Fisica per le superiori/Elementi di algebra vettoriale

Definizione.

Una quantità che richieda, per essere completamente caratterizzata, una direzione ed una grandezza (un numero reale positivo) è un vettore. Una quantità che è totalmente caratterizzata da un singolo numero reale è uno scalare. Un vettore può venire rappresentato con un segmento orientato, PQ, nello spazio, in cui la lunghezza del segmento è la grandezza del vettore, o modulo, e la direzione da P a Q è la sua direzione. La posizione del punto iniziale P è irrilevante cosicché qualsiasi segmento di retta con la medesima direzione e grandezza è lo stesso vettore. Di frequente è necessario considerare vettori vincolati a un punto; a tale combinazione vettore punto è dato il nome di vettore vincolato.

Due vettori sono considerati uguali se, e soltanto se, hanno la medsima grandezza e direzione. Un vettore zero, O, è definito come un vettore di grendezza zero sicché può essere rappresentato da un punto. |a|=0 se, e solo se, a=0. Il vettore zero può essere ritenuto di essere orientato in tutte le direzioni cosicché da risultare sia parallelo sia normale a qualsiasi altro vettore.

Somma e differenza di vettori.

Con ogni due vettori a e b è associato un terzo vettore c=a+b, chiamato somma di a e b, che è definito nel modo seguente; Si scelga un punto iniziale P ovunque nello spazio e rappresentiamo a e b tramite PQ=a e QR=b; allora c è definito come vettore c' rappresentato da PR. c può essere pensato come il terzo lato del triangolo del quale PQ e PR ne sono due lati, oppure la diagonale del parallelogrammo di cui PQ e QR ne sono due lati non paralleli. Il procedimento per ottenere c e chiamato addizione.

La differenza di due vattori a e b è definita come il vettore c che soddisfa la relazione b +c=a. Il processo per trovare c è denominato sottrazione.

L'addizione e la sottrazione di vettori obbediscono alle seguenti leggi:

${\vec {a}}+{\vec {b}}={\vec {b}}+{\vec {a}}$

${\vec {a}}+({\vec {b}}+{\vec {c}})=({\vec {a}}+{\vec {b}})+{\vec {c}}$

${\vec {a}}+{\vec {b}}={\vec {c}}$

se, e solamente se, ${\vec {b}}={\vec {c}}-{\vec {a}}$, ${\vec {a}}+{\vec {o}}={\vec {a}}$

|${\vec {a}}+{\vec {b}}|<|{\vec {a}}|+|{\vec {b}}|$

Prodotti.

1. Prodotto di uno scalare per un vettore. Se h è uno scalare e ${\vec {a}}$ è un vettore, allora $h{\vec {a}}$ è definito come il vettore di modulo $|h||{\vec {a}}|$ la cui direzione è la medesima od opposta alla direzione di ${\vec {a}}$ secondo che h sia positivo o negativo.

Il prodotto di uno scalare per un vettore obbedisce le seguenti leggi

$(hk){\vec {a}}=h(k{\vec {a}})=k(h{\vec {a}})\qquad \qquad \qquad (h+k){\vec {a}}=h{\vec {a}}+k{\vec {a}}$

$h({\vec {a}}+{\vec {b}})=h{\vec {a}}+h{\vec {b}}\qquad \qquad \qquad \qquad {\vec {a}}+(-{\vec {b}})={\vec {a}}-{\vec {b}}$

2. Prodotto scalare e vettoriale di due vettori. Sia $\ \theta$ l'angolo minore dei due angoli tra ${\vec {a}}={\vec {OA}}$ e ${\vec {b}}={\vec {OB}}$, in cui O è un qualsiasi punto dello spazio e $0\leq \theta \leq \pi$. Il prodotto scalare di ${\vec {a}}$ e ${\vec {b}}$ rappresentato da ${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}$, è definito come lo scalare $|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cos \theta$. La quantità $|{\vec {a}}|\cos \theta (|{\vec {b}}|\cos \theta )$ è la componente di ${\vec {a}}$ su ${\vec {b}}$ (${\vec {b}}$ su ${\vec {a}}$) ed è rappresentata da $comp_{b}{\vec {a}}$ ($comp_{a}{\vec {b}}$). $Comp_{a}{\vec {b}}$ misura la lunghezza della proiezione di ${\vec {b}}$ sulla direzione di ${\vec {a}}$.

Il prodotto scalare obbedisce alle seguenti leggi

${\vec {a}}\cdot ({\vec {b}}+{\vec {c}})={\vec {a}}\cdot {\vec {b}}+{\vec {a}}\cdot {\vec {c}}$

${\vec {a}}\cdot (h{\vec {b}})=h({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})=(h{\vec {a}})\cdot {\vec {b}}$

${\vec {a}}\cdot {\vec {a}}=|{\vec {a}}|^{2}$

Il prodotto scalare ${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=0$ se $|{\vec {a}}|=0$ o $|{\vec {b}}=0$ o $\ \theta ={\pi \over 2}$. Poiché il vettore zero è considerato perpendicolare ad ogni altro vettore ${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=0$ se, e solamente se, ${\vec {a}}$ è perpendicolare a ${\vec {b}}$.

Sistema di coordinate rettangolari destro. Un sistema di coordinate rettangolari a tre dimensioni con assi x,y e z è detto destro se le direzioni positive di x, y e zsono scelte cosicché una vite destra avanza lungo l'asse z positivo quando, datole un giro di 90°, ruoti l'asse positivo x sull'asse positivo y. Siano i,j e k dei vettori unitari, versori fondamentali, scaturenti dall'origine e diretti rispettivamente lungo gli assi positivi x,y e z. i, j e k soddisfano le relazioni $\ i\cdot i=j\cdot j=k\cdot k=1$ e $\ i\cdot j=j\cdot k=k\cdot i=0$.

Per qualsiasi vettore ${\vec {a}}$ si scriva $\ a_{x}={\vec {a}}\cdot i$, $\ a_{y}={\vec {a}}\cdot j$, $\ a_{z}={\vec {a}}\cdot k.-$ $\ a_{x},a_{y},a_{z}$ sono le componenti cartesiane di ${\vec {a}}$ sugli assi coordinati. Pertanto ${\vec {a}}=a_{x}\cdot i+a_{y}\cdot j+a_{z}\cdot k$. I vettori ${\vec {a}}$ e ${\vec {b}}$ soddisfano le relazioni

${\vec {a}}\cdot b=a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}+a_{z}b_{z}$

${\vec {a}}\pm {\vec {b}}=(a_{x}\pm b_{x})i+(a_{y}\pm b_{y})j+(a_{z}\pm b_{z})k$

${\vec {a}}={\vec {b}}$ $\ se,\ e\ soltanto\ se$, $\ a_{x}=b_{x},a_{y}=b_{y},a_{z}=b_{z}$

${\vec {a}}={\vec {0}}$ $\ se,\ e\ soltanto\ se$, $\ a_{x}=a_{y}=a_{z}=0$

${\vec {a}}\cdot {\vec {a}}=|{\vec {a}}|^{2}={a_{x}}^{2}+{a_{y}}^{2}+{a_{z}}^{2}$

3. Il prodotto vettoriale di due vettori ${\vec {a}}$ e ${\vec {b}}$, presi in tale ordine, è un terzo vettore ${\vec {c}}$, indicato da ${\vec {a}}\times {\vec {b}}$, e definito nel modo che segue: ${\vec {a}}$ e ${\vec {b}}$ siano rappresentati rispettivamente da ${\vec {OA}}$ e ${\vec {OB}}$ e $\ \theta$ sia l'angolo minore dei due angoli da ${\vec {OA}}<math>a<math>{\vec {OB}}$ cosicché $\ 0\leq \theta \leq \pi$. Allora ${\vec {c}}={\vec {a}}\times {\vec {b}}$ è il vettore di grandezza $|{\vec {c}}|=|{\vec {a}}||{\vec {B}}|sin\theta$ che è perpendicolare al piano di ${\vec {OA}}$ e ${\vec {OB}}$ orientato nella direzione in cui una vite destra avanza quando sia ruotata di un angolo $\ \theta$ da ${\vec {OA}}$ verso ${\vec {OB}}$.

Il prodotto vettoriale ubbidisce alle leggi

${\vec {a}}\times {\vec {b}}=-({\vec {b}}\times {\vec {a}}\qquad \qquad \qquad {\vec {a}}\times ({\vec {a}}+{\vec {c}})={\vec {a}}\times b+{\vec {a}}\times {\vec {c}}$

${\vec {a}}\times (h{\vec {b}})=(h{\vec {a}})\times {\vec {b}}=h(h({\vec {a}}\times {\vec {b}})\qquad \qquad {\vec {a}}\times {\vec {a}}={\vec {0}}$

${\vec {a}}\times {\vec {b}}={\begin{vmatrix}a_{y}&a_{z}\\b_{y}&b_{z}\end{vmatrix}}i+{\begin{vmatrix}a_{z}&a_{x}\\b_{z}&b_{x}\end{vmatrix}}j+{\begin{vmatrix}a_{x}&a_{y}\\b_{x}&b_{y}\end{vmatrix}}k={\begin{vmatrix}i&j&k\\a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\end{vmatrix}}$

I versori fondamentali i, j e k soddisfano le relazioni

$\ i\times j=k\qquad \ j\times k=i\qquad k\times i=j$

$\ i\times i=j\times j=k\times k={\vec {0}}$

4. ${\vec {a}}\times {\vec {b}}\cdot c$ definisce il prodotto scalare triplo di tre vettori nell'ordine ${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}$. Le parentesi non sono necessarie attorno a ${\vec {a}}\times {\vec {b}}$ in ${\vec {a}}\times b\cdot c$ perché ${\vec {a}}\times ({\vec {b}}\cdot c)$ è senza significato, essendo il prodotto vettoriale definito solamente per due vettori, laddove ${\vec {b}}\cdot c$ è uno scalare.

Il prodotto scalare triplo ubbidisce alle regole

${\vec {a}}\times {\vec {b}}\cdot {\vec {c}}=0$

se e soltanto se ${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}$ possono essere rapprresentati con segmenti di linea orientati complanari.

${\vec {a}}\times {\vec {b}}\cdot {\vec {c}}={\vec {a}}\cdot {\vec {b}}\times {\vec {c}}={\vec {b}}\times {\vec {c}}\cdot {\vec {a}}={\vec {b}}\cdot {\vec {c}}\times {\vec {a}}={\vec {c}}\times {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}={\vec {c}}\cdot {\vec {a}}\times {\vec {b}}$

${\vec {a}}\times {\vec {b}}\cdot {\vec {c}}={\begin{vmatrix}a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\\c_{x}&c_{y}&c_{z}\end{vmatrix}}$

Conformemente all'ultimo set di relazioni, il prodotto scalare triplo di ${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}$ dipende solamente dall'ordine in cui i vettori si trovano. Nondimeno, se l'ordine ciclico viene trasformato in, diciamo, ${\vec {a}},{\vec {c}},{\vec {b}}$ allora ${\vec {a}}\times {\vec {b}}\cdot {\vec {c}}=-({\vec {a}}\times {\vec {c}}\cdot {\vec {b}})$.

5. I prodotti vettoriali tripli di ${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}$, in tale ordine, sono $({\vec {a}}\times {\vec {b}})\times {\vec {c}}$ e ${\vec {a}}\times ({\vec {b}}\times {\vec {c}})$.

Questi prodotti soddisfano le identità

${\vec {a}}\times ({\vec {b}}\times {\vec {c}})=({\vec {a}}\cdot {\vec {c}}){\vec {b}}-({\vec {a}}\cdot {\vec {b}}){\vec {c}}$

$({\vec {a}}\times {\vec {b}})\times {\vec {c}}=({\vec {c}}\cdot {\vec {a}}){\vec {b}}-({\vec {c}}\cdot {\vec {b}}){\vec {a}}$

Derivata di un vettore

Se ${\vec {u}}(t)$ è un vettore definito per ogni t di un intervallo $t_{1}\leq t\leq t_{2}$, allora ${\vec {u}}$ è un vettore funzione di t in detto intervallo. La derivata di ${\vec {u}}(t)$ rispetto al tempo è definita come

$\lim _{|\Delta t|\to 0}{{\vec {u}}(t+\Delta t)-{\vec {u}}(t) \over \Delta t}=\lim _{|\Delta t|\to 0}{\Delta {\vec {u}} \over \Delta t}$

se il limite esiste.

La derivazione ubbidisce alle seguenti regole

${d({\vec {u}}\pm {\vec {v}}) \over dt}={d{\vec {u}} \over dt}\pm {d{\vec {v}} \over dt}$

${d({\vec {u}}\cdot {\vec {v}}) \over dt}={\vec {u}}\cdot {d{\vec {v}} \over dt}+{d{\vec {u}} \over dt}\cdot {\vec {v}}$

${d({\vec {u}}\times {\vec {v}}) \over dt}={\vec {u}}\times {d{\vec {v}} \over dt}+{d{\vec {u}} \over dt}\times {\vec {v}}$

${{\vec {a}} \over dt}=0\qquad se\ {\vec {a}}\ costante$

${df{\vec {u}} \over dt}=f{d{\vec {u}} \over dt}+{\vec {u}}{df \over dt}$

dove f è una funzione scalare di t.

Campi scalare e vettoriale, Gradiente, Divergenza, Rotore

Se in ciascun punto di una porzione S di spazio è assegnato un vettore applicato ${\vec {u}}={\vec {u}}(x,y,z)$ [scalare f=f(x,y,z}, si dice allora che un campo vettoriale (scalare) è definito in S.Lasciamo $\ \Delta$ rappresentare l'operatore differenziale vettoriale ${i{\delta \over \delta x}}+{j{\delta \over \delta y}}+{k{\delta \over \delta z}}$; allora,(ammettendo che tutte le derivate parziali esistano) il gradiente, la divergenza e il rotoresono definiti ed espressi in termini di $\ \Delta$ come segue:

Il gradiente di una funzione scalare $\ f(x,y,x)$ in un campo scalare è definito con la relazione

$\ grad\ f={{\delta f \over \delta x}i}+{{\delta f \over \delta y}j}+{{\delta f \over \delta z}k}=\Delta f$

La divergenza di un vettore ${\vec {u}}=u_{x}i+u_{y}j+u_{z}k$ in un camap vettoriale è definita dalla relazione

${div}\ {\vec {u}}={\delta u_{x} \over \delta x}+{\delta u_{y} \over \delta y}+{\delta u_{z} \over \delta z}=\Delta \cdot {\vec {u}}$

Il rotore di un vettore ${\vec {u}}=u_{x}i+u_{y}j+u_{z}k$ in un campo vettoriale è definito dalla relazione

${rot}\ {\vec {u}}=({\delta u_{z} \over \delta y}-{\delta u_{y} \over \delta z})i+({\delta u_{x} \over \delta z}-{\delta u_{z} \over \delta x})j+({\delta u_{y} \over \delta x}-{\delta u_{x} \over \delta y})k={\begin{vmatrix}i&j&k\\{\delta \over \delta x}&{\delta \over \delta y}&{\delta \over \delta z}\\u_{x}&u_{y}&u_{z}\end{vmatrix}}=\Delta \times {\vec {u}}$