Fisica nucleare e subnucleare/I decadimenti

È anche possibile considerare trasformazioni di tipo nucleare, ossia nelle quali un sistema nucleare si trasforma in un altro sistema nucleare: ad esempio, ${}^{14}{\text{C}}\longrightarrow {}^{14}{\text{N}}$. Vedremo che si tratta di fenomeni dovuti anche a un nuovo tipo di interazione, l'interazione debole. Vedremo anche che, poiché questo tipo di processo è energeticamente favorito, ha una certa probabilità di accadere. Se $E_{1}$ e $E_{2}$ sono le energie, rispettivamente, dei sistemi iniziale e finale, questo tipo di processo porterà all'emissione di una quantità di energia pari a $\Delta E=E_{1}-E_{2}$ sotto forma, ad esempio, di radiazione. Questi fenomeni sono detti decadimenti.

La probabilità di un decadimento dipende dalle nature degli stati coinvolti e dal tipo di decadimento stesso. Quantisticamente, questa probabilità è legata agli elementi di matrice di determinati operatori che permettono la transizione fra i due stati. Pertanto, ogni decadimento ha una propria probabilità, che vedremo essere legata anche ai momenti angolari degli stati fra i quali si transisce e dal momento angolare dell'operatore (legato, come già detto, a quello del campo che causa la transizione).

Ogni processo di questo tipo sarà dunque caratterizzato da una costante di decadimento $\lambda$, che è sostanzialmente la probabilità che avvenga un decadimento in un tempo infinitesimo. Considerando un solo nucleo, quindi, non si riesce a dire molto. Se invece prendiamo in esame un sistema di $N$ nuclei (con $N$ molto grande) si può trattare il tutto in modo statistico. Detta dunque $dN$ la variazione del numero di nuclei in un tempo $dt$, si avrà $dN=-\lambda Ndt$ (il segno negativo è presente perché, decadendo, il numero di nuclei diminuisce). Dunque:

${\frac {dN}{N}}=-\lambda dt\quad \Rightarrow \quad N(t)=N_{0}e^{-\lambda t}$

ove $N_{0}=N(0)$. Definendo $t_{1/2}$ il tempo di dimezzamento, ossia il tempo nel quale decade la metà dei nuclei iniziali:

$N(t_{1/2})={\frac {N_{0}}{2}}\quad \Rightarrow \quad {\frac {N_{0}}{2}}=N_{0}e^{-\lambda t_{1/2}}\quad \Rightarrow \quad t_{1/2}={\frac {\ln 2}{\lambda }}$

(che ovviamente non dipende da $N_{0}$). La vita media $\tau$ di un nucleo, invece, è il tempo che mediamente impiega un nucleo a decadere. Si ha:

$\tau =\int _{0}^{+\infty }te^{-\lambda t}dt={\frac {1}{\lambda }}$

Può accadere che il nostro sistema nucleare abbia la possibilità di decadere in tutta una serie di sistemi, ognuno con una sua probabilità (e quindi caratterizzato da una propria costante di decadimento).

Considerando il sistema ideale (ad esempio se è un foglio sottile di materiale, anziché un blocco massiccio), ognuno di questi processi di decadimento non interferirà con gli altri. In questo caso, la costante di decadimento totale sarà la somma delle costanti dei vari canali di decadimento:

$\lambda =\lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots$

Dunque, ad esempio:

${\frac {1}{t_{1/2}}}={\frac {1}{t_{1/2}^{1}}}+{\frac {1}{t_{1/2}^{2}}}+\cdots$