Algebra lineare e geometria analitica/Matrici

StoriaModifica

Il concetto di matrice, o semplicemente di "tabella di numeri" ha origini molto antiche, se intesa in senso lato, Con questo vogliamo dire che, fino a metà del 1800, non è mai stata formalizzata l'idea moderna di matrice, tuttavia si sono usati gli stessi metodi e le stesse espressioni che la descrivono implicitamente.

Citiamo come curiosità che un esempio antico di matrice può essere ricondotto fino a prima di Cristo, in un libro cinese denominato Jiuzhang suanshu (che si potrebbe tradurre come Nove capitoli sull'arte matematica). In quel testo l'autore analizza un problema che oggi formalizzeremo come un sistema lineare di tre equazioni in tre incognite ed estrapola i coefficienti di tali equazioni in una tabella, che non è nient'altro che una antica parente della matrice dei coefficienti.

L'esempio appena riportato non ha solo carattere nozionistico, ma mostra come il concetto e l'uso di matrici sia molto naturale nell'analisi di problemi, anche pratici, modellati con sistemi di equazioni lineari.

MatriciModifica

Definizione

Dati  ,  , una matrice   a coefficienti in   è una tabella   del seguente tipo:

 

con   per   e  .

Righe e ColonneModifica

Data una matrice     possiamo definire:

  • righe di  : sono le seguenti matrici  

 

  • colonne di  : sono le seguenti matrici  

 

Rappresentazione e componentiModifica

Possiamo rappresentare la matrice   mettendo in evidenza le sue righe o le sue colonne, ovvero possiamo scrivere

 

Per indicare   useremo anche la notazione

 

Infine per indicare la componente  -esima di   useremo la notazione  . Osserviamo che due matrici si diranno uguali se coincidono in tutte le loro componenti.

EsempioModifica

Sia

 

Allora   è una matrice   e le sue righe e colonne sono

 

 

Le componenti di   sono:

 

Quindi   può essere scritta come:

 

Insiemi di MatriciModifica

Definizione

Dati   con   indicheremo con   l'insieme di tutte le matrici   a coefficienti in  , e con   tutte le matrici   a coefficienti in  , ovvero:

 

 

Chiameremo le matrici di   matrici quadrate.

Ad esempio, per definizione di matrice associata ad un sistema lineare, si ha che, se   è un sistema lineare con   equazioni e   incognite, allora  .

Praticamente si consideri il seguenti sistema:

 

allora per definizione di matrice associata al sistema si ha che