Fisica nucleare e subnucleare/Simmetrie

Come sappiamo, il teorema di Noether collega le simmetrie della lagrangiana di un sistema con leggi di conservazione. Le simmetrie, poi, si dividono in continue e discrete, e quelle che ci interesseranno maggiormente sono quelle discrete. In generale, può accadere che il numero quantico associato a una simmetria sia additivo (come la carica) o moltiplicativo. Le simmetrie che analizzeremo sono le seguenti tre:

• $P$: parità
• $C$: coniugazione di carica
• $T$: inversione temporale

Parità

Come noto l'operatore di parità è quello che cambia segno alle coordinate spaziali, ossia ${\vec {r}}\longrightarrow -{\vec {r}}$, pertanto si ha anche:

$t\longrightarrow t\qquad {\vec {p}}\longrightarrow -{\vec {p}}\qquad {\vec {r}}\times {\vec {p}}\longrightarrow {\vec {r}}\times {\vec {p}}\qquad s\longrightarrow s$

(ove $s$ è lo spin). È chiaro dunque cosa sia la parità per un sistema di più particelle; un po' più oscuro è invece il significato di parità di una singola particella. In generale, la parità intrinseca di una particella è definita a partire dal sistema di riferimento di quiete della particella stessa. Per il fotone, ad esempio, si determina la parità a partire dalle caratteristiche del campo elettromagnetico (ossia dalle proprietà di parità del campo elettromagnetico), e risulta $P(\gamma )=-1$. Infatti il fotone è la particella più semplice possibile per la quale possiamo determinare la parità, perché conosciamo esplicitamente l'espressione del campo elettromagnetico, e il comportamento del campo sotto parità è sostanzialmente quello del suo mediatore. Poiché il campo elettromagnetico si comporta come un vettore, allora ha parità negativa, e quindi $P(\gamma )=-1$. Per convenzione, poi, si pone $P(p)=+1$, e a partire da ciò si cerca di ricavare la parità di tutte le altre particelle (si può dimostrare che questo è effettivamente possibile, ma non lo facciamo). Spesso si usa indicare (come abbiamo visto in fisica nucleare) lo stato di una particella con il suo momento angolare totale e la sua parità con la notazione $J^{P}$; nel caso del fotone dunque si ha uno stato $1^{-}$.

A oggi, sappiamo che:

• la parità dei fermioni è opposta a quella degli anti-fermioni,
• le parità dei bosoni e degli anti-bosoni coincidono.

Consideriamo ora un sistema di due particelle. Come possiamo determinarne la parità? Chiamiamo $\left|p,\ell ,m\right\rangle$ lo stato del sistema (con $p$ impulso), e supponiamo che le parità intrinseche delle due particelle siano $P_{1}$ e $P_{2}$. Se il sistema è isolato, necessariamente ${\vec {p}}_{1}=-{\vec {p}}_{2}$, e ponendo ${\vec {p}}_{1}={\vec {p}}$ possiamo esprimere $\left|p,\ell ,m\right\rangle$ nella base $\left|p,-p\right\rangle$ come:

$\left|p,\ell ,m\right\rangle =\sum _{\theta ,\varphi }{Y^{*}}_{m}^{\ell }(\theta ,\varphi )\left|p,-p\right\rangle$

Sotto parità, $\theta \longrightarrow \pi -\theta$ e $\varphi \longrightarrow \pi +\varphi$ e quindi:

$P\left|p,\ell ,m\right\rangle \longrightarrow P_{1}P_{2}(-1)^{\ell }\left|p,\ell ,m\right\rangle$

Supponendo dunque che il sistema sia composto da due bosoni, $P_{1}=P_{2}$ e quindi la parità va come $(-1)^{\ell }$, mentre se è composto da fermioni $P_{1}=-P_{2}$ e quindi la parità va come $(-1)^{\ell +1}$. Se quindi ad esempio supponiamo che uno stato iniziale decada in due fotoni, e che la parità del sistema si conservi nel processo, allora la parità dello stato iniziale dovrà essere +1.

Coniugazione di carica

Mentre venivano studiate le proprietà della parità delle particelle venne introdotto un nuovo operatore, la coniugazione di carica $C$, perché in processi che coinvolgono interazioni elettromagnetiche la carica è conservata (vedremo più tardi che $C$ manda una particella nella sua antiparticella). Per capire meglio il ruolo della coniugazione di carica partiamo da un altro punto. Storicamente, si cercò di coniugare la meccanica quantistica con la relatività speciale (ossia con l'invarianza sotto trasformazioni di Lorentz). Con l'equazione di Klein-Gordon il problema è risolto, ma manca la componente di spin della funzione d'onda. Nel 1928 Dirac propose una soluzione partendo da degli stati fondamentali, detti "spinori", che includono anche lo spin. Nella soluzione della sua equazione, però, Dirac si accorse che esistevano delle soluzioni con energie positive e con energie negative; cercò dunque di capire cosa fossero queste soluzioni con energia negativa, ed è così che Dirac arrivò a proporre il concetto di antiparticella. Applicando l'equazione al campo elettromagnetico, Dirac pensò che la soluzione con $E<0$ fosse relativa al protone (quella con $E>0$ si sapeva corrispondere all'elettrone). Ci si rese conto però che applicando l'operatore $C$ all'equazione di Dirac la soluzione con $E<0$ doveva avere massa identica a quella della soluzione con energia positiva: pertanto l'antiparticella dell'elettrone non può essere il protone. È così che nel 1931 Dirac propose l'esistenza del positrone, particella identica all'elettrone ma di carica opposta. Bisognava a questo punto verificare questa supposizione. Si pensò di cercare tracce del positrone nei raggi cosmici: vennero dunque fatte molte ricerche in questo senso, e nel 1933 Anderson notò in un esperimento che oltre a delle tracce consistenti con elettroni ce n'erano altre di "simmetriche".

Facendo riferimento alla figura, la seconda traccia o proviene "dall'alto" ed ha carica positiva, oppure viene "dal basso" con carica negativa. Usando quindi dei pezzi di ferro per misurare con più accuratezza la perdita di energia della particella, si determinò che effettivamente questa proveniva "dall'alto", ed aveva quindi carica positiva (oltre alla stessa massa dell'elettrone): il positrone era stato trovato sperimentalmente. Anche Occhialini, qualche anno dopo, giunse alle stesse conclusioni.

A questo punto, però, che ne è delle altre particelle? Già col protone si presentano dei problemi che l'elettrone non ha: il protone, infatti, non è puntiforme. Ci si chiese quindi se le antiparticelle esistano effettivamente per tutte le particelle, come suggerirebbe l'applicazione dell'operatore di coniugazione di carica all'equazione di Dirac. Considerando sempre il protone, non si riusciva a trovare sperimentalmente l'anti-protone nei raggi cosmici. Si cominciò dunque a sfruttare la tecnologia degli acceleratori: a Berkeley, in California, venne costruito il bevatrone (il nome deriva da "billions of eV"), nel quale delle particelle venivano accelerate a energie di circa 7 GeV in collisioni a targhetta fissa. La reazione studiata era del tipo:

$p+p\longrightarrow {\overline {p}}+p+p+p$

Facendo i conti nel sistema di riferimento del centro di massa, si vede che effettivamente serve un'energia circa 7 volte maggiore della massa del protone, ossia proprio circa 7 GeV.

Il problema è che in processi del genere si producono anche pioni, e dobbiamo essere in grado di distinguerli dagli antiprotoni; il rivelatore è dunque abbastanza complicato, e sfrutta la relazione fra impulso relativistico e velocità per determinare con precisione la massa di una particella. In questo modo venne effettivamente trovato sperimentalmente l'antiprotone. Fu chiaro, dunque, che tutte le particelle hanno la propria antiparticella; $C$ è pertanto un operatore che effettivamente trasforma una particella nella sua antiparticella, come avevamo già accennato. Si può dimostrare che $C\left|\psi \right\rangle =\left|\psi \right\rangle$, che è hermitiano e ha autovalori $\pm 1$. Pertanto, la coniugazione di carica introduce un nuovo numero quantico, che rappresentiamo nella notazione usuale come $J^{PC}$.

Invarianza temporale

Si tratta della simmetria che cambia segno al tempo, ossia $T:t\longrightarrow -t$. La meccanica classica non è invariante sotto $T$ (si pensi ad esempio al secondo principio della termodinamica). Per le interazioni fondamentali, però, ciò può non essere vero.

La simmetria CPT

$C$, $P$ e $T$ vengono in genere incorporati in un unico operatore, $CPT$ (l'ordine di applicazione non è rilevante). Esiste un teorema, il teorema $CPT$, secondo il quale la simmetria $CPT$ è sempre conservata; a oggi non è mai stata osservata una violazione di $CPT$. Una conseguenza importante della simmetria $CPT$ è che una particella e la propria antiparticella non solo hanno la stessa massa, ma anche la stessa vita media. Recentemente è stato dimostrato che una possibile violazione di $CPT$ implicherebbe una violazione dell'invarianza di Lorentz.

Sperimentalmente si osserva che $C$ e $P$ sono conservate in tutte le interazioni tranne quella debole. Fino a poco tempo fa si credeva che $C$ e $P$ non fossero singolarmente conservate, ma la loro azione congiunta $CP$ sì. In realtà si determina che anche $CP$ è violata; dunque, o $T$ è violata e $CPT$ si conserva, oppure $T$ si conserva e $CPT$ è violata. A oggi non si conosce la risposta definitiva a questo problema.

Altre simmetrie

Esistono altre due conservazioni che non analizzeremo: quella del numero leptonico e quella del numero barionico. In particolare, i numeri quantici conservati sono:

$B=N({\mbox{barioni}})-N({\mbox{antibarioni}})\quad {\mathcal {L}}=N({\mbox{leptoni}})-N({\mbox{antileptoni}})$

da notare che i tre numeri leptonici ${\mathcal {L}}_{e}$, ${\mathcal {L}}_{\mu }$ e ${\mathcal {L}}_{\tau }$ sono tutti conservati separatamente (mentre il numero barionico è unico).