Terzo anno
Quarto anno
- Forze
- Corpo rigido
- Fluidi
Quinto anno
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Definizione.
Una quantità che richieda, per essere completamente caratterizzata, una direzione ed una grandezza (un numero reale positivo) è un vettore. Una quantità che è totalmente caratterizzata da un singolo numero reale è uno scalare. Un vettore può venire rappresentato con un segmento orientato, PQ, nello spazio, in cui la lunghezza del segmento è la grandezza del vettore, o modulo, e la direzione da P a Q è la sua direzione. La posizione del punto iniziale P è irrilevante cosicché qualsiasi segmento di retta con la medesima direzione e grandezza è lo stesso vettore. Di frequente è necessario considerare vettori vincolati a un punto; a tale combinazione vettore punto è dato il nome di vettore vincolato.
Due vettori sono considerati uguali se, e soltanto se, hanno la medsima grandezza e direzione. Un vettore zero, O, è definito come un vettore di grendezza zero sicché può essere rappresentato da un punto. |a|=0 se, e solo se, a=0. Il vettore zero può essere ritenuto di essere orientato in tutte le direzioni cosicché da risultare sia parallelo sia normale a qualsiasi altro vettore.
Somma e differenza di vettori.
Con ogni due vettori a e b è associato un terzo vettore c=a+b, chiamato somma di a e b, che è definito nel modo seguente; Si scelga un punto iniziale P ovunque nello spazio e rappresentiamo a e b tramite PQ=a e QR=b; allora c è definito come vettore c' rappresentato da PR. c può essere pensato come il terzo lato del triangolo del quale PQ e PR ne sono due lati, oppure la diagonale del parallelogrammo di cui PQ e QR ne sono due lati non paralleli. Il procedimento per ottenere c e chiamato addizione.
La differenza di due vattori a e b è definita come il vettore c che soddisfa la relazione b +c=a. Il processo per trovare c è denominato sottrazione.
L'addizione e la sottrazione di vettori obbediscono alle seguenti leggi:
![{\displaystyle {\vec {a}}+{\vec {b}}={\vec {b}}+{\vec {a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec2b7482da2847013fa5de8900757c561b98c815)
![{\displaystyle {\vec {a}}+({\vec {b}}+{\vec {c}})=({\vec {a}}+{\vec {b}})+{\vec {c}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6040bba8a297ea077e3ff39a42e84514477e9d5)
![{\displaystyle {\vec {a}}+{\vec {b}}={\vec {c}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43c3e97709479b25d6a6a837257d208de54ee735)
se, e solamente se,
,
- |
![{\displaystyle {\vec {a}}+{\vec {b}}|<|{\vec {a}}|+|{\vec {b}}|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69de91fa93ed6ffefb374135516cdb9c805a16a8)
Prodotti.
1. Prodotto di uno scalare per un vettore. Se h è uno scalare e
è un vettore, allora
è definito come il vettore di modulo
la cui direzione è la medesima od
opposta alla direzione di
secondo che h sia positivo o negativo.
Il prodotto di uno scalare per un vettore obbedisce le seguenti leggi
![{\displaystyle (hk){\vec {a}}=h(k{\vec {a}})=k(h{\vec {a}})\qquad \qquad \qquad (h+k){\vec {a}}=h{\vec {a}}+k{\vec {a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e8092c504210a7f5f3a88e6f2506dfaa029316c)
![{\displaystyle h({\vec {a}}+{\vec {b}})=h{\vec {a}}+h{\vec {b}}\qquad \qquad \qquad \qquad {\vec {a}}+(-{\vec {b}})={\vec {a}}-{\vec {b}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29cd7c53faae743a490abc9ae2c5f663942ffa6c)
2. Prodotto scalare e vettoriale di due vettori. Sia
l'angolo minore dei due angoli tra
e
, in cui O è un qualsiasi punto dello spazio e
. Il prodotto scalare di
e
rappresentato da
, è definito come lo scalare
. La quantità
è la componente di
su
(
su
) ed è rappresentata da
(
).
misura la lunghezza della proiezione di
sulla direzione di
.
Il prodotto scalare obbedisce alle seguenti leggi
![{\displaystyle {\vec {a}}\cdot ({\vec {b}}+{\vec {c}})={\vec {a}}\cdot {\vec {b}}+{\vec {a}}\cdot {\vec {c}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6718635ad7eae7616c9dabe77685e8a29076f7f8)
![{\displaystyle {\vec {a}}\cdot (h{\vec {b}})=h({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})=(h{\vec {a}})\cdot {\vec {b}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c305e713409cf52c9bac9de938ac64e09980f1a)
![{\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {a}}=|{\vec {a}}|^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc7add2e064e892d606ac8071f4f01949c56f87c)
Il prodotto scalare
se
o
o
. Poiché il vettore zero è considerato perpendicolare ad ogni altro vettore
se, e solamente se,
è perpendicolare a
.
Sistema di coordinate rettangolari destro. Un sistema di coordinate rettangolari a tre dimensioni con assi x,y e z è detto destro se le direzioni positive di x, y e zsono scelte cosicché una vite destra avanza lungo l'asse z positivo quando, datole un giro di 90°, ruoti l'asse positivo x sull'asse positivo y. Siano i,j e k dei vettori unitari, versori fondamentali, scaturenti dall'origine e diretti rispettivamente lungo gli assi positivi x,y e z. i, j e k soddisfano le relazioni
e
.
Per qualsiasi vettore
si scriva
,
,
sono le componenti cartesiane di
sugli assi coordinati. Pertanto
. I vettori
e
soddisfano le relazioni
![{\displaystyle {\vec {a}}\cdot b=a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}+a_{z}b_{z}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/361d68fdd9d5049cbf1061de3de8ae1213be3131)
![{\displaystyle {\vec {a}}\pm {\vec {b}}=(a_{x}\pm b_{x})i+(a_{y}\pm b_{y})j+(a_{z}\pm b_{z})k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35a3dabee7f923dd61df8377773bfecb03ef7b13)
, ![{\displaystyle \ a_{x}=b_{x},a_{y}=b_{y},a_{z}=b_{z}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa2be57c927ea324cd79a99ff8c14fe9e7ab6d86)
, ![{\displaystyle \ a_{x}=a_{y}=a_{z}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cb71e1c741c806ca24d6f84d939aec925024a39)
![{\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {a}}=|{\vec {a}}|^{2}={a_{x}}^{2}+{a_{y}}^{2}+{a_{z}}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c20057eb1072deae0869c9b3cc40b4ec259fb9a8)
3. Il prodotto vettoriale di due vettori
e
, presi in tale ordine, è un terzo vettore
, indicato da
, e definito nel modo che segue:
e
siano rappresentati rispettivamente da
e
e
sia l'angolo minore dei due angoli da
cosicché
. Allora
è il vettore di grandezza
che è perpendicolare al piano di
e
orientato nella direzione in cui una vite destra avanza quando sia ruotata di un angolo
da
verso
.
Il prodotto vettoriale ubbidisce alle leggi
![{\displaystyle {\vec {a}}\times {\vec {b}}=-({\vec {b}}\times {\vec {a}}\qquad \qquad \qquad {\vec {a}}\times ({\vec {a}}+{\vec {c}})={\vec {a}}\times b+{\vec {a}}\times {\vec {c}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56c14ec0aa57d339e5961306f0bc5209b794e4d3)
![{\displaystyle {\vec {a}}\times (h{\vec {b}})=(h{\vec {a}})\times {\vec {b}}=h(h({\vec {a}}\times {\vec {b}})\qquad \qquad {\vec {a}}\times {\vec {a}}={\vec {0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3f3ce332d4e5ee0422f1ca035867ae26b4dac07)
![{\displaystyle {\vec {a}}\times {\vec {b}}={\begin{vmatrix}a_{y}&a_{z}\\b_{y}&b_{z}\end{vmatrix}}i+{\begin{vmatrix}a_{z}&a_{x}\\b_{z}&b_{x}\end{vmatrix}}j+{\begin{vmatrix}a_{x}&a_{y}\\b_{x}&b_{y}\end{vmatrix}}k={\begin{vmatrix}i&j&k\\a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\end{vmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07fce62a06f6f32cad5858403a214d3e196d9c6a)
I versori fondamentali i, j e k soddisfano le relazioni
![{\displaystyle \ i\times j=k\qquad \ j\times k=i\qquad k\times i=j}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f8f869f69d3845d653c1f48013b7d308aeb5696)
![{\displaystyle \ i\times i=j\times j=k\times k={\vec {0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47446cff3e888c9f612cf6d19a0f0eb8c0fc39a4)
4.
definisce il prodotto scalare triplo di tre vettori nell'ordine
. Le
parentesi non sono necessarie attorno a
in
perché
è senza significato, essendo il prodotto vettoriale definito solamente per due vettori, laddove
è uno scalare.
Il prodotto scalare triplo ubbidisce alle regole
![{\displaystyle {\vec {a}}\times {\vec {b}}\cdot {\vec {c}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74e01fd37e046fd40cdd4bd2c1aaf47425e1104d)
se e soltanto se
possono essere rapprresentati con segmenti di linea orientati complanari.
![{\displaystyle {\vec {a}}\times {\vec {b}}\cdot {\vec {c}}={\vec {a}}\cdot {\vec {b}}\times {\vec {c}}={\vec {b}}\times {\vec {c}}\cdot {\vec {a}}={\vec {b}}\cdot {\vec {c}}\times {\vec {a}}={\vec {c}}\times {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}={\vec {c}}\cdot {\vec {a}}\times {\vec {b}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbc4e14c6ebdbd55e9ec50d98838d1108f25d28e)
![{\displaystyle {\vec {a}}\times {\vec {b}}\cdot {\vec {c}}={\begin{vmatrix}a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\\c_{x}&c_{y}&c_{z}\end{vmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0073a29e0cef371b3aaa80542addb0300e1dd9f)
Conformemente all'ultimo set di relazioni, il prodotto scalare triplo di
dipende solamente dall'ordine in cui i vettori si trovano. Nondimeno, se l'ordine ciclico viene trasformato in, diciamo,
allora
.
5. I prodotti vettoriali tripli di
, in tale ordine, sono
e
.
Questi prodotti soddisfano le identità
![{\displaystyle {\vec {a}}\times ({\vec {b}}\times {\vec {c}})=({\vec {a}}\cdot {\vec {c}}){\vec {b}}-({\vec {a}}\cdot {\vec {b}}){\vec {c}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d3c2a88210f559187473ef52976d08804915c69)
![{\displaystyle ({\vec {a}}\times {\vec {b}})\times {\vec {c}}=({\vec {c}}\cdot {\vec {a}}){\vec {b}}-({\vec {c}}\cdot {\vec {b}}){\vec {a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/158308e7adc23076297504c80cdccbd3b96038ae)
Derivata di un vettore
Se
è un vettore definito per ogni t di un intervallo
, allora
è un vettore funzione di t in detto intervallo. La derivata di
rispetto al tempo è definita come
![{\displaystyle \lim _{|\Delta t|\to 0}{{\vec {u}}(t+\Delta t)-{\vec {u}}(t) \over \Delta t}=\lim _{|\Delta t|\to 0}{\Delta {\vec {u}} \over \Delta t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef832956eee7ddf2bd8f7c7863083d8d605f5fbc)
se il limite esiste.
La derivazione ubbidisce alle seguenti regole
![{\displaystyle {d({\vec {u}}\pm {\vec {v}}) \over dt}={d{\vec {u}} \over dt}\pm {d{\vec {v}} \over dt}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/432d87f1890c7dbc348319268e9e8044573bb615)
![{\displaystyle {d({\vec {u}}\cdot {\vec {v}}) \over dt}={\vec {u}}\cdot {d{\vec {v}} \over dt}+{d{\vec {u}} \over dt}\cdot {\vec {v}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38d89e32118d2513cb1964bd18e84da55453b385)
![{\displaystyle {d({\vec {u}}\times {\vec {v}}) \over dt}={\vec {u}}\times {d{\vec {v}} \over dt}+{d{\vec {u}} \over dt}\times {\vec {v}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19f5a1aa87e9349f158811b604a5c7015b225ac3)
![{\displaystyle {{\vec {a}} \over dt}=0\qquad se\ {\vec {a}}\ costante}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c1352964b4281975e50561b0c885639a9f23d5a)
![{\displaystyle {df{\vec {u}} \over dt}=f{d{\vec {u}} \over dt}+{\vec {u}}{df \over dt}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdfad8b1278c0592d81878f7c1371de41585cf2d)
- dove f è una funzione scalare di t.
Campi scalare e vettoriale, Gradiente, Divergenza, Rotore
Se in ciascun punto di una porzione S di spazio è assegnato un vettore applicato
[scalare f=f(x,y,z}, si dice allora che un campo vettoriale (scalare) è definito in S.Lasciamo
rappresentare l'operatore differenziale vettoriale
; allora,(ammettendo che tutte le derivate parziali esistano) il gradiente, la divergenza e il rotoresono definiti ed espressi in termini di
come segue:
Il gradiente di una funzione scalare
in un campo scalare è definito con la relazione
![{\displaystyle \ grad\ f={{\delta f \over \delta x}i}+{{\delta f \over \delta y}j}+{{\delta f \over \delta z}k}=\Delta f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c293d97dd0cd3a488affff41f3586606110eb897)
La divergenza di un vettore
in un camap vettoriale è definita dalla relazione
![{\displaystyle {div}\ {\vec {u}}={\delta u_{x} \over \delta x}+{\delta u_{y} \over \delta y}+{\delta u_{z} \over \delta z}=\Delta \cdot {\vec {u}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9da0edc071356e4e4495075f8c0a9d3313e1ea32)
Il rotore di un vettore
in un campo vettoriale è definito dalla relazione
![{\displaystyle {rot}\ {\vec {u}}=({\delta u_{z} \over \delta y}-{\delta u_{y} \over \delta z})i+({\delta u_{x} \over \delta z}-{\delta u_{z} \over \delta x})j+({\delta u_{y} \over \delta x}-{\delta u_{x} \over \delta y})k={\begin{vmatrix}i&j&k\\{\delta \over \delta x}&{\delta \over \delta y}&{\delta \over \delta z}\\u_{x}&u_{y}&u_{z}\end{vmatrix}}=\Delta \times {\vec {u}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a2b834cb13741ffe14d1ad41ef86a24905ab9e6)