Termodinamica classica/Cicli termodinamici

Un ciclo termodinamico è definito come una serie di trasformazioni termodinamiche che riportano il sistema allo stato iniziale. Ci sono diversi tipi di cicli, ne studieremo due tipi caratteristici.

Ciclo di politropiche

Consideriamo un ciclo composto da quattro trasformazioni a due a due accoppiate, che siano politropiche, ovvero del tipo $pV^{\alpha }={\text{cost}}$. Consideriamo le quattro trasformazioni singolarmente; distingueremo i due tipi di politropiche con diversi esponenti $a$ e $b$. Le leggi che regolano le quattro trasformazioni, che passano per i quattro stati termodinamici $A,B,C,D$ sono dunque:

${\begin{aligned}&p_{A}V_{A}^{a}=p_{B}V_{B}^{a}\\&p_{B}V_{B}^{b}=p_{C}V_{C}^{b}\\&p_{C}V_{C}^{a}=p_{D}V_{D}^{a}\\&p_{D}V_{D}^{b}=p_{A}V_{A}^{b}\end{aligned}}$

Moltiplichiamo tutte queste espressioni, ottenendo $V_{A}^{a}V_{B}^{b}V_{C}^{a}V_{D}^{b}=V_{A}^{b}V_{B}^{a}V_{C}^{b}V_{D}^{a}$; rimettendo le cose in ordine:

$V_{A}^{(a-b)}V_{C}^{(a-b)}=V_{B}^{(a-b)}V_{D}^{(a-b)}\,\Rightarrow \,V_{A}V_{C}=V_{B}V_{D}$

Ovvero il prodotto dei volumi opposti nel ciclo è uguale a due a due, così come resta uguale il fattore di compressione del ciclo, ovvero ${\frac {V_{B}}{V_{A}}}={\frac {V_{D}}{V_{C}}}$. Questa è una caratteristica di tutte le politropiche e dei cicli formati da quattro politropiche accoppiate.

Prima di procedere, vediamo l'espressione del calore specifico di una politropica generica. Data la legge $pV^{k}={\text{cost}}$, quale sarà il rispettivo calore specifico $c_{k}$? Ricordiamo che vale

$c_{k}=\left({\frac {\delta Q}{\partial T}}\right)_{k}={\frac {dU}{dt}}+\left({\frac {pdV}{dT}}\right)_{k}$

Valutiamo l'espressione di $pdV$ per la politropica:

$kpV^{k-1}dV+V^{k}dp=0\quad kpdV+Vdp=0$

Ora sfruttiamo questa espressione sostituendola nella legge del gas perfetto, opportunamente differenziata:

${\begin{aligned}&pV=nRT\\&pdV+Vdp=nRdT\\&pdV-kpdV=nRdT\\&pdV={\frac {nRdT}{1-k}}\end{aligned}}$

Sostituendola nella formula per $c_{k}$ otteniamo:

$c_{k}={\frac {nc_{V}dT}{dT}}+{\frac {nRdT}{(1-k)dT}}=nc_{V}+{\frac {nR}{1-k}}$

Ciclo di Carnot

Il più famoso dei cicli termodinamici è il ciclo di Carnot, composto da due isoterme e due adiabatiche tutte reversibili. Nel piano $(p,V)$ è rappresentato come nell'immagine seguente.

Le isoterme sono a temperatura $T_{1}$ e $T_{2}$, con $T_{1}>T_{2}$.

Calcoliamoci lavoro compiuto/subito e calore ceduto/assorbito per ogni trasformazione:

${\begin{aligned}&AB\quad L=nRT_{1}\log \left({\frac {V_{B}}{V_{A}}}\right)=Q>0\\&BC\quad Q=0\quad L=-\Delta U=-nc_{V}(T_{2}-T_{1})>0\\&CD\quad L=nRT_{2}\log \left({\frac {V_{D}}{V_{C}}}\right)=Q<0\\&DA\quad Q=0\quad L=-\Delta U=-nc_{V}(T_{1}-T_{2})<0\end{aligned}}$

Il lavoro totale compiuto dal ciclo sarà pari a:

$L_{\text{tot}}=nRT_{1}\log {\frac {V_{B}}{V_{A}}}+nRT_{2}\log {\frac {V_{D}}{V_{C}}}$

Sfruttando la caratteristica dei cicli di politropiche discussa poco sopra, abbiamo che ${\frac {V_{D}}{V_{C}}}={\frac {V_{B}}{V_{A}}}$, quindi otteniamo che il lavoro totale del ciclo è pari a

$L_{\text{tot}}=nR(T_{1}-T_{2})\log {\frac {V_{B}}{V_{A}}}$

Per compiere questo lavoro, ovviamente, è stato ceduto al sistema del calore, che assorbe calore solo nella trasformazione $AB$. Quando si ha a che fare con un ciclo termodinamico è ininfluente parlare di lavoro compiuto, in quanto si deve cedere del calore al sistema per compierlo; allora un termine di confronto tra cicli è il rendimento, un numero adimensionale definito come:

$\eta ={\frac {L_{\text{tot}}}{Q_{\text{ass}}}}$

Questo valore è compreso $0<\eta <1$. Il ciclo di Carnot, in particolare, lavora tra due sorgenti, per essere più precisi, lavora con sole due sorgenti, ed è reversibile; per queste caratteristiche, è unico nel suo genere e presenta un rendimento altissimo. Infatti, in base a quanto calcolato prima, possiamo esprimere il rendimento come:

$\eta ={\frac {nR(T_{1}-T_{2})\log {\frac {V_{B}}{V_{A}}}}{nRT_{1}\log {\frac {V_{B}}{V_{A}}}}}={\frac {T_{1}-T_{2}}{T_{1}}}=1-{\frac {T_{2}}{T_{1}}}$

Come vedremo col secondo principio, questo valore è il limite superiore per il rendimento di macchine termiche.

Discutiamo brevemente la validità del rendimento. Questo è definito bene per valori del lavoro positivi $L>0$, dall'espressione vista poco fa abbiamo che

$\eta ={\frac {L_{\text{tot}}}{Q_{\text{ass}}}}={\frac {|Q_{\text{ass}}|-|Q_{\text{ced}}|}{|Q_{\text{ass}}|}}=1-{\frac {|Q_{\text{ced}}|}{|Q_{\text{ass}}|}}$

Ora, sul calore assorbito c'è libertà assoluta, ma sul calore ceduto no. Infatti, se il lavoro è negativo, il rendimento non è ben definito, o meglio, ha poco senso una macchina termica a rendimento negativo. Per questo abbiamo due casi limite:

${\begin{aligned}&Q_{\text{ced}}=0\quad \eta =1\\&Q_{\text{ced}}=Q_{\text{ass}}\quad \eta =0\end{aligned}}$

Quindi otteniamo che $0\leq \eta \leq 1$; come vedremo col secondo principio, non potremo però avere un rendimento esattamente uguale a 1.