Quando l'interruttore è aperto, la tensione iniziale ai capi del condensatore è zero. Quando l'interruttore si chiude il condensatore si carica attraverso il resistore a
.
Allorché l'interruttore viene chiuso, il circuito deve seguire la relazione:
![{\displaystyle \ V_{0}=v_{c}(t)+i_{c}(t)R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac15cad8c4a7f13ce385e71b7333595c7f3940a8)
![{\displaystyle \ V_{0}=v_{c}(t)+{d \over dt}v_{c}(t)RC}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c57ae0b8e23a809eea2d4e5268fe972998400c65)
che è derivato analizzando il circuiti con la legge della tensione di Kirchoff.
Facendo
e riadattando l'equazione:
![{\displaystyle {d \over dt}v_{0}(t)+{1 \over \tau }v_{c}(t)={1 \over \tau }V_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c356f272ff6d6e370e144bfa3453c686e3184c39)
Questa è una equazione differenziale lineare di primo ordine con fattore di integrazione:
![{\displaystyle \ e^{\int {1 \over \tau }dt}=\ e^{t \over \tau }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a47e81b057f0221229f2a49173c9fc3380f684a)
Moltiplicando entrambi i lati col fattore di integrazione:
![{\displaystyle {d \over dt}v_{0}(t)e^{t \over \tau }+{1 \over \tau }v_{c}(t)e^{t \over \tau }={1 \over \tau }V_{0}e^{t \over \tau }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc8688de3724c1bd5d5b1eb090957a90d9644cae)
Notare che:
![{\displaystyle {d \over dt}[e^{t \over \tau }vc(t)]={d \over dt}v_{c}(t)e^{t \over \tau }+{1 \over \tau }v_{c}(t)e^{t \over \tau }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd4df89869fcb277715e416994d869969ac711e4)
Sostituendo ed integrando entrambi i lati:
![{\displaystyle \ e{t \over \tau }v_{c}(t)=V_{0}e^{t \over \tau }+K}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c648f3a703c34be4b7920c5ec9963fe1f141449)
dove K è le costante di integrazione.
Quando
:
![{\displaystyle \ v_{c}(0)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c38e46a32018ff2ec43d01c5266993b3d12d328)
Pertanto:
![{\displaystyle \ K=-V_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5378dfceea11c16b8ea90ea3f4b9d9e5732f54aa)
Quando
si ha:
![{\displaystyle \ e^{t \over \tau }v_{c}(t)=V_{0}e^{t \over \tau }-V_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e924bef3b6c4bd5315fee18310b1178ef19ad485)
![{\displaystyle \ v_{c}(t)=V_{0}-V_{0}^{-t \over \tau }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6be22f42115d5ab004774e94185c4c0e672934f4)
![{\displaystyle \ v_{c}(t)=V_{0}(1-e^{-t \over \tau })}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/429f7f8ceca5032f118e13654e4b856cf17e0a24)
Quando
:
![{\displaystyle \ v_{c}(t)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ca8511dec0e565476d5a8ba6777820f2ce4b7f4)