Termodinamica classica/Legge di Fourier

La legge di Fourier per la conduzione di calore risponde all'esigenza di trovare una relazione tra la variazione di calore e la variazione di temperatura in un corpo solido. Considerato un corpo rigido di superficie $S$ e spesso un infinitesimo $dx$, prendiamo un flusso di calore, per esempio da sinistra a destra (con $T_{s}>T_{d}$); stiamo cercando una relazione del tipo:

${\frac {\partial Q}{\partial t}}(x,y,z;t)\leftrightarrow {\frac {\partial T}{\partial x}}(x,y,z;t)$

ovvero una qualche relazione tra la variazione temporale di calore (poiché il calore si misura in joule, abbiamo che ${\frac {1{\text{J}}}{1{\text{s}}}}=1{\text{W}}$ è una potenza) e la variazione di temperatura lungo lo spessore della sbarra.

Sperimentalmente, si vide che la relazione era la seguente:

${\frac {\partial Q}{\partial t}}(x,y,z;t)=-S\lambda {\frac {\partial T}{\partial x}}(x,y,z;t)$

Dove $S$ è la sezione del solido e $\lambda$ una costante che dipende dal materiale, chiamata conducibilità termica. Il segno meno è una convenzione: se la temperatura diminuisce, allora il calore sta procedendo in quella direzione (moralmente, potremmo dire che il calore "deve ancora arrivare" alle zone dove la temperatura è più bassa, quindi il calo di temperatura è "parallelo" alla direzione del calore).

L'espressione ottenuta vale per sistemi non stazionari. Se ipotizzassimo che la temperature non dipenda dal tempo, ovvero considerassimo la condizione di equilibrio, allora il calore entrante da un verso esce dall'altro e l'energia interna non varia, ottenendo l'espressione:

${\frac {dQ}{dt}}=-\lambda S{\frac {dT}{dx}}$

Questa espressione è integrabile:

${\begin{aligned}&\int _{T(0)}^{T(L)}dT=\int _{0}^{L}-{\frac {1}{\lambda S}}{\frac {dQ}{dt}}dx\\&T(L)-T(0)=-{\frac {L}{\lambda S}}{\dot {Q}}\\&{\dot {Q}}=-{\frac {\lambda S}{L}}{\big (}T(L)-T(0){\big )}\end{aligned}}$

L'ultima espressione è nota come legge di Fourier per sistemi stazionari.

Consideriamo ora il caso generale, ovvero una situazione di non equilibrio. Avremo che la variazione di calore in un determinato punto della sbarra è diversa da un punto poco lontano, ovvero ${\dot {Q}}(x)\neq {\dot {Q}}(x+dx)$. La variazione di energia interna non è quindi nulla:

${\frac {dU}{dt}}={\dot {Q}}(x)-{\dot {Q}}(x+dx)$

Abbiamo già visto l'espressione della variazione di energia interna: $dU=cmdT$; quindi avremo che ${\frac {dU}{dt}}=cm{\frac {dT}{dt}}$. Inoltre, la massa della sbarra può essere anche studiata in funzione della densità $m=\rho dV=\rho Sdx$. Fatte queste considerazioni, possiamo riscrivere

${\begin{aligned}&cm{\frac {dT}{dt}}={\dot {Q}}(x)-{\dot {Q}}(x+dx)\\&c\rho Sdx{\frac {dT}{dt}}={\dot {Q}}(x)-{\dot {Q}}(x+dx)\\&\rho xS{\frac {dT}{dt}}={\frac {{\dot {Q}}(x)-{\dot {Q}}(x+dx)}{dx}}=-{\frac {\partial {\dot {Q}}}{\partial x}}\end{aligned}}$

Ricordando l'espressione trovata prima, ovvero che ${\frac {\partial Q}{\partial t}}=-\lambda S{\frac {\partial T}{\partial x}}$, sostituendola nell'espressione qui sopra:

${\begin{aligned}&\lambda S{\frac {\partial ^{2}T}{\partial x^{2}}}=\rho cS{\frac {dT}{dt}}\\&\lambda {\frac {\partial ^{2}T}{\partial x^{2}}}=\rho c{\frac {dT}{dt}}\\&{\frac {\partial T}{\partial t}}={\frac {\lambda }{\rho c}}{\frac {\partial ^{2}T}{\partial x^{2}}}\end{aligned}}$

L'ultimo risultato è noto anche come equazione differenziale di Fourier per il caso non stazionario. La cosa interessante è che risulta essere vagamente simile all'equazione di Schrödinger, anche se hanno ben poco a che fare l'una con l'altra.

Esempio di un caso stazionario: il termometro

Anche un termometro segue la legge della conduzione termica di Fourier; infatti, se consideriamo le pareti del bulbo spesse $dx$, con la temperatura del mercurio pari a $T_{0}$ e quella dell'acqua da misurare pari a $T^{*}$, possiamo applicare la legge di Fourier nel caso stazionario:

$mc{\frac {dT}{dt}}={\dot {Q}}=-{\frac {\lambda S}{D}}{\big (}T(t)-T^{*}{\big )}$

Ovviamente, i parametri $m$ e $c$ sono relativi al mercurio presente nel bulbo del termometro. Riordinando l'espressione qui sopra otteniamo:

${\frac {dT}{dt}}=-{\frac {\lambda S}{Lmc}}(T-T^{*})$

Procediamo con un opportuno cambio di variabile; chiameremo $\xi =T-T^{*}$, da cui risulta $d\xi =dT$, in quanto $T^{*}$ è costante; così facendo, l'espressone diventa:

${\frac {d\xi }{dt}}=-{\frac {\lambda S}{Lmc}}\xi$

Anche questa è integrabile:

${\begin{aligned}&\int _{\xi (0)}^{\xi (t)}{\frac {d\xi }{\xi }}=\int _{0}^{t}-{\frac {\lambda S}{Lmc}}dt'\\&\log \left({\frac {\xi (t)}{\xi (0)}}\right)=-{\frac {\lambda S}{lmc}}t\end{aligned}}$

Osserviamo che le dimensioni di ${\frac {\lambda S}{Lmc}}$ sono quelle di ${\text{s}}^{-1}$, ovvero di una frequenza; allora chiamo questo fattore ${\frac {\lambda S}{Lmc}}=\tau$, e otteniamo:

${\frac {\xi (t)}{\xi (0)}}=e^{-{\frac {t}{\tau }}}$

Riordinando si ottiene che $\xi (t)=\xi (0)e^{-{\frac {t}{\tau }}}$; ricordando il cambio di variabile prima fatto, abbiamo che:

$T(t)-T^{*}={\big (}T_{0}-T^{*}{\big )}e^{-{\frac {t}{\tau }}}$

Osserviamo che, se $t=\tau$, abbiamo che $T(\tau )-T^{*}=(T_{0}t^{*})e^{-1}$, ovvero circa il 35% del percorso totale; potremmo quindi dire che il termometro misura una temperatura vicina alla temperatura di equilibrio con il corpo dopo un tempo $t\approx 3\tau$; ricordiamo che, tuttavia, l'equilibrio si raggiunge solo per $t\to \infty$.