segno opposto basta compiere sufficiente lavoro. Nel caso dei quark la situazione è completamente diversa, perché l'interazione fra cariche di colore avviene tramite il gluone, che ha un comportamento piuttosto atipico, perché il gluone stesso è portatore di carica di colore (al contrario ad esempio del fotone, che non è elettricamente carico); ciò che accade è che quando si "allontanano" due oggetti con carica di colore, l'energia del sistema aumenta a tal punto che diventa conveniente per il sistema "spaccarsi" e formare due nuovi stati legati. Pertanto, non si possono allontanare due quark tra di loro oltre una certa distanza; è questo il confinamento al quale sono soggetti i quark. Quello appena visto è uno dei modelli che permette di spiegare la formazione dei jet: infatti, quando i quark vengono prodotti nella collisione elettrone-positrone hanno del momento, e quindi inizialmente si allontanano fra loro; appena la loro distanza reciproca supera un certo limite, adronizzano creando particelle. Finché l'energia nel centro di massa è bassa, l'adronizzazione è spazialmente uniforme; se però l'energia è sufficientemente elevata l'adronizzazione avviene "intorno" al quark prodotto inizialmente.

Detto $P_{T}$ l'impulso trasverso dei quark prodotti e $P$ quello totale, si può dimostrare che:

${\frac {P_{T}}{P}}\approx {\frac {1}{\sqrt {s}}}\approx \theta$

ove $\theta$ è l'angolo di apertura del jet ( $s$ è l'energia nel centro di massa). Pertanto, se $s$ è piccolo l'angolo di apertura del jet è molto grande, e quindi non si riescono a identificare. Quando invece $s$ è sufficientemente grande (circa maggiore di 30 GeV) l'angolo di apertura diventa di qualche grado, rendendo visibili i jet.

In generale, si parla di "gluoni soffici" quando sono irradiati da quark, e sono quelli che danno origine ai jet attorno ai quark primari; si possono però avere anche "gluoni duri", che ad esempio sono quelli che danno origine ai nuovi jet, aumentando l'energia.

Alcuni jet, insomma, possono essere iniziati da dei gluoni, con impulso trasverso sufficientemente elevato da fare in modo che i quark emessi dal gluone non adronizzino con i quark dei jet primari. Sperimentalmente non è possibile distinguere i jet prodotti dai quark da quelli prodotti da gluoni; si possono però raccogliere dati relativi a molti jet e cercare di studiarne statisticamente le caratteristiche comuni. Ordinando i jet in energia, risulta che nella maggior parte dei casi il jet con energia minore è quello prodotto dal gluone (quello che a energie minori non esiste). Si prende dunque l'asse del primo e del secondo jet e si va a vedere come è posizionato il terzo jet rispetto a quest'asse.

Ciò che si fa è studiare la distribuzione spaziale di particelle in $\cos \varphi$, che sappiamo calcolare per particelle scalari (di spin zero) e vettoriali (di spin uno). Confrontando il risultato dei calcoli con gli esperimenti risulta che i dati sono perfettamente descritti dal caso di particelle vettoriali. In questo modo si dimostra che il jet è un oggetto a spin 1, ed essendo generato dal gluone in questo modo si mostra che il gluone è una particella con spin 1.

La carica di colore

Da dove nasce l'esigenza della carica di colore? Storicamente, si cercava di misurare la grandezza:

$R={\frac {\sigma (e^{+}+e^{-}\longrightarrow {\mbox{adroni}})}{\sigma (e^{+}+e^{-}\longrightarrow \mu ^{+}+\mu ^{-})}}$

Se non consideriamo il colore, ci si aspetterebbe:

$R=\sum _{i}q_{i}^{2}$

ove $q_{i}$ sono le cariche elettriche dei quark coinvolti. Per ${\sqrt {s}}<4{\mbox{ GeV}}$ si possono creare i quark $u$, $d$ e $s$, e ci si aspetterebbe dunque $R=6/9$, mentre sperimentalmente $R=6/3$: c'è un fattore 3 che ci manca. Analogamente, per ${\sqrt {s}}<10{\mbox{ GeV}}$ si possono creare $u$, $d$, $s$ e $c$, pertanto ci si aspetterebbe $R=10/9$, mentre si misura $R=10/3$. Insomma, sommare solle sole cariche elettriche non è sufficiente: lo stato finale deve avere una proprietà aggiuntiva che renda conto di questo fattore 3 mancante. Questa proprietà è esattamente la carica di colore: supponendo che esistano tre cariche di colore, ogni quark può esistere in tre diverse "versioni", e dunque bisogna sommare anche su questi numeri quantici. È in questo modo, insomma, che è stata introdotta la carica di colore.

Il modello dinamico dei nucleoni

In contemporanea a tutto questo in California venne costruito un acceleratore volto a studiare la struttura di protoni e neutroni. Aumentando l'energia dei fasci si capì che la sezione d'urto di produzione (ossia il conto di quante particelle vengono prodotte per dati angoli ed energie) può essere scritta come:

${\frac {d\sigma }{d\Omega dE}}=\left({\frac {d\sigma }{d\Omega dE}}\right)^{\mbox{ptiforme }}W(Q^{2},\nu )$

ove la sezione d'urto puntiforme è quella di tipo Rutherford, mentre $Q^{2}$ è il quadrimpulso trasferito e $\nu =E-E'$ è la differenza fra le energie iniziali e finali.

Il processo è del tipo $e^{-}+p\longrightarrow e^{-}+X$ (detto deep inelastic scattering). L'oggetto $W$ cominciò ad essere studiato al variare dell'energia, e si scoprì che questo "fattore di forma" ha le stesse proprietà di quello di un oggetto che sbatte contro un bersaglio singolo, che però cambia. Insomma, il fotone emesso dall'elettrone interagisce con uno degli oggetti che costituiscono il nucleo, detti (quando il modello a quark non era stato ancora proposto) partoni. Ogni volta il fotone emesso dall'elettrone interagisce con un partone diverso, e $W$ descrive complessivamente la somma di questi effetti. Il fattore $W$ fu studiato in dettaglio, con esperimenti studiati appositamente (ad esempio in urti protone-neutrone a energia variabile). Insomma, possiamo pensare anche che $W$ descriva la distribuzione dei quark all'interno di un nucleone.

Considerando solo $u$ e $d$, la somma delle loro frazioni non dà 1: c'è insomma qualcosa che non torna. Potremmo allora pensare che ci siano fenomeni di QCD analoghi alla polarizzazione del vuoto; includendo anche ${\overline {u}}$ e ${\overline {d}}$ i conti però continuano a non tornare, anche includendo i quark $s$. Insomma, il sistema nucleone è un sistema dinamico, e il fotone emesso dall'elettrone può interagire talvolta con un quark charm presente nel nucleone, talvolta con un quark strange e così via. Questi quark "aggiuntivi" sono detti "quark del mare": sono coppie quark-antiquark che derivano dalla polarizzazione del vuoto. Ciò che però risulta è che comunque il totale che si può ricavare includendo tutti i possibili contributi, non è 1 ma circa 0,5; metà di quello che stiamo osservando deriva da altro: i gluoni. Insomma, in realtà un nucleone è un sistema dinamico composto da molti tipi di quark, e fatto per la maggior parte da gluoni.

Costante di accoppiamento dell'interazione forte

Consideriamo ora l'equivalente di $\alpha _{\mbox{emg }}$ per l'interazione forte, $\alpha _{s}$. Considerando quello che abbiamo visto nel caso di $\alpha _{\mbox{emg }}$, ci aspettiamo che anche in questo ci saranno effetti analoghi alla polarizzazione del vuoto, che complessivamente determinano un effetto di schermo della carica di colore.

Il gluone però ha esso stesso colore, e pertanto potrà interagire con sé stesso.

Insomma, in QCD possiamo avere effetti di polarizzazione del vuoto con gluoni. L'effetto complessivo di questi fenomeni è che lo screening dovuto alla polarizzazione $q{\overline {q}}$ viene compensato, anzi surclassato da quello relativo alla polarizzazione gluone-gluone. Ciò che quindi accade è che in questo caso la $\alpha _{s}$ osservata sarà maggiore di quella nuda. In particolare si determina che:

$\alpha _{s}(q^{2})={\frac {\alpha _{s}(\mu ^{2})}{1+{\frac {\alpha _{s}(\mu ^{2})}{12\pi }}(33-2n_{f})\ln \left({\frac {q^{2}}{\mu ^{2}}}\right)}}$

ove $n_{f}$ è il numero di sapori di quark che si possono produrre a quella data energia ($q^{2}$). Si tratta di una relazione praticamente identica a quella elettromagnetica, a parte la presenza del +. Spesso, si definisce un'altra costante, $\lambda _{QCD}$, come:

$\lambda _{QCD}=\mu ^{2}\exp \left({\frac {12\pi }{(33-2n_{f})\alpha _{s}(\mu ^{2})}}\right)$

di modo che:

$\alpha _{s}(q^{2})={\frac {12\pi }{(33-2n_{f})\ln \left({\frac {q^{2}}{\lambda _{QCD}}}\right)}}$

La costante $\lambda _{QCD}$ è una grandezza determinabile sperimentalmente, e definisce nella QCD due range energetici piuttosto importanti:

• $E<\lambda _{QCD}$: in questo caso $\alpha _{s}$ è piuttosto grande, e siamo in un regime non perturbativo, ossia quello dove avvengono processi come l'adronizzazione, che non sono descrivibili analiticamente
• $E>\lambda _{QCD}$: in questo caso $\alpha _{s}$ è piuttosto piccolo, e siamo in un regime perturbativo (dove i processi sono descrivibili analiticamente)

Tuttavia, $\lambda _{QCD}$ dipende da $n_{f}$, ossia dipende essa stessa dall'energia del processo (per $n_{f}=3$ si ha $\lambda _{QCD}\approx 400MeV$, mentre $\lambda _{QCD}\approx 200MeV$ per $n_{f}=4$). Come si può prevedere il suo valore? Nel regime perturbativo possiamo farlo "tranquillamente" (a meno di difficoltà di calcolo) perché siamo in grado di scrivere il diagramma di Feynman del processo. Nell'altro regime, invece, si usano metodi basati su simulazioni, o comunque in generale metodi numerici. In questo modo si può anche cercare di stimare le masse dei quark (ad esempio, $u$ e $d$ hanno massa piccola e quindi si trovano nel regime non perturbativo, mentre dal c c in poi siamo nell'altro regime). Risulta: Confronto dei valori delle costanti di accoppiamento elettromagnetica e forte