Algebra lineare e geometria analitica/Sistemi lineari

Definizioni

Definizione

Dati $m,n\in \mathbb {N}$, $m,n\geq 1$ un sistema lineare ${\mathcal {L}}$ a coefficienti in $\mathbb {R}$, con $m$ equazioni e $n$ incognite, è una collezione di $m$ equazioni di primo grado del seguente tipo

${\begin{cases}&a_{1,1}x_{1}+\dots +a_{1,n}x_{n}=b_{1}\\&a_{2,1}x_{1}+\dots +a_{2,n}x_{n}=b_{2}\\&\qquad \vdots \\&a_{m,1}x_{1}+\dots +a_{m,n}x_{n}=b_{n}\end{cases}}$

dove $a_{i,j}\in \mathbb {R}$ sono i coefficienti di ${\mathcal {L}}$, $b_{i}$ sono i termini noti e $x_{1},\dots ,x_{n}$ sono le incognite

Dato un sistema lineare${\mathcal {L}}$ le sue soluzioni sono il sottoinsieme $Sol({\mathcal {L}})$ di $\mathbb {R} ^{n}$ formato da tutte le $n$-ple ordinate $(x_{1},\dots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$ che verificano tutte le $m$ equazioni. Sinteticamente possiamo scrivere

$Sol({\mathcal {L}}):=\{(x_{1},\dots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}\mid \sum _{j=1}^{n}a_{i,j}x_{j}=b_{i}\ \ \forall i=1,\dots ,m\}$

Esempi

Analizziamo per esempio il seguente sistema.

${\begin{cases}3x+4y-2z+3t=23\\4x+y=0\\3z+3t=y-x\end{cases}}\quad \quad$

Esso è un sistema lineare con 3 equazioni e 4 incognite (ovvero $x,y,z,t$). In questo caso i coefficienti sono:

$a_{1,1}=3\qquad a_{1,2}=4\qquad a_{1,3}=-2\qquad a_{1,4}=3\qquad b_{1}=23$

$a_{2,1}=4\qquad a_{2,2}=1\qquad a_{1,3}=0\qquad \ \ \,a_{2,4}=0\qquad b_{2}=0$

$a_{3,1}=1\qquad a_{3,2}=-1\qquad a_{3,3}=3\qquad a_{3,4}=3\qquad b_{3}=0$

Si osservi come i coefficienti dell'ultima riga sono stati trovati dopo aver portato a primo membro tutte le incognite dell'equazione.

Vediamo ora un altro esempio

${\begin{cases}4x+y=-35\\y^{2}-1={\frac {2}{3}}\end{cases}}$

In questo caso il sistema non è un sistema lineare, infatti la seconda equazione non è lineare, essendo di secondo grado.

Esistono vari modi per risolvere i sistemi lineari. È possibile ad esempio esplicitare una variabile da un'equazione e sostituire ciò che si è trovato nelle altre, e riapplicare il procedimento fino ad ottenere un'equazione in un'incognita risolvibile classicamente; oppure si può "ridurre" più equazioni ad un'unica eliminando appropriatamente alcune variabili. Nella trattazione successiva non ci fermeremo a richiamare questi metodi, ma analizzeremo un caso particolare per poi astrarre il procedimento ed arrivare alla definizione di matrice.

Sistemi omogenei

Consideriamo ora il seguente sistema lineare a coefficienti reali, con due equazioni e due incognite.

${\begin{cases}ax+by=0\\cx+dy=0\end{cases}}$

Preliminariamente osserviamo che tutti i termini noti del sistema sono nulli. Quando succede questo il sistema si dice omogeneo. È facile vedere come in ogni sistema omogeneo possiamo trovare immediatamente una soluzione, detta soluzione banale, ponendo tutte le incognite uguali a zero.

Vogliamo ora discutere dell'esistenza di una soluzione, che sarà un vettore di $\mathbb {R} ^{2}$. È ovvio come il vettore nullo sia banalmente una soluzione, essendo il nostro un sistema omogeneo. La domanda che ci poniamo è: esistono soluzioni non banali del nostro sistema?

Osserviamo come ogni singola equazione rappresenta una retta nel piano reale (definizione di retta in geometria analitica). Una soluzione, come noto, non è nient'altro che un punto di intersezione delle due rette. Ma per quanto appena detto sappiamo che esiste la soluzione banale, che è dunque un punto di entrambe le rette. In altri termini entrambe le rette passano per l'origine del piano cartesiano. Allora, se esistesse un altro punto di intersezione, poiché per due punti passa un'unica retta, avremmo che le due rette sarebbero coincidenti.

Abbiamo quindi mostrato che se tutti i termini noti sono nulli, e il numero di incognite e uguale al numero di equazioni, esiste sempre una soluzione che è quella banale. Se ne esiste un'altra allora ne esistono infinite, precisamente tutti i punti della retta.

Possiamo esprimere tutti questi concetti usando i dati numerici del nostro sistema? Sappiamo che un generico sistema lineare a due incognite con due equazioni è della forma

${\begin{cases}ax+by=e\\cx+dy=f\end{cases}}$

Si è appena visto come se $e=f=0$, cioè se il sistema è omogeneo, la soluzione banale è soluzione del sistema. Inoltre sappiamo che, di soluzioni non banali, o ne esistono infinite o non ne esiste nessuna. Se ne esistono infinite vuol dire che le due rette sono coincidenti. In particolare si avrà che $a=c$ e $b=d$. Quindi possiamo riassumere che, nel caso i termini noti siano nulli si hanno infinite soluzioni se e solo se $a=c\wedge b=d$. Altrimenti c'è un'unica soluzione che è quella banale.

L'importanza dei coefficienti

Si è visto nel paragrafo precedente come sia possibile evidenziare le possibilità che si presentano nello studio di un sistema lineare esclusivamente attraverso i coefficienti che vi compaiono. Questa idea sta alla base del concetto di matrice. L'idea è che se la cosa importante in fondo sono i coefficienti e i termini noti allora per lo studio delle soluzioni sarebbe importante isolare la parte dei coefficienti da quella delle incognite e studiare solo i primi.

Il concetto non è dunque così complicato. Tuttavia per una trattazione omogenea e rigorosa è necessario prestare molta attenzione alle definizioni e al formalismo che sarà introdotto nella prossima sezione. Infatti ci si troverà di fronte ad oggetti prettamente astratti di cui, a priori, non si vede il significato reale. Tenendo presente l'esempio precedente sarà tuttavia più facile farsi un'idea delle varie modalità e di nuovi enti che saranno presentati