Algebra lineare e geometria analitica/Spazi vettoriali

La geometria ha come radice etimologica due parole greche che significano misura della terra. Trattare tutto il corpus su questa materia sarebbe un'impresa troppo vasta per qualsiasi progetto, non fosse altro per il fatto che la sua storia non spesso è lineare, ma anzi si articola in modo curvilineo avanti ed indietro per i secoli. In questo libro presenteremo la geometria come viene approcciata principalmente nell'era moderna, e ci occuperemo di dare alla trattazione il rigore e la precisione richiesti dalla materia.

In questa prima parte si descriveranno gli spazi vettoriali e, per farlo in maniera precisa e dettagliata, verranno innanzitutto richiamati alcuni concetti algebrici di base, nonché alcune proprietà elementari di insiemi e numeri reali. Si passerà in seguito ad un'analisi delle matrici e delle loro proprietà, concetti motivati dallo studio dei sistemi lineari. infine si affronterà la formalizzazione del concetto di Spazio vettoriale e della sua ricca struttura.

Introduzione storica

Dagli Elementi a Cartesio

L'inizio della geometria come scienza rigorosa e precisa si può far risalire in maniera netta al corpus di tomi scritti da Euclide e denominati Elementi. In questi scritti, per la prima volta, si cercava di fondare tutta la teoria e i risultati geometrici noti al tempo su degli assiomi e postulati "naturali" e su deduzioni logiche e razionali che discendevano esclusivamente da queste nozioni. In effetti è ormai noto come molte delle proposizioni e dei teoremi dimostrati dal matematico di Alessandria non discendano unicamente dai suoi assiomi e dai suoi postulati. Tuttavia è fuori dubbio come l'influenza che gli Elementi hanno avuto sul pensiero geometrico, e più in generale matematico, sia stata imponente e fondamentale.

Esempio di coordinate in geometria analitica

Lo sviluppo che tutte le scienze matematiche hanno avuto nel Rinascimento e nei secoli immediatamente successivi aveva portato la geometria a confrontarsi con materie quali l'algebra e l'analisi. Ma come accade spesso in matematica, la sintesi tra varie discipline portò estremi vantaggi ad entrambe. Fu così che René Descartes, in Italia noto sotto il nome di Cartesio, sviluppò quella che prese il nome di geometria analitica. Secondo la leggenda l'idea gli venne dall'osservazione delle evoluzioni di una mosca nell'aria, mentre Cartesio riposava senza riuscire a prendere sonno. Qualunque sia la vera nascita di questo ramo della matematica è innegabile come abbia portato nuovi stimoli e nuovi mezzi per comprendere meglio la Geometria.

L'idea di fondo era semplice quanto geniale. Se nella geometria euclidea le forme e gli enti geometrici erano descritti attraverso le loro proprietà intrinseche, mancava tuttavia un loro preciso inserimento nello spazio che li conteneva. Cartesio si servì di un sistema di riferimento ortogonale, ovvero di due rette perpendicolari che si incontravano in un punto speciale detto origine per assegnare ad ogni punto delle coordinate, che altro non erano che la misura del segmento della retta perpendicolare ad un asse passante per il punto, con estremi il punto stesso e il punto di intersezione.

In particolare, il vantaggio più grande che una tale nuova metodologia possedeva, era la possibilità di definire delle operazioni tra gli enti geometrici, e caratterizzare in modo algebrico e analitico i concetti di retta, conica, tangente ecc. Da quel momento in poi una retta sarebbe stata identificata da un polinomio di primo grado in due indeterminate i cui zeri erano appunto i punti che formavano una retta, una conica da un polinomio di secondo grado, e via di seguito. Per circa duecento anni questa trattazione portò a risultati importanti a tutte le discipline maggiori, restando il principale mezzo di studio della geometria.

Il XIX secolo e i vettori

All'inizio del 1800 serpeggiava nel mondo matematico una certa "scontentezza" riguardo al sistema analitico introdotto da Cartesio. Molti matematici cercavano una via principalmente geometrica, e in particolare libera dal concetto di coordinata, per studiare le forme. In particolare cominciavano a nascere i germi del concetto di vettore. In seguito saremo più dettagliati e precisi riguardo a questo concetto, ma in questa sezione, renderemo conto dell'innovazione che questo nuovo concetto ha portato nel mondo geometrico, nonché in quello matematico e fisico.

Se si pensa ad un triangolo "reale", formato da tre sbarre incernierate tra loro, e ai cui vertici siano attaccati dei pesi, si può capire come lo spazio cartesiano offra delle difficoltà nella modellizzazione di questo semplice sistema. Infatti dovremmo poter associare a ogni singolo punto di vertice, anche una quantità numerica, ovvero la misura del peso. In secondo luogo il sistema che descriveremo sarebbe, a priori, legato alle coordinate che scieglieremo di assegnare ai vertici, mentre è ovvio come lo stesso sistema traslato possieda le stesse identiche caratteristiche di quello di partenza.

Da queste e altre considerazioni, fatte da eminenti scienziati del calibro di Bolzano, Mœbius, Hamilton,Cayley, fino ad arrivare a Grassman e Peano, portarono alla formalizzazione del concetto di spazio vettoriale come lo intendiamo oggi, nonché alla base dell'algebra matriciale. Tutte queste innovazioni permettono uno studio accurato e preciso, ma anche immediato e "naturale" di molte forme geometriche, come vedremo in seguito.

Per addentrarsi ora nei dettagli, abbiamo bisogno di richiamare alcune notazioni e concetti basilari.