Determinare se esiste una applicazione lineare
tale che
![{\displaystyle f\left({\begin{matrix}1\\0\\1\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}2\\1\\2\end{matrix}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d326f761440601fcabb538e3ccac1e3214e7fdf)
![{\displaystyle f\left({\begin{matrix}1\\1\\1\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}0\\0\\1\end{matrix}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b88edd1a7063d9005b5f80e367880bdc482fd0f)
![{\displaystyle f\left({\begin{matrix}2\\1\\2\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}3\\1\\3\end{matrix}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e52d3c062fe18eb8ebf4474ee200a73cef4bb52)
Si trova che i tre vettori del dominio sono linearmente dipendenti:
![{\displaystyle \left({\begin{matrix}1\\0\\1\end{matrix}}\right)+\left({\begin{matrix}1\\1\\1\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}2\\1\\2\end{matrix}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5808ea6119c4391b287e472cf55ca18a44e6ca9a)
essendo l'applicazione f lineare si avra' (proprieta' additiva delle applicazioni lineari):
![{\displaystyle f\left({\begin{matrix}2\\1\\2\end{matrix}}\right)=f\left({\begin{matrix}1\\0\\1\end{matrix}}\right)+f\left({\begin{matrix}1\\1\\1\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}2\\1\\2\end{matrix}}\right)+\left({\begin{matrix}0\\0\\1\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}2\\1\\3\end{matrix}}\right)\neq \left({\begin{matrix}3\\1\\3\end{matrix}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca603f6b6b2f1fd242d2cb31029a1bb216255897)
il che è una contraddizione. Si conclude che non esiste tale applicazione lineare.
Proviamo a cambiare le condizioni iniziali del problema precedente:
![{\displaystyle f\left({\begin{matrix}1\\0\\1\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}2\\1\\2\end{matrix}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d326f761440601fcabb538e3ccac1e3214e7fdf)
![{\displaystyle f\left({\begin{matrix}1\\1\\1\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}0\\0\\1\end{matrix}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b88edd1a7063d9005b5f80e367880bdc482fd0f)
![{\displaystyle f\left({\begin{matrix}2\\1\\2\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}2\\1\\3\end{matrix}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f43c34d6ab5a2f472eb128f01ba3c2da642b947a)
Completiamo ad una base di R3 due qualsiasi dei vettori del dominio di f aggiungendo un vettore linearmente indipendente:
![{\displaystyle {\mathcal {B}}=\left\{\left({\begin{matrix}1\\0\\1\end{matrix}}\right),\left({\begin{matrix}1\\1\\1\end{matrix}}\right),\left({\begin{matrix}1\\0\\0\end{matrix}}\right)\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/210043b71912809b27b2aa67bbfdf05205d9260e)
ponendo:
![{\displaystyle f\left({\begin{matrix}1\\0\\0\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}a\\b\\c\end{matrix}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49a08eb17711749e76cef91795c0b54506d695cd)
![{\displaystyle v=\alpha \left({\begin{matrix}1\\0\\1\end{matrix}}\right)+\beta \left({\begin{matrix}1\\1\\1\end{matrix}}\right)+\gamma \left({\begin{matrix}1\\0\\0\end{matrix}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c97fa32057903c2d7294c9b45a2cab0a27b7fd58)
COMPLETARE
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Costruire f lineare tale che f (U) = U1 e f (W) = W1.