Fisica per le superiori/L'enunciato di Gauss

La tecnica di rappresentare le linee di campo elettrico in una dimensione globale, piuttosto che calcolare punto per punto il vettore campo elettrico, applicando il principio di sovrapposizione, non è un semplice espediente grafico, ma uno strumento espressivo molto efficace.

I due modi di descrivere, inoltre, sono del tutto equivalenti, come è stato dimostrato, al principio dello studio dell’elettrostatica, da un fisico matematico molto autorevole, che è Carl Friedrich Gauss. Nell’idea di Gauss, le linee di campo rappresentano il flusso di una grandezza emanata da ciascuna carica intorno a sé, e chiamata appunto flusso del campo elettrico.

Gauss ha capito che, osservando il campo elettrico sulla superficie di un volume limitato dello spazio, fosse possibile stabilire una relazione con la quantità totale di carica contenuta all’interno di quello stesso volume.

La definizione del flusso del campo elettrico

Per realizzare matematicamente questa relazione è necessario innanzitutto introdurre una nuova grandezza fisica, chiamata flusso del campo elettrico. La

Il flusso del campo elettrico è una grandezza associata ad ogni porzione di superficie dello spazio.
Prendiamo dunque una superficie ${\vec {\Delta S}}$ piuttosto piccola, e supponiamo che su tutti i punti di questa superficie agisca un campo elettrico ${\vec {E}}$ costante (all’interno di un certo grado di approssimazione). Definiremo flusso del campo elettrico che attraversa la superficie ${\vec {\Delta S}}$ il prodotto scalare tra il vettore superficie (in matematica, il vettore è lo strumento più adatto per rappresentare una superficie) e il vettore campo elettrico.

$\Delta \Phi ={\vec {\Delta S}}\bullet {\vec {E}}=SEcos\theta$

Per chi non possiede una familiarità sufficiente con l’operatore di prodotto scalare, definizione può essere utile aggiungere una digressione sul concetto di flusso. Possiamo pensare al flusso nello stesso modo in cui pensiamo alla quantità di liquido che attraversa un tubo dell’acquedotto. Questa quantità dipende contemporaneamente dalla velocità con cui l’acqua scorre nel tubo e dalla superficie del tubo stesso.

Il modo di misurare questa superficie, però, richiede qualche attenzione. È intuitivo, infatti, assumere che la superficie del tubo debba essere perpendicolare al moto del fluido. Ma in pratica, non è sempre facile riconoscere questa condizione. Può accadere, infatti, che un tubo venga tagliato in modo trasversale. In questo caso, il calcolo della superficie del tubo dovrà essere adattato in funzione dell’inclinazione del taglio.

Il prodotto vettoriale è lo strumento che esegue questa operazione in matematica. La superficie viene indicata con un vettore perpendicolare al piano della superficie stessa. Moltiplicando la superficie per il coseno dell’angolo, si ottiene esattamente la superficie perpendicolare alla direzione del moto.

Osserviamo che il flusso di un campo elettrico è una grandezza scalare che può assumere sia valori positivi che valori negativi.

Se la superficie considerata non è piana, la definizione precedente deve essere estesa in un modo opportuno. In questo caso, si proverà a scomporre la superficie stessa in un certo numero di superfici più piccole, alle quali sia possibile applicare la definizione precedente. Si chiamerà poi flusso totale la somma algebrica dei flussi di tutte le superfici:

$\Phi _{tot}=\Sigma _{i}\phi _{i}$

La scomposizione di una superficie estesa in un numero adeguato di superfici minori è un problema che coinvolge il calcolo integrale, e che trascende gli obiettivi di questa lezione.

L’enunciato di Gauss

L’enunciato di Gauss è un modo alternativo di descrivere la legge di Coulomb. Molto spesso, è riportato con il nome di teorema di Gauss, proprio perché è possibile derivarlo in modo equivalente a partire dalla legge di Coulomb.

Gauss afferma che:

Definizione

Presa una superficie chiusa, che racchiude un volume finito di spazio, il flusso totale del campo elettrico contenuto nella superficie è proporzionale alla quantità totale di carica racchiusa nella superficie stessa (e sommata algebricamente), secondo la relazione:
$\Phi _{tot}={\frac {Q_{tot}}{\epsilon _{0}}}$