Elettronica pratica/Analisi circuitale in CC

Analisi circuitale in CC

In questo capitolo verranno introdotti i condensatori e le induttanze (senza tenere conto degli effetti della CA). La cosa importante da comprendere circa i condensatori e la induttanza, nei circuiti in CC, è che essi hanno una risposta transitoria (temporanea).Durante il periodo transitorio, i condensatori accumulano delle cariche ed arrestano il flusso di corrente (infine agendo come resistori infiniti). Le induttanze accumulano energia sotto forma di campi magnetici, e diventano maggiormente conduttivi. In altre parole, nello stato stazionario (comportamento successivo alla risposta transitoria), i condensatori diventano dei circuiti aperti e le induttanze dei cortocircuiti. Perciò, per l'analisi in CC, si può sostituire un condensatore con una interruzione ed una induttanza con un filo. I soli componenti che rimangono sono le sorgenti di tensione, le sorgenti di corrente, ed i resistori.

Condensatori e induttanze in CC

Abbiamo visto che, nello stato stazionario ( che significa che il circuito si trova nel medesimo stato da tempo), i condensatori si comportano come dei circuiti aperti e le impedenze come dei cortocircuiti. Le figure a fianco mostrano il processo per sostituire questi elementi circuitali con i loro equivalenti in CC. In questo caso, tutto ciò che rimane è una sorgente di tensione ed un solo resistore (una analisi in CA di questo circuito può essere trovata nella sezione: Analisi circuitale in CA).

Resistori

Se il circuito contiene solo dei resistori possibilmente in una combinazione di connessioni serie e parallelo allora un resistore equivalente viene determinato. Poi si usa la legge di Ohm per determinare la corrente che scorre nel circuito principale. Una combinazione di regole di partizione di corrente e di trensine viene appresso usata per determinare altre tensioni e correnti richieste.

1a

1b

1c

Il circuito nella fig.1a è molto semplice, se ci sono dati R e V, la tensione della sorgente, allora si impiega la legge di Ohm per trovare la corrente. Se ci sono date $R_{1},R_{2}$, come nella figura 1b, allora combiniamo i resistori in un resistore equivalente osservando che essi sono in serie. Dopodiché calcoliamo la corrente come prima usando la legge di Ohm. Nella fig.1c, i resistori sono contrassegnati in senso orario dal resistore più alto e la sogente di tensione ha il valore V. Allora l'analisi procede come segue.

$\ R_{eq}=R_{1}+R_{2}+R_{3}$

Questa è la formula per calcolare la resistenza equivalente di resistori un serie. Ora la corrente si calcola usando la legge di Ohm:

$\ i={V \over R_{1}+R_{2}+R_{3}}={V \over R_{eq}}$

Se è richiesta la tensione ai capi del terzo resistore allora si può ricorrere alla regola del partitore di tensione

$V_{R3}={\frac {VR_{3}}{R_{1}+R_{2}+R_{3}}}$

Oppure alternativamente si potrebbe impiegare la legge di Ohm con la corrente appena calcolata

$V_{R3}=iR_{3}={\frac {VR_{3}}{R_{1}+R_{2}+R_{3}}}$

Nella Fig.2(a) sia R1 il resistore più vivcino alla sorgente di tensione e R2 l'altro. Sia necessario trovare la corrente i. Allora si procede come in precedenza, prima calcoliamo la resistenza equivalente, poi usiamo la legge di Ohm per risolvere per ottenere la corrente i. La resistenza di una combinazione di resistori in parallelo è:

$R_{eq}={\frac {R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}$

Così la corrente i che scorre nel circuito è, per la legge di Ohm:

$i={\frac {V(R_{1}+R_{2})}{R_{1}R_{2}}}$

Se è necessario trovare la corrente attraverso R2 allora possiamo ricorrere alla regola del partitore di corrente:

$i_{R2}={\frac {V(R_{1}+R_{2})(R_{1})}{(R_{1}R_{2})(R_{1}+R_{2})}}={\frac {V}{R_{2}}}$(1)

Ma sarebbe stato probabilmente più semplice avere usato il fatto che V deve cadere attraverso R2. Ciò significa che si può usare semplicemente la legge di Ohmper calcolare la corrente attraverso R2.L'equazione è appunto l'equazione 1. Nella Fig.(b) si faccia esattamente la medesima cosa eccetto che questa volta ci sono tre resistori e la resistenza equivalente sarà:

${\frac {1}{R_{eq}}}={\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}+{\frac {1}{R_{3}}}$

$R_{eq}={\frac {R_{1}R_{2}R_{3}}{R_{1}R_{2}+R_{1}R_{3}+R_{2}R_{3}}}$

Utilizzando questo fatto si fa esattamente la stessa cosa.

Nella fig.3(a), se i tre resistori nella maglia esterna sono R1, R2 e R3 e l'altro resistore è R4. È più semplice vedere cosa succede se si combinano R2 e R3 in serie nella resistenza equivalente $R_{2}3$. È chiaro che la resistenza equivalente del circuito è ora R1 in serie con la combinazione parallelo di $R_{2}3$ e R4. Se si vuole calcolare la tensione ai capi della combinazione parallelo R4 and $R_{23}$ allora si usi giusto la formula del partitore di tensione.

$V_{4||23}={\frac {R_{4}||(R_{2}+R_{3})V}{R_{4}||(R_{2}+R_{3})+R_{1}}}$

Se si vuole calcolare la corrente attraverso R2 e R3 allora si può usare la tensione ai capi di $R_{4}||(R_{2}+R_{3})$ e la legge di Ohm

$i_{23}={\frac {R_{4}||(R_{2}+R_{3})V}{(R_{4}||(R_{2}+R_{3})+R_{1})(R_{2}+R_{3})}}$

Oppure si può calcolare la corrente nel circuito principale e poi impiegare la regola di partizione di corrente per ottenere la corrente.

Nella fig.3(b) si segue il medesimo metodo semplificando le combinazioni parallelo e le combinazioni serie dei resistori fintanto che non si ottiene la resistenza equivalente.

Nella fig.3(c) in questo caso questo metodo non funziona perché ci sono dei resistori collegati a delta e ciò vuol dire che non c'è modo di ridurlo al di là di trasformarlo in un collegamento a stella o ipsilon.

Nota: Per calcolare l'assorbimento di corrente dalla sorgente deve essere sempre calcolata la resistenza equivalente. Ma ciò può essere necessario se si ha giusto bisogno della tensione ai capi del resistore. Se si vuole calcolare la corrente in una combinazione parallelo allora si deve usare la regola del partitore di corrente o calcolare la tensione ai capi del resistore e poi usare la legge di Ohm per ottenere la corrente. Il secondo metodo sovente suole richiedere meno lavoro dato che la corrente che fluisce dalla sorgente è richiesta per l'impiego della regola del partitore di corrente. L'impiego della regola del partitore di corrente è molto più semplice nel caso in cui la sorgente è una sorgente di corrente poiché il valore della corrente è fissato dalla sorgente medesima.

La figura suindicata mostra tre punti 1, 2, e 3 collegati con dei resistori R₁, R₂, e R₃ con un punto comune. Una tale configurazione viene chiamata rete a stella o connessione a Y.

La figura suindicata mostra tre punticollegati con dei resistori R₁₂, R₂₃, e R₃₁. Questa configurazione è chiamata rete a delta o connessione a delta.

Abbiamo visto che le reti parallelo e serie possono venire convertite dall'utilizzo di semplici equazioni. Ora deriveremo relazioni simili per convertire una rete a stella in una connessione a delta e viceversa.

Consideriamo i punti 1 e 2.

La resistenza tra loro nel caso della rete a stella è semplicemente

R₁₂, R₂₃, and R₃₁.

Per il caso della rete a delta, abbiamo

R₁₂ || (R₃₁ + R₂₃)

Si hanno simili relazioni per i punti 2, 3 e 3, 1.

Eseguendo la sostituzione r₁= R₂₃ etc., abbiamo, semplificando,

$R_{1}={\frac {r_{2}r_{3}}{r_{1}+r_{2}+r_{3}}}$

$r_{1}={\frac {R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}{R_{1}}}$

nella maggioranza dei casi.

Se tutti i resistori sono identici, allora R = r/3.