Elettronica pratica/Circuito RC

Quando l'interruttore è aperto, la tensione iniziale ai capi del condensatore è zero. Quando l'interruttore si chiude il condensatore si carica attraverso il resistore a $V_{0}$.

Allorché l'interruttore viene chiuso, il circuito deve seguire la relazione:

$\ V_{0}=v_{c}(t)+i_{c}(t)R$

$\ V_{0}=v_{c}(t)+{d \over dt}v_{c}(t)RC$

che è derivato analizzando il circuiti con la legge della tensione di Kirchoff.

Facendo $\ \tau =RC$ e riadattando l'equazione:

${d \over dt}v_{0}(t)+{1 \over \tau }v_{c}(t)={1 \over \tau }V_{0}$

Questa è una equazione differenziale lineare di primo ordine con fattore di integrazione:

$\ e^{\int {1 \over \tau }dt}=\ e^{t \over \tau }$

Moltiplicando entrambi i lati col fattore di integrazione:

${d \over dt}v_{0}(t)e^{t \over \tau }+{1 \over \tau }v_{c}(t)e^{t \over \tau }={1 \over \tau }V_{0}e^{t \over \tau }$

Notare che:

${d \over dt}[e^{t \over \tau }vc(t)]={d \over dt}v_{c}(t)e^{t \over \tau }+{1 \over \tau }v_{c}(t)e^{t \over \tau }$

Sostituendo ed integrando entrambi i lati:

$\ e{t \over \tau }v_{c}(t)=V_{0}e^{t \over \tau }+K$

dove K è la costante di integrazione.

Quando $\ t=0$:

$\ v_{c}(0)=0$

Pertanto:

$\ K=-V_{0}$

Quando $\ t>0$ si ha:

$\ e^{t \over \tau }v_{c}(t)=V_{0}e^{t \over \tau }-V_{0}$

$\ v_{c}(t)=V_{0}-V_{0}^{-t \over \tau }$

$\ v_{c}(t)=V_{0}(1-e^{-t \over \tau })$

Quando $\ t<0$:

$\ v_{c}(t)=0$