Terzo anno
Quarto anno
- Forze
- Corpo rigido
- Fluidi
Quinto anno
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Definizione.
Una quantità che richieda, per essere completamente caratterizzata, una direzione ed una grandezza (un numero reale positivo) è un vettore. Una quantità che è totalmente caratterizzata da un singolo numero reale è uno scalare. Un vettore può venire rappresentato con un segmento orientato, PQ, nello spazio, in cui la lunghezza del segmento è la grandezza del vettore, o modulo, e la direzione da P a Q è la sua direzione. La posizione del punto iniziale P è irrilevante cosicché qualsiasi segmento di retta con la medesima direzione e grandezza è lo stesso vettore. Di frequente è necessario considerare vettori vincolati a un punto; a tale combinazione vettore punto è dato il nome di vettore vincolato.
Due vettori sono considerati uguali se, e soltanto se, hanno la medsima grandezza e direzione. Un vettore zero, O, è definito come un vettore di grendezza zero sicché può essere rappresentato da un punto. |a|=0 se, e solo se, a=0. Il vettore zero può essere ritenuto di essere orientato in tutte le direzioni cosicché da risultare sia parallelo sia normale a qualsiasi altro vettore.
Somma e differenza di vettori.
Con ogni due vettori a e b è associato un terzo vettore c=a+b, chiamato somma di a e b, che è definito nel modo seguente; Si scelga un punto iniziale P ovunque nello spazio e rappresentiamo a e b tramite PQ=a e QR=b; allora c è definito come vettore c' rappresentato da PR. c può essere pensato come il terzo lato del triangolo del quale PQ e PR ne sono due lati, oppure la diagonale del parallelogrammo di cui PQ e QR ne sono due lati non paralleli. Il procedimento per ottenere c e chiamato addizione.
La differenza di due vattori a e b è definita come il vettore c che soddisfa la relazione b +c=a. Il processo per trovare c è denominato sottrazione.
L'addizione e la sottrazione di vettori obbediscono alle seguenti leggi:



se, e solamente se,
,
- |

Prodotti.
1. Prodotto di uno scalare per un vettore. Se h è uno scalare e
è un vettore, allora
è definito come il vettore di modulo
la cui direzione è la medesima od
opposta alla direzione di
secondo che h sia positivo o negativo.
Il prodotto di uno scalare per un vettore obbedisce le seguenti leggi


2. Prodotto scalare e vettoriale di due vettori. Sia
l'angolo minore dei due angoli tra
e
, in cui O è un qualsiasi punto dello spazio e
. Il prodotto scalare di
e
rappresentato da
, è definito come lo scalare
. La quantità
è la componente di
su
(
su
) ed è rappresentata da
(
).
misura la lunghezza della proiezione di
sulla direzione di
.
Il prodotto scalare obbedisce alle seguenti leggi



Il prodotto scalare
se
o
o
. Poiché il vettore zero è considerato perpendicolare ad ogni altro vettore
se, e solamente se,
è perpendicolare a
.
Sistema di coordinate rettangolari destro. Un sistema di coordinate rettangolari a tre dimensioni con assi x,y e z è detto destro se le direzioni positive di x, y e zsono scelte cosicché una vite destra avanza lungo l'asse z positivo quando, datole un giro di 90°, ruoti l'asse positivo x sull'asse positivo y. Siano i,j e k dei vettori unitari, versori fondamentali, scaturenti dall'origine e diretti rispettivamente lungo gli assi positivi x,y e z. i, j e k soddisfano le relazioni
e
.
Per qualsiasi vettore
si scriva
,
,
sono le componenti cartesiane di
sugli assi coordinati. Pertanto
. I vettori
e
soddisfano le relazioni


, 
, 

3. Il prodotto vettoriale di due vettori
e
, presi in tale ordine, è un terzo vettore
, indicato da
, e definito nel modo che segue:
e
siano rappresentati rispettivamente da
e
e
sia l'angolo minore dei due angoli da
cosicché
. Allora
è il vettore di grandezza
che è perpendicolare al piano di
e
orientato nella direzione in cui una vite destra avanza quando sia ruotata di un angolo
da
verso
.
Il prodotto vettoriale ubbidisce alle leggi



I versori fondamentali i, j e k soddisfano le relazioni


4.
definisce il prodotto scalare triplo di tre vettori nell'ordine
. Le
parentesi non sono necessarie attorno a
in
perché
è senza significato, essendo il prodotto vettoriale definito solamente per due vettori, laddove
è uno scalare.
Il prodotto scalare triplo ubbidisce alle regole

se e soltanto se
possono essere rapprresentati con segmenti di linea orientati complanari.


Conformemente all'ultimo set di relazioni, il prodotto scalare triplo di
dipende solamente dall'ordine in cui i vettori si trovano. Nondimeno, se l'ordine ciclico viene trasformato in, diciamo,
allora
.
5. I prodotti vettoriali tripli di
, in tale ordine, sono
e
.
Questi prodotti soddisfano le identità


Derivata di un vettore
Se
è un vettore definito per ogni t di un intervallo
, allora
è un vettore funzione di t in detto intervallo. La derivata di
rispetto al tempo è definita come

se il limite esiste.
La derivazione ubbidisce alle seguenti regole





- dove f è una funzione scalare di t.
Campi scalare e vettoriale, Gradiente, Divergenza, Rotore
Se in ciascun punto di una porzione S di spazio è assegnato un vettore applicato
[scalare f=f(x,y,z}, si dice allora che un campo vettoriale (scalare) è definito in S.Lasciamo
rappresentare l'operatore differenziale vettoriale
; allora,(ammettendo che tutte le derivate parziali esistano) il gradiente, la divergenza e il rotoresono definiti ed espressi in termini di
come segue:
Il gradiente di una funzione scalare
in un campo scalare è definito con la relazione

La divergenza di un vettore
in un camap vettoriale è definita dalla relazione

Il rotore di un vettore
in un campo vettoriale è definito dalla relazione
