Fisica nucleare e subnucleare/Decadimenti beta

In questo tipo di processi, l'interazione che causa il fenomeno non è quella forte (come nel caso dei decadimenti $\alpha$ ), ma una nuova "misteriosa" interazione, l'interazione debole, la quale risulta essere non solo estremamente più debole di quella forte, ma anche a raggio ancora più corto.

Generalità

I decadimenti $\beta$ si dividono in due categorie, $\beta ^{+}$e $\beta ^{-}$. I decadimenti $\beta ^{-}$ sono del tipo:

$n\longrightarrow p+e^{-}+{\overline {\nu }}_{e}$

ove ${\overline {\nu }}_{e}$ è un antineutrino. Questa particella interagisce con la materia solo attraverso l'interazione debole, e quindi praticamente non ci interagisce: è per questo che neutrini e antineutrini sono estremamente difficili da rilevare. Con un decadimento $\beta ^{-}$, dunque, un sistema nucleare si trasforma secondo:

$(N,Z)\longrightarrow (N-1,Z+1)+e^{-}+{\overline {\nu }}_{e}$

Un decadimento $\beta ^{+}$, invece, è del tipo:

$\quad p\longrightarrow n+e^{+}+\nu _{e}$

ove $\nu _{e}$ è un neutrino e $e^{+}$ un positrone. In decadimenti di tipo $\beta ^{+}$ dunque, i nuclei trasformano secondo:

$(N,Z)\longrightarrow (N+1,Z-1)+e^{+}+\nu _{e}$

Un esempio concreto di decadimento $\beta ^{+}$ è ${}^{14}{\text{C}}\longrightarrow {}^{14}{\text{N}}$, ed è uno dei rari processi in cui un sistema pari-pari decade in uno dispari-dispari (si passa da $Z=6$, $N=8$ a $Z=N=7$).

Energia degli elettroni ed esistenza dei neutrini

Nel caso dei decadimenti $\beta$, l'energia degli elettroni emessi non è monocromatica come nel caso dei decadimenti $\alpha$. Insomma l'elettrone non acquisisce tutta l'energia liberata nel processo (al contrario dei decadimenti $\alpha$, come abbiamo visto), ma ne può assumere diverse, ognuna con una data probabilità. Se dunque supponiamo (come d'altronde fu fatto quando questo tipo di fenomeni fu scoperto) che il decadimento $\beta$ sia a due corpi (neutrone e elettrone), c'è dell'energia mancante, ossia sembra che l'energia non si conservi nel processo. L'unica soluzione per risolvere questo apparente paradosso è ipotizzare che il decadimento $\beta$ non sia a due, bensì a tre corpi: dobbiamo insomma sospettare che in realtà nel processo venga emessa una terza particella (che poi è stata chiamata neutrino), che acquisisce l'energia mancante. Per la conservazione della carica, questa particella dovrà essere neutra (da cui il nome), e se avesse una massa comparabile con quella dell'elettrone allora si può dimostrare che la curva in figura sopra sarebbe simmetrica; pertanto, questa particella deve avere o massa nulla o estremamente piccola (da cui l'"-ino"). Se supponiamo (com'è ragionevole che sia) che in questo processo si conservi anche il momento angolare totale, allora il neutrino dovrà avere spin $1/2$.

Abbiamo dunque visto che decadimenti di tipo $\beta$ sono dovuti all'interazione debole, che risulta a cortissimo raggio, e che un prototipo di decadimento $\beta ^{-}$ è:

${}_{Z}^{A}X\longrightarrow {}_{Z+1}^{A}Y+e^{-}+{\overline {\nu }}_{e}$

Ora, la regola fondamentale per un decadimento è la cosiddetta regola d'oro di Fermi: la costante di decadimento $\lambda$ della transizione fra lo stato iniziale e finale del sistema è proporzionale al quadrato dell'elemento di matrice dell'operatore che determina la transizione e a $dn/dE$, ove $n(E)$ è il numero di stati finali con energia totale compresa fra $E$ e $E+dE$ che il decadimento può generare, ossia $\lambda$ dipende anche dallo spazio delle fasi che può essere raggiunto da un determinato processo. Ad esempio, supponiamo che ci sia un particolare processo di decadimento $\beta$ che dia luogo ad una variazione di energia del nucleo pari a $\Delta E$. Allora si avrà $\Delta E=E_{e^{-}}+E_{{\overline {\nu }}_{e}}$, ossia l'elettrone e l'antineutrino si "spartiscono" l'energia con qualunque possibile distribuzione della stessa. Nel decadimento, $e^{-}$ e ${\overline {\nu }}_{e}$ possono essere emessi con momenti diversi (in modulo e direzione), concordemente con la conservazione dell'impulso totale, e a una fissata energia corrispondono moltissime possibili configurazioni dei momenti compatibili con essa (la dicitura "unico stato finale" è relativa al nucleo figlio: per un preciso stato finale, $e^{-}$ e ${\overline {\nu }}_{e}$ possono essere emessi in più direzioni diverse). Con un po' di conti, si determina che:

$\lambda ={\frac {2\pi }{\hbar }}|M|^{2}f(\Delta E)$

ove appunto $\Delta E$ è la variazione di energia fra stato iniziale e finale del nucleo, e $f$ è una funzione, determinabile analiticamente.

Insomma, la probabilità del decadimento dipende sia dalle caratteristiche interne del sistema ($|M|^{2}$) che da quelle cinematiche ( $\Delta E$): pertanto non si può stabilire se un decadimento $\beta$ è probabile o meno in base al suo solo tempo di decadimento, perché non stiamo tenendo in conto le caratteristiche cinematiche del sistema. Per esempio, per il processo ${}^{14}{\text{C}}\longrightarrow {}^{14}{\text{N}}$ si ha un tempo di dimezzamento di circa 5700 anni, ma ciò come già detto non è sufficiente a stabilire se questo sia un processo effettivamente probabile o meno. Poiché $\lambda$ è la costante di decadimento, allora:

$\lambda ={\frac {\ln 2}{t_{1/2}}}\quad \Rightarrow \quad |M|^{2}={\frac {\ln 2}{t_{1/2}f(\Delta E)}}$

ove si pone $t_{1/2}f(\Delta E):=ft$, e spesso ciò che si misura in un processo è $\log ft$. Per transizioni molto probabili (dette super-permesse) si ha $\log ft\approx 3-4$, mentre per quelle estremamente improbabili (dette proibite, anche se appunto non lo sono strettamente) $\log ft\approx 20-30$.

Il range delle vite medie dei decadimenti $\beta$ varia moltissimo, approssimativamente dai microsecondi a 10 17 10^{17} anni.

Tipologie di decadimenti $\beta ^{-}$

Ora, $M=\left\langle \psi _{\text{fin }}\right|M\left|\psi _{\text{iniz }}\right\rangle$ (ove $M$ è l'operatore di transizione, che dipende dall'espressione esplicita dell'interazione debole), e:

$\psi _{\text{fin }}=\psi _{\text{fin }}^{\text{nucleo }}\underbrace {\psi _{\text{fin }}^{\text{el }}\psi _{\text{fin }}^{\text{neutrino }}} _{\psi _{\text{fin }}^{\text{lepton }}}$

Il modello che stiamo elaborando prevede che il decadimento avvenga nel nucleo, e dopo di esso l'elettrone e l'antineutrino si muovono liberi, e pertanto:

$\psi _{\text{fin }}^{\text{lepton }}\approx e^{-i{\frac {{\vec {p}}\cdot {\vec {r}}}{\hbar }}}$

ove ${\vec {p}}={\vec {p}}_{e^{-}}+{\vec {p}}_{{\overline {\nu }}_{e}}$. Se infatti $e^{-}$ e ${\overline {\nu }}_{e}$ interagissero fra loro o col nucleo, la loro funzione d'onda potrebbe essere estremamente complicata; poiché però questo non accade, possiamo approssimare questa funzione d'onda come un'onda piana. Tipicamente, l'elettrone emesso ha energia dell'ordine di un MeV, pertanto $p\approx 1.4{\text{ MeV}}/c$ e quindi $pr/\hbar \approx 0.003$: si può insomma sviluppare l'esponenziale, e approssimarlo con 1. Insomma, trascuriamo il contributo della funzione d'onda leptonica a quella totale. Ciò significa che si passa da uno stato iniziale con momento angolare $J_{1}$ ad uno finale con $J_{2}$; poiché però stiamo trascurando la parte leptonica della funzione d'onda, resterà solo il termine relativo a $\ell =0$. Se dunque, come in questo caso, $M$ non dipende dal momento angolare dei leptoni, la transizione è detta permessa; se invece nella transizione si ha $\ell \neq 0$, la si dice proibita (anche se è solo sfavorita, non realmente proibita), e in questo caso il termine dello sviluppo dell'onda piana che contribuisce sarà solo uno, quello relativo alla variazione di $\ell$ nel decadimento.

Ora, elettrone e antineutrino hanno entrambi spin $1/2$, e dunque possono accoppiarsi a spin totale 0 o 1; nel primo caso (spin antiparalleli) la transizione è detta di Fermi mentre nell'altro (spin paralleli) di Gamow-Teller. Lo spin complica la situazione perché la differenza di momento angolare $\Delta J$ sarà uguale a:

$\Delta J={\vec {J}}_{i}-{\vec {J}}_{f}={\vec {L}}+{\vec {S}}$

ove ${\vec {L}}$ è il momento angolare orbitale totale dell'elettrone e del neutrino, mentre ${\vec {S}}$ il loro spin totale. Le transizioni permesse saranno quelle con ${\vec {L}}=0$, e in queste la parità del sistema non cambia (perché proporzionale a $(-1)^{L}$). In transizioni di Fermi si ha $\Delta J=0$, in quanto ${\vec {L}}={\vec {S}}=0$, e dunque decadimenti di questo tipo collegheranno stati iniziali e finali con stesso momento angolare e parità. Se invece la transizione è di tipo Gamow-Teller, Δ $\Delta J=1$ (${\vec {L}}=0$, ${\vec {S}}=1$), e il momento angolare (ma non la parità) cambierà. Ad esempio, $0^{+}\longrightarrow 0^{+}$ è una transizione permessa di tipo Fermi, mentre $0^{+}\longrightarrow 1^{+}$ è permessa di tipo Gamow-Teller. Se invece consideriamo una transizione $1^{+}\longrightarrow 1^{+}$, di che tipo è? È sicuramente compatibile con ${\vec {L}}={\vec {S}}=0$, quindi può essere permessa di tipo Fermi. Può anche essere, inoltre, che si abbia S → = 1 \vec{S}=1 e L → = 0 , 1 , 2 \vec{L}=0,1,2, quindi può essere anche di tipo Gamow-Teller. Insomma, se non abbiamo ulteriori informazioni, $1^{+}\longrightarrow 1^{+}$ è una mistura di transizioni di tipo Fermi e Gamow-Teller. Cosa accade invece per le transizioni proibite? Supponiamo di osservarne una, nel quale uno stato eccitato $1^{-}$ decade in $0^{+}$. Che tipo di transizione può essere? Sicuramente non è permessa perché ${\vec {L}}$ dev'essere dispari (e la parità non è conservata), dunque ${\vec {L}}=1,3,5,\dots$. La transizione può dunque essere di Fermi proibita al primo ordine (${\vec {L}}=1$, ${\vec {S}}=0$), o di Gamow-Teller proibita al primo ordine ( ${\vec {L}}=1$, ${\vec {S}}=1$). In realtà non può essere proibita a ordini superiori perché ad esempio con ${\vec {L}}=3$ non si possono soddisfare le richieste (non può essere $\Delta J=1$ per nessun valore di ${\vec {S}}$). La transizione $0^{+}\longrightarrow 0^{+}$ che abbiamo già visto, invece, non può che essere di tipo Fermi (se fosse di Gamow-Teller si dovrebbe avere $\Delta J=1$). Infine, la transizione $0^{+}\longrightarrow 1^{+}$ non può essere di Fermi proibita al prim'ordine (perché la parità non cambia), mentre può essere di Gamow-Teller permessa (ma non di altri tipi). Un'eventuale transizione $5^{+}\longrightarrow 0^{+}$ può essere o di Gamow-Teller proibita al quarto ordine: si tratta pertanto di un decadimento estremamente improbabile.

Alcune note sui decadimenti $\beta$

In un decadimento di tipo $\beta$ in realtà non è vero (come in fondo abbiamo supposto sinora) che un protone si trasforma in neutrone o viceversa, lasciando "imperturbati" tutti gli altri nucleoni; ciò che in realtà avviene è che un sistema a molti corpi (il nucleo iniziale) si trasforma in un altro sistema a molti corpi (il nucleo figlio). Da un punto di vista quantistico, la funzione d'onda del nucleo figlio conterrà una parte relativa a un sistema a molti corpi e una alle particelle emesse; la parte relativa agli $A-1$ oggetti finali sarà però identica a quella iniziale. Consideriamo ad esempio il processo ${}^{17}{\text{F}}\longrightarrow {}^{16}{\text{O}}+n$; ${}^{17}{\text{F}}$ è formato da ${}^{16}{\text{O}}$ e un protone, con $p$ nello stato $d5/2^{+}$, e anche il neutrone creato nel processo è nello stesso stato. In questo caso la parte di funzione d'onda relativa a ${}^{16}{\text{O}}$ resta sempre la stessa, e cambia quella relativa a uno dei protoni. In uno stato eccitato di ${}^{17}{\text{O}}$ si potranno avere, ad esempio, due neutroni in $d5/2$ e un buco sottostante: in questo caso la transizione $p(d5/2)\longrightarrow n(d5/2)$ sarà poco probabile perché ci sono interazioni con molti corpi. Gli operatori che consentono il passaggio da uno stato all'altro dei nucleoni sono in genere a 1,2,3,4 ecc. corpi.

Consideriamo ora la reazione di trasferimento:

${}^{16}{\text{O}}(d,p){}^{17}{\text{O}}$

(in pratica, un neutrone viene "strappato" dal deutone, e resta intrappolato nel nucleo di ossigeno). Se la funzione d'onda di ${}^{17}{\text{O}}$ ha delle shell chiuse, allora il neutrone dovrà necessariamente posizionarsi fuori da queste (in uno stato fondamentale, ossia il più basso disponibile, o eccitato); ciò che sicuramente non può avvenire è che si eccitino stati interni alle shell. Questo fa sì che certi processi di decadimento $\beta$ possano essere più o meno probabili in base a quanto la funzione d'onda finale "assomigli" a quella iniziale.

Ora, in un decadimento $\beta$ l'elettrone e l'antineutrino (o il positrone e il neutrino), "andandosene" dal nucleo possono "portarsi dietro" momento angolare orbitale e spin. Detti rispettivamente ${\vec {L}}$ e ${\vec {S}}$ il momento angolare orbitale e lo spin "portati via" dalle particelle emesse, e ${\vec {J}}$ e ${\vec {J}}'$ i momenti angolari del nucleo prima e dopo il decadimento, si dovrà avere:

${\vec {J}}={\vec {J}}'+{\vec {L}}+{\vec {S}}$

All'aumentare di ${\vec {L}}$ l'elemento di matrice di transizione diventa sempre più piccolo, rendendo meno probabile il decadimento stesso. Come già visto, il caso "ideale" è quello con L → = 0 \vec{L}=0 ("transizioni permesse"), che contiene transizioni di due tipi, di Fermi e di Gamow-Teller.

Esempi di decadimenti $\beta$

${}^{17}{\text{F}}$

Il decadimento è il seguente:

${}^{17}{\text{F}}{\stackrel {\beta ^{+}}{\longrightarrow }}{}^{17}{\text{O}}$

In questo caso, i due nuclei sono speculari.

Le energie dei due nuclei non sono le stesse perché ci sono anche le interazioni coulombiane, che come abbiamo già visto modificano l'energia complessiva del nucleo. Questo processo è un esempio di transizione super-permessa, in quanto le funzioni d'onda iniziale e finale del nucleo sono "quasi identiche". In generale, poiché gli stati finale e iniziale sono $5/2^{+}$, allora ${\vec {L}}+{\vec {S}}=5,4,3,2,1,0$ (in realtà dovrebbe essere pari per la conservazione della parità). La transizione più favorità sarà dunque quella con ${\vec {L}}=0$, e in corrispondenza di questo si può avere ${\vec {S}}=0$ o ${\vec {S}}=1$. Questo processo, dunque, può essere sia di tipo Fermi che Gamow-Teller. Altri esempi di transizioni fra nuclei speculari (che risultano super-permesse) sono:

${}^{15}{\text{O}}\longrightarrow {}^{15}{\text{N}}\quad {}^{39}{\text{Ca}}\longrightarrow {}^{39}{\text{K}}\quad {}^{41}{\text{Sc}}\longrightarrow {}^{41}{\text{Ca}}$

(le ultime due hanno $\log ft\approx 3.5$).

Neutrone, trizio e ${}^{14}{\text{O}}$

Il neutrone decade $\beta ^{-}$ in un protone, ossia ${}^{1}{\text{H}}$. In questo caso si passa dallo stato $1/2^{+}$ a $1/2^{+}$, dunque ${\vec {L}}+{\vec {S}}=0$ oppure 1. Si può dunque avere ${\vec {S}}=0$ e ${\vec {L}}=1$, ma ciò non farebbe conservare la parità; pertanto si ha ${\vec {L}}=0$ e ${\vec {S}}=0,1$. La transizione è dunque permessa, sia Fermi che Gamow-Teller. Analogamente, ${}^{3}{\text{H}}$ decade in ${}^{3}{\text{He}}$, e gli stati iniziale e finale sono gli stessi del neutrone. Pertanto, anche questa è una transizione permessa sia Fermi che Gamow-Teller.

Consideriamo ora la transizione ${}^{14}{\text{O}}\longrightarrow {}^{14}{\text{N}}$. Si tratta di una transizione permessa di tipo Fermi ($0^{+}\longrightarrow 0^{+}$); considerando l'isospin, la transizione è $T=1$ \longrightarrow T=1. Tuttavia, esistono stati di ${}^{14}{\text{N}}$ con $T=0$: le transizioni in questi stati risultano proibite.

${}^{60}{\text{Co}}$

È un nucleo interessante, perché spesso decade $\gamma$. ${}^{60}{\text{Co}}$, infatti, decade in ${}^{60}{\text{Ni}}$, spesso in stati eccitati che poi decadono $\gamma$. Lo stato iniziale del ${}^{60}{\text{Co}}$ è $5^{+}$: pertanto, per decadere direttamente nello stato fondamentale di ${}^{60}{\text{Ni}}$ si dovrebbe avere ${\vec {L}}+{\vec {S}}=5$, ad esempio con ${\vec {L}}=4$ e ${\vec {S}}=1$, che è una transizione Gamow-Teller proibita al quart'ordine; si tratta dunque di un decadimento estremamente improbabile. Se invece decadesse nello stato $2^{+}$ di ${}^{60}{\text{Ni}}$, la transizione sarebbe di Gamow-Teller proibita del second'ordine. La transizione più probabile, tuttavia, è quella in cui il sistema decade nello stato $4^{+}$ del ${}^{60}{\text{Ni}}$, che è permessa di tipo Gamow-Teller ($\log ft=7.4$). Sperimentalmente, risulta che ${}^{60}{\text{Co}}$ ha il 99.88% di probabilità di decadere nello stato $4^{+}$ del ${}^{60}{\text{Ni}}$, e lo 0.12% di decadere in quello $2^{+}$.

${}^{14}{\text{C}}$

Il ${}^{14}{\text{C}}$ può decadere solo nello stato fondamentale di ${}^{14}{\text{N}}$, perché ha solo questa possibilità. Poiché lo stato iniziale è $0^{+}$ e quello finale $1^{+}$, la transizione è permessa di tipo Gamow-Teller; poiché però $T_{in}=1$ e $T_{fin}=0$, la transizione sarà comunque abbastanza improbabile, e infatti ha $t_{1/2}\approx 5700$ anni e $\log ft\approx 9$.

Nota: ${}^{14}{\text{N}}$ nello stato $0^{+}$ può decadere in ${}^{14}{\text{C}}$ ma preferisce decadere $\gamma$ nel suo stato fondamentale (è una proprietà generale dei nuclei quella di "preferire" il decadimento $\gamma$ a tutti gli altri).

${}^{115}{\text{In}}$

La transizione è ${}^{115}{\text{In}}\longrightarrow {}^{115}{\text{Sn}}$. Poiché si passa da uno stato $9/2^{+}$ a $1/2^{+}$, ${\vec {L}}+{\vec {S}}=4$: il meglio che possiamo avere è ${\vec {L}}=4$ e ${\vec {S}}=0,1$; si tratta dunque di una transizione sia di tipo Fermi che Gamow-Teller proibita al quarto ordine. Sperimentalmente, si ha $\log ft\approx 22.7$ e $t_{1/2}=6\cdot 10^{14}$ anni.

${}^{40}{\text{K}}$

Può decadere sia $\beta ^{-}$ che $\beta ^{+}$.

Fra questi due, il decadimento più semplice è il $\beta ^{-}$ (quello nel quale il protone "riempie il buco" presente nel lato dei neutroni). Poiché la transizione è $4^{-}\longrightarrow 0^{+}$, ${\vec {L}}=3$ e ${\vec {S}}=1$, pertanto è una transizione di tipo Gamow-Teller proibita al terzo ordine. Contemporaneamente, però, c'è anche la possibilità di un decadimento $\beta ^{+}$, che sembrerebbe poter essere più probabile in quanto la formazione di coppie è favorita rispetto ai singoli nucleoni. Pertanto, ${}^{40}{\text{K}}$ può decadere in ${}^{40}{\text{Ar}}$ nello stato eccitato $2^{+}$, che è una transizione proibita al second'ordine. In realtà questa risulta meno probabile dell'altra perché il $\Delta E$ fra i due stati è piccolissimo, e dunque sfavorito cinematicamente. La transizione a ${}^{40}{\text{Ar}}$ nello stato fondamentale è anch'essa proibita del terzo ordine.

Cattura elettronica

Nel nostro modello del decadimento $\beta$, $e^{-}$ e ${\overline {\nu }}_{e}$ (oppure $e^{+}$ e $\nu _{e}$) hanno spettro energetico continuo. Nei neutrini solari, però, oltre allo spettro continuo si osservano anche righe con energia ben determinata. Queste derivano da processi detti di cattura elettronica, nei quali un sistema "cattura", appunto, un elettrone e si trasforma in un nuovo sistema, emettendo un neutrino. Un esempio di questo tipo di processi è:

${}^{7}{\text{Be}}+e^{-}\longrightarrow {}^{7}{\text{Li}}+\nu$

È un processo che "compete" col decadimento $\beta$. Lo spazio delle fasi, nei due casi, non è però lo stesso, e ha dipendenza opposta da $Z$ a seconda dei casi. In genere, la cattura elettronica risulta più favorita (il $1/2$ MeV della massa dell'elettrone o del positrone non va "speso" nel processo, ma è già dato). Nel caso del ${}^{40}{\text{K}}$ visto prima, il processo ${}^{40}{\text{K}}\longrightarrow {}^{40}{\text{Ar}}(2^{+})$ è prevalentemente dovuto a cattura elettronica.