Fisica nucleare e subnucleare/Decadimenti alpha

Generalità

Derivano prevalentemente da nuclei pesanti: con essi vengono emesse dal nucleo particelle $\alpha$, con la probabilità di decadimento che dipende in modo approssimativamente esponenziale dall'energia cinetica della particella emessa (ossia è molto più probabile che vengano emesse particelle con molta energia, ci ritorneremo). Le particelle $\alpha$ irradiate hanno energie monocromatiche, o con poche righe discrete. Si tratta dunque di un processo a due corpi, e non a più oggetti. L'energia cinetica delle particelle $\alpha$ emesse è generalmente compresa fra i 4 e i 9 MeV. Isotopi di uno stesso elemento, poi, possono avere comportamenti completamente diversi al variare di $N$, perché anche una piccola variazione nell'energia cinetica della particella $\alpha$ emessa può portare a enormi differenze nella vita media dell'elemento che decade, ossia nella probabilità di emissione. Ad esempio, ${}^{232}{\text{Th}}$ emette particelle $\alpha$ con energia cinetica di 4.08 MeV 4.08 \text{ MeV}, mentre l'energia di quelle emesse da ${}^{218}{\text{Th}}$ è di $9.85{\text{MeV}}$; risulta che il tempo di dimezzamento del ${}^{232}{\text{Th}}$ è di $1.4\cdot 10^{10}$ anni, mentre quello del ${}^{218}{\text{Th}}$ è di $10^{-7}$ secondi (ci sono 24 ordini di grandezza di differenza!!!). Ovviamente, per la conservazione dell'energia si avrà che il nucleo e la particella $\alpha$ si ripartiscono l'energia in modo inversamente proporzionale alle loro masse; pertanto, maggiore è $A$ e più la particella $\alpha$ tenderà a "prendersi" tutta l'energia cinetica.

Decadimenti spontanei e stimolati

Come tutti i processi di decadimento, ne esistono di spontanei e non. Ovviamente, se un decadimento è spontaneo allora il sistema composto da nucleo finale e particella $\alpha$ avrà energia minore di quello iniziale. I decadimenti non spontanei possono avvenire, al solito, se un nucleo viene eccitato; in un processo d'urto, per esempio, se avviene una fusione il sistema finale sarà in uno stato eccitato, che potrà decadere sia $\alpha$ che $\gamma$, a seconda dei casi. Un decadimento $\alpha$, se spontaneamente possibile, sarà caratterizzato da una determinata probabilità, fissata dalle caratteristiche del sistema e della meccanica quantistica che ci sta dietro.

Il Q-valore di una reazione è in generale definito come la differenza fra la somma delle masse iniziali e la somma delle masse finali. Se ad esempio un decadimento $\alpha$ è del tipo:

${}^{A}X\longrightarrow {}^{A-4}Y+{}^{4}{\text{He}}$

allora $Q=-\Delta M=M_{X}-M_{Y}-M_{\alpha }$. Affinché il processo sia spontaneo bisogna che $Q>0$; supponendo che $X$ sia composto da $Z$ protoni e $N$ neutroni, si ha:

$Q=Zm_{p}+Nm_{n}-A\cdot BE_{X}-(Z-2)m_{p}-(N-2)m_{n}+$

$\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad +(A-4)\cdot BE_{Y}-2m_{p}-2m_{n}+4BE_{\alpha }>0\quad \Rightarrow$

$\Rightarrow \quad A(BE_{Y}-BE_{X})-4(BE_{Y}-BE_{\alpha })>0$

Affinché ciò sia possibile è necessario che $BE_{Y}>BE_{X}$. Sicuramente, processi del genere saranno possibili solo per A > 60 A>60 (in quanto l'energia di legame decresce al crescere di $A$ per $A>60$), anche se in realtà questi avvengono per $A{\stackrel {\sim }{>}}140$. Infatti, per avere $Q=0$ risulta che si deve avere A ≈ 140 A \approx 140 (anche perché, come abbiamo detto e come spiegheremo meglio nel prossimo paragrafo, per $Q$ piccolo gli elementi possono essere considerati stabili perché la loro vita media è lunghissima). Poiché per $A$ molto grande l'energia di legame decresce linearmente, allora $Q$ cresce linearmente con $A$ ($BE_{Y}-BE_{X}$ resta circa costante). Naturalmente possono esserci eccezioni: se c'è un elemento magico, gli elementi vicini tenderanno a decadere $\alpha$ verso di esso, e non fin quando possibile (ad esempio ${}^{210}{\text{Po}}$ decade in ${}^{206}{\text{Pb}}$, che è un elemento magico in quanto ha $Z=82$). È comune che gli elementi transuranici decadano $\alpha$ o $\beta$ a catena (il già citato ${}^{238}{\text{U}}$, ad esempio, subisce generalmente una sequenza di 14 decadimenti a catena).

Una nota: la valle di stabilità, come sappiamo, è curva, e se un elemento vicino ad essa decade $\alpha$, se ne sarà "allontanato" (nella tabella degli elementi, infatti, un decadimento $\alpha$ "sposta" l'elemento di due caselle in basso e a sinistra); dovranno avvenire pertanto altri decadimenti per "riavvicinarci" alla valle (in genere sono decadimenti $\beta$, perché "riportano su" nella tabella). Poiché l'emissione di una particella $\alpha$ diminuisce l' $A$ di un nucleo di 4, mentre i decadimenti $\beta$ (come vedremo) lo lasciano invariato, i decadimenti $\alpha$ fanno "saltare" un elemento di 4 in 4 valori di $A$. Ci aspettiamo dunque che esistano quattro possibili catene di decadimenti $\alpha$ : quelle in cui si parte da un elemento con $A$ multiplo di 4, 4+1, 4+2 e 4+3. Tuttavia, quest'ultima in natura non esiste perché l'elemento transuranico di partenza per qualche motivo è stabile.

Q-valore e vita media del decadimento

Sperimentalmente, come già detto, minore è il Q-valore e maggiore risulta la vita media dell'elemento che decade. Geiger e Nuttal a inizio '900 hanno proposto una legge empirica secondo la quale:

$\ln t_{1/2}\propto {\frac {1}{\sqrt {Q}}}$

ove $t_{1/2}$ è il tempo di dimezzamento dell'elemento che decade. Vogliamo cercare di capire perché in alcuni casi i decadimenti $\alpha$ siano così improbabili. Per farlo, cerchiamo di capire come il nucleo "figlio" interagisca con la particella $\alpha$ (sicuramente tramite le interazioni coulombiana e forte, ma dobbiamo capire in che modo).

In questo potenziale, per un particolare sistema, sappiamo che la particella $\alpha$ "esce" con una data energia $E_{\alpha }$. Classicamente, dunque, il decadimento $\alpha$ è proibito, e avviene solo per effetto tunnel attraverso la barriera di potenziale. Se ora $E_{\alpha }$ è piccola (ossia $Q$ è piccolo), la barriera da attraversare è enorme (si estende per moltissimo), e dunque l'attraversamento per effetto tunnel è poco probabile. Se invece $E_{\alpha }$ cresce (ossia $Q$ è grande) la barriera diventa più piccola, e dunque l'uscita per effetto tunnel più probabile. È per questo che la probabilità del decadimento aumenta all'aumentare dell'energia cinetica della particella emessa.

Pre-esistenza della particella $\alpha$

Possiamo supporre che la particella $\alpha$ "pre-esista" nel nucleo, con una certa probabilità (che sarà piccola: "di tanto in tanto" alcuni nucleoni si "incontrano" e formano una particella $\alpha$ ). Una volta che la particella $\alpha$ si è formata, dobbiamo determinare la probabilità del processo di tunneling attraverso la barriera di potenziale. Chiamiamo "fattore di trasmissione" della barriera il rapporto fra le ampiezze della funzione d'onda della particella $\alpha$ dentro e fuori la buca. Nel caso di una barriera "piatta", ad esempio, si pone $k={\sqrt {V-E}}$.

Per potenziali di forma diversa, si suddivide la barriera in tante piccole barriere piatte e poi si fa tendere la larghezza di quest'ultime a zero (è un metodo approssimato, che trascura le "code" della barriera). Alla fine si determina che:

$T=e^{-2\int _{R}^{b}k(r)dr}=e^{-2G}$

ove $G$ è detto fattore di Gamow. Questo dipende dall'altezza e dalla larghezza della barriera (più alta e larga è, maggiore è $G$ e dunque minore è $T$). Se dunque l'energia della particella $\alpha$ nella buca è piccola, la barriera è lunghissima, e dunque il decadimento è poco probabile. La costante di decadimento $\lambda$ risulta il prodotto di diversi fattori:

$\lambda =P_{\alpha }\cdot f\cdot e^{-2G}$

ove $P_{\alpha }$ è la probabilità di pre-formazione della particella $\alpha$ e $f$ è la frequenza di arrivo dell'$\alpha$ alla barriera (quante volte l'$\alpha$ "sbatte" contro la barriera), dunque $f=v/2R$ con $v$ velocità dell' $\alpha$ nel nucleo. Per ${}^{238}{\text{U}}$, con semplici ipotesi, si può trovare $t_{1/2}=2\cdot 10^{9}$ anni, contro un valore sperimentale di $4.5\cdot 10^{9}$. Anche per altri elementi si trova che questo modello è in prima approssimazione buono, anche se non perfetto. Interazione fra particelle $\alpha$ e la materia

Quando una particella $\alpha$ incide su un materiale, ci interagisce in maniera prettamente coulombiana (il materiale è fondamentalmente vuoto); in un metallo, ad esempio, quest'interazione avviene in genere solo con gli elettroni (gli altri nuclei non sono liberi, e sono molto distanti fra loro). Poiché le particelle $\alpha$ sono pesanti, l'energia cinetica ceduta dall' $\alpha$ in un singolo urto è molto piccola (circa un ottomillesimo della sua massa): insomma, prima di fermarsi deve urtare con moltissimi elettroni. L'energia persa per unità di lunghezza $-dE/dx$ risulta:

ove il picco è detto picco di Bragg. La cessione di energia avviene insomma solo nell'ultimo tratto; questo fatto ha numerose applicazioni mediche, per esempio in ambito radioterapico. Se invece di una sola ci sono più particelle $\alpha$ che incidono su un materiale, mediamente tutte avranno lo stesso comportamento.

Nel caso in cui invece un'$\alpha$ incida su un organismo, ad ogni urto rilascerà un'energia dell'ordine dei keV, che risulta in grado di spezzare la catena del DNA, con tutte le possibili (spiacevoli) conseguenze del caso.