Fisica per le superiori/Il campo di dipolo dell'He+

Un esercizio interessante, sotto il profilo didattico, di rappresentazione di cariche elettriche, è quello di un “dipolo carico” costituito da due cariche elettriche con somma algebrica diversa da zero. Un atomo di elio ionizzato è un buon esempio di un simile sistema, perché è composto da un nucleo con carica doppia dell’elettrone. Un altro sistema, che tratteremo separatamente, potrebbe essere quello di nucleo di elio, che possiamo semplificare come una coppia di cariche di segno uguale.

Se disegniamo il campo elettrico dell’atomo di He+, dobbiamo prima di tutto preparare un numero di linee di campo uscenti radialmente dal nucleo doppio rispetto alle linee uscenti radialmente dall’elettrone. Così, se collochiamo il protone da un lato del foglio, la metà delle linee di campo che esce dal lato opposto sarà destinata a finire sull’elettrone, mentre la seconda metà sarà destinata a distendersi verso l’infinito.

Cerchiamo ora di ragionare sul modo corretto in cui queste cariche si dirigeranno all’infinito. In prima ipotesi, si potrebbe immaginare che debbano rimanere costantemente sul lato della carica positiva da cui sono partite. Non è così. Immaginiamo, infatti, di valutare il campo elettrico a grande distanza dal nostro atomo eccitato. In questo caso la differenza tra le distanze dei due centri di carichi avrà poco peso sull’intensità dei rispettivi contributi al campo elettrico totale. Siccome la carica elettrica positiva è doppia di quella negativa, ne deduciamo che il campo elettrico di un atomo polarizzato, a grande distanza, è molto simile al campo elettrico di una carica singola, di intensità uguale alla somma algebrica delle cariche in gioco nel sistema.

Ma il campo elettrico di una singola carica possiede una simmetria radiale. Questo significa che le linee di campo uscenti dal nucleo e destinate all’infinito non possono rimanere nella metà di piano in cui hanno avuto origine ma devono divergere in modo uniforme nello spazio. Una metà di esse (che è un quarto del totale), di conseguenza, deve necessariamente curvare sul lato della carica negativa formando una traiettoria ondulata che la porterà, in una prima fase, ad allontanarsi dalla carica di maggiore intensità assoluta, poi ad aggirare la carica di intensità minore, a riavvicinarsi per un po’ all’asse di simmetria e finalmente a dirigersi verso l’infinito.

Osserviamo allora sul comportamento di queste linee di campo elettrico in prossimità dell’asse di simmetria, dal lato della carica di minore intensità. Possiamo constatare che si genera una zona di bassa densità di linee di campo. In effetti, in quella zona, esiste un punto dell’asse di simmetria nel quale il campo elettrico risulta esattamente nullo. Consideriamo infatti i contributi al campo elettrico generati dalle due cariche del sistema. La carica maggiore è più lontana, ma più intensa. Quella minore è più vicina ma meno intensa. I due campi elettrici si sovrappongono in modo distruttivo. Dunque il risultato della somma è indeterminato. Quando la somma di due quantità variabili risulta indeterminata, è necessario che esistano alcuni punti in cui la somma algebrica assume valore positivo e alcuni punti in cui la somma assume valore negativo. Esisterà inoltre un punto preciso nel quale i contributi dei due campi elettrici si faranno equilibrio in modo esatto. Cerchiamolo:

$E_{+}=K{\frac {2e}{(r+d)^{2}}}$

$E_{-}=K{\frac {e}{(r-d)^{2}}}$

$E_{tot}=E_{-}-E_{+}=Ke({\frac {1}{(r-d)^{2}}}-{\frac {2}{(r+d)^{2}}})$

$E_{tot}=0$ se: $r^{2}-6rd+d^{2}=0$

Da questa equazione si ricavano due soluzioni matematiche.

$E_{1,2}=(3\pm 2{\sqrt {2}})d$

In realtà noi ce se saremmo attesa una soltanto. Verifichiamo allora la zona dell’asse in cui si trovano le due soluzioni. In particolare, quella con il segno meno si trova nel mezzo tra le due cariche della distribuzione. Ma quella è una zona in cui i contributi del campo elettrico si sovrappongono in modo costruttivo e non in modo distruttivo, come avrebbe voluto la matematica da cui è stata ricavata l’equazioni. Possiamo concludere allora che solamente una è la soluzione con valore fisico:

$E_{1,2}=(3+2{\sqrt {2}})d$