Fisica nucleare e subnucleare/Collisioni

Quando parliamo di collisioni intendiamo generalmente che due particelle $a$ e $b$ interagiscono fra loro, dando luogo a uno stato finale diverso da quello iniziale; ad esempio:

$a+b\longrightarrow c+d$

Lo stato iniziale è completamente noto, mentre quello finale è caratterizzato da quello che vogliamo o possiamo conoscere (come l'impulso delle particelle, o gli angoli fra le loro direzioni di volo). In altri tipi di processi, può accadere che lo stato iniziale sia composto da una sola particella:

$a\longrightarrow b\quad a\longrightarrow c+d$

Questo tipo di reazioni sono i decadimenti; generalmente, $a$ è in quiete nel laboratorio (ma non è detto, se per esempio pensiamo al fatto che nei raggi cosmici le particelle che decadono si muovono a velocità molto elevate).

Collisioni a targhetta fissa

Le due entità che entrano in gioco sono:

• fascio: sono le particelle entranti, le cui grandezze caratteristiche sono:
  • $I_{b}$: l'intensità del fascio, ossia il numero di particelle che arrivano al bersaglio nell'unità di tempo
  • $\varphi _{b}$: il flusso, ossia l'intensità per unità di superficie
• targhetta: è il bersaglio fisso, caratterizzato da:
  • $n_{t}$: numero di centri di scattering per unità di volume
  • $N_{t}$: numero di centri di scattering diviso l'area del fascio

Ciò che ci interessa è calcolare il rate d'interazione:

$R={\frac {dN}{dt}}$

che è il numero di interazioni che avvengono per unità di tempo. Si ha:

$R=N_{t}\varphi _{b}\sigma$

ove $\sigma$ è la sezione d'urto. In modo intuitivo (poi ci ritorneremo in maggior dettaglio), $\sigma$ è una "sovrapposizione" dell'area del fascio e della sezione trasversale della targhetta. Spesso si scrive anche:

$R=WN_{t}\quad {\mbox{ossia}}\quad W=\varphi _{b}\sigma$

ove $W$ è il rate per singola particella del fascio. Non stiamo però tenendo conto che, se avvengono interazioni, il flusso $\varphi _{b}$ non può essere costante nella targhetta. Come varia dunque il flusso?

Indichiamo la variazione di rate con d $dR_{i}$. Si ha:

$dR_{i}=-dI_{b}(z)$

e inoltre:

$\varphi _{b}={\frac {I_{b}}{\Sigma }}\quad \Rightarrow \quad dR_{i}=\sigma \varphi _{b}dN_{t}=\sigma {\frac {I_{b}}{\Sigma }}\underbrace {n_{t}\Sigma dz} _{dN_{t}}$

Quindi:

$dR_{i}=\sigma I(z)n_{t}dz\quad \Rightarrow \quad dI(z)=-\sigma I(z)n_{t}dz\quad \Rightarrow \quad I(z)=I_{0}e^{-\sigma n_{t}z}$

e dunque il flusso all'interno della targhetta diminuisce esponenzialmente con $\sigma$, $n_{t}$ e $z$. Riferendosi al fascio, si definisce la lunghezza d'assorbimento come quella lunghezza dove $I=I_{0}/e$:

${\frac {I_{0}}{e}}=I_{0}e^{-\sigma n_{t}L_{\mbox{ass }}}\quad \Rightarrow \quad L_{\mbox{ass }}={\frac {1}{\sigma n_{t}}}$

Spesso (anche se non proprio in questo caso) è di interesse la luminosità del fascio, definita come:

${\mathcal {L}}={\frac {R}{\sigma }}=N_{t}\varphi _{b}=N_{t}{\frac {I_{b}}{\Sigma }}$

Collider

Chiamiamo i fasci collidenti 1 e 2. I fasci dei collider sono costituiti da "pacchetti" di particelle, disposti in "bunch"; i fasci, insomma, non sono "fiotti" di particelle, e hanno una struttura temporale. Il motivo per cui i fasci vengono costruiti "a pacchetti" è che in questo modo si controllano meglio.

Si può dimostrare (non lo facciamo, perché non è semplice), che la distribuzione di particelle in un bunch è data da:

${\frac {dn_{1,2}}{ds}}={\frac {n_{1,2}}{2\pi \sigma _{x}\sigma _{y}}}e^{-\left({\frac {x^{2}}{2\sigma _{x}^{2}}}+{\frac {y^{2}}{2\sigma _{y}^{2}}}\right)}$

cioè il fascio ha una distribuzione gaussiana (in realtà questa è un'approssimazione) nelle direzioni trasversali $x$ e $y$; le due gaussiane (quella in $x$ e quella in $y$) non sono però "larghe" uguali, in genere (ossia $\sigma _{x}\neq \sigma _{y}$). Pertanto il numero di particelle nell'area $dx\ dy$ è:

$dn_{1,2}(x,y)={\frac {n_{1,2}}{2\pi \sigma _{x}\sigma _{y}}}e^{-\left({\frac {x^{2}}{2\sigma _{x}^{2}}}+{\frac {y^{2}}{2\sigma _{y}^{2}}}\right)}dxdy$

e la probabilità di interazione di una particella del fascio 1 col fascio 2 è:

$P(x,y)={\frac {n_{2}}{2\pi \sigma _{x}\sigma _{y}}}e^{-\left({\frac {x^{2}}{2\sigma _{x}^{2}}}+{\frac {y^{2}}{2\sigma _{y}^{2}}}\right)}\sigma _{\mbox{int }}$

ove $\sigma _{\mbox{int }}$ è la sezione d'urto d'interazione. Pertanto, il numero totale di interazioni sarà:

$N_{\mbox{int }}=\int dn_{1}(x,y)P(x,y)=\sigma _{\mbox{int }}{\frac {n_{1}n_{2}}{4\pi ^{2}\sigma _{x}^{2}\sigma _{y}^{2}}}\int e^{-\left({\frac {x^{2}}{2\sigma _{x}^{2}}}+{\frac {y^{2}}{2\sigma _{y}^{2}}}\right)}dxdy=\sigma _{\mbox{int }}{\frac {n_{1}n_{2}}{4\pi \sigma _{x}\sigma _{y}}}$

Vediamo dunque che più stretto è il fascio ($\sigma _{x},\sigma _{y}\sim 0$) maggiori sono le interazioni che avvengono. In questo caso, il rate sarà:

$R={\frac {n_{1}n_{2}}{4\pi \sigma _{x}\sigma _{y}}}{\frac {\sigma _{\mbox{int }}}{k}}f$

ove $k$ è il numero di pacchetti (le interazioni infatti avvengono se i pacchetti "si beccano") e $f$ è la frequenza con cui si incontrano i pacchetti (ricordiamoci infatti che i fasci hanno una frequenza di rivoluzione, sono cioè periodici). Sappiamo anche che si può scrivere $R=\sigma _{\mbox{int }}{\mathcal {L}}$, e dunque:

${\mathcal {L}}={\frac {R}{\sigma _{\mbox{int }}}}={\frac {n_{1}n_{2}}{4\pi \sigma _{x}\sigma _{y}}}{\frac {f}{k}}$

Le interazioni fascio-fascio sono molto poche, e possiamo trascurarle per quanto riguarda l'effetto su ${\mathcal {L}}$: ciò che fa degradare ${\mathcal {L}}$ sono le interazioni con le molecole residue nel collider (il vuoto che viene fatto per far funzionare il collider non è mai perfetto) e con i rivelatori. Queste determinano una diminuzione della luminosità, insomma. Si può dimostrare (non lo vediamo) che in funzione del tempo la luminosità segue la legge:

${\mathcal {L}}(t)={\frac {{\mathcal {L}}_{0}}{1+{\frac {n{\mathcal {L}}_{0}\sigma _{\mbox{int }}}{BN}}t}}$

ove $B$ è il numero di bunch, $n$ il numero di materiali che incontra il fascio, $N$ il numero di particelle e ${\mathcal {L}}_{0}$ la luminosità iniziale (in generale si assume $n_{1}\approx n_{2}$). Con gli attuali collider, dopo circa 24 ore conviene fare una re-iniezione del fascio, perché la luminosità è diventata troppo bassa.

Ora, sappiamo che $W$ è il rate di interazione per unità di particella. Nel caso dei collider, dunque, sarà ancora pari a $\sigma \varphi _{b}$. Fermi per primo mostrò che:

$W=2\pi |M_{fi}|^{2}\rho (E)$

ove ($n$ è il numero di stati finali e ${\vec {P}}$ l'impulso totale):

$\rho (E)=(2\pi )^{4}\int \prod _{i=1}^{n}{\frac {d^{3}P_{i}}{(2\pi )^{3}2E_{i}}}\delta \left(\sum _{i}E_{i}-E\right)\delta ^{(3)}\left(\sum _{i}{\vec {p}}_{i}-{\vec {P}}\right)$

è il volume nello spazio delle fasi relativistico (degli stati finali). Tutto questo si basa sul fatto che il modulo della funzione d'onda non è un invariante relativistico (così come il volume), mentre il modulo della funzione d'onda diviso per l'energia è un invariante relativistico (è il motivo della forma di $\rho$ ). Ciò che invece descrive l'interazione è $|M_{fi}|^{2}$, il modulo quadro dell'elemento di matrice dell'operatore che consente la transizione fra stato iniziale e finale:

$M_{fi}=\left\langle f\right|H_{i}\left|i\right\rangle$

e si dimostra che $H_{i}$ la possiamo scrivere come somma di parte relativa al centro di massa e di moto relativo al centro di massa.

Sperimentalmente, noi misuriamo $\sigma$, e sappiamo che $\sigma$ è collegata, con la teoria, allo spazio delle fasi ($\rho$) e all'elemento di matrice ($M$), che deriva dal modello. Insomma:

${\mbox{misuro }}\sigma \Rightarrow {\mbox{calcolo }}\rho \Rightarrow {\mbox{valuto }}M_{fi}\Rightarrow {\mbox{verifico l'accordo fra teoria ed esperimento}}$

Ciò che ci proponiamo di capire in questo corso è come abbiamo fatto a trarre informazioni sulla composizione della materia a partire dagli esperimenti che sono stati condotti nel corso dei decenni.