Algebra lineare e geometria analitica/Concetti di base e notazioni

Verranno ora elencate tutte le convenzioni di notazione e i basilari concetti matematici fondamentali per tutta la trattazione successiva. Se il lettore si sente già padrone delle seguenti definizioni e notazioni può passare direttamente al paragrafo successivo.

Operatori logici fondamentali

Date due proposizioni $p$ e $q$ (ovvero delle frasi di cui si possibile senza ambiguità decidere se esse sono vere e false; negli esempi seguenti per chiarirsi le idee si pensi a p come alla proposizione fuori piove e a q come la proposizione ieri pioveva) sono definiti i seguenti simboli per gli operatori logici relazionali:

• Il simbolo $\wedge$ indica e; ad esempio la formula $p\wedge q$ significa "p e q ";

• Il simbolo $\vee$ indica o; ad esempio la formula $p\vee q$ significa "p o q ";

• Il simbolo $\Rightarrow$ indica se...allora...; ad esempio la formula $p\Rightarrow q$ significa "Se p allora q ";

• Il simbolo $\iff$ indica se e soltanto se; ad esempio la formula $p\iff q$ significa "p se e soltanto se q ";

Allo stesso modo possiamo definire i seguenti simboli per i quantificatori logici universali (si pensi ora a p(x) come alla proposizione x è un numero primo):

• Il simbolo $\forall$ indica per ogni; ad esempio la formula $\forall x\ p(x)$ significa "per ogni x, p(x) ";

• Il simbolo $\exists$ indica esiste; ad esempio la formula $\exists x\ p(x)$ significa "esiste x, p(x) ";

Con questi simboli è possibile formalizzare qualsiasi affermazione di tipo logico su due proposizioni generiche. Noi utilizzeremo questo linguaggio applicato ad enti matematici ben definiti. Vediamo alcune altre notazioni di base.

A volte con " : " o con " | " staremo ad indicare tale che (anche se spesso sarà chiaro dal contesto), con " ! " indicheremo unico mentre con " A:=B " indicheremo il fatto che A è difinito a partire da B.

Insiemi

La parola insieme va intesa nel significato intuitivo di collezione di oggetti chiamati i suoi elementi. In generale gli insiemi verranno indicati con lettere maiuscole, gli elementi con lettere minuscole.

• $\in$ indica appartiene;
• $\notin$ indica non appartiene;

Se $x$ è un oggetto ed $A$ un insieme scriveremo $x\in A$ per indicare che x è un oggetto dell'insieme A, e $x\notin A$ per indicare che x non è un oggetto di A.

Quando un insieme sarà rappresentato dai suoi elementi scriveremo tale insieme come l'elenco di tali elementi contenuti tra parentesi graffe: ad esempio l'insieme i cui elementi sono $a,b,c,\dots$ si indicherà con $\{a,b,c\dots \}$.

• Se $A,B$ sono due insiemi, la notazione $A\subseteq B$, oppure $B\supseteq A$, significa che ogni elemento che appartiene ad $A$ appartiene a $B$. In questo caso diremo che $A$ è un sottoinsieme di $B$. Avremmo allora che $A$ è sottoinsieme di $B$ se e soltanto se vale la seguente proprietà (scritta utilizzando le notazioni precedenti)

$\forall x,\ x\in A\Rightarrow x\in B$

• Se $A,B$ sono due insiemi, la notazione $A\nsubseteq B$, oppure $B\nsupseteq A$, significa che è falso che $A\subseteq B$, ovvero che

$\exists x,\ x\in A:x\notin B$

• Sa $A,B$ sono due insiemi, la notazione $A=B$ significa che valgono $A\subseteq B$ e $B\subseteq A$, cioè

$\forall x,\ x\in A\iff x\in B$

• Se $A$ è un insieme e $p$ un enunciato che è vero o falso per gli elementi di $A$, indicheremo con $\{x\in A:p(x)\}$ il sottoinsieme di $A$ formato dalgi oggetti di $A$ per cui è vero l'enunciato $p$.

• Se $A,B$ sono due insiemi, indicheremo con $A\cap B$ l'insieme formato da tutti gli elementi che stanno sia in $A$ che in $B$ e lo chiameremo la loro intersezione :

$A\cap B:=\{x:x\in A\wedge x\in B\}$

• Se $A,B$ sono due insiemi, indicheremo con $A\cup B$ l'insieme formato da tutti gli elementi che stanno in $A$ oppure in $B$ e lo chiameremo la loro unione :

$A\cup B:=\{x:x\in A\vee x\in B\}$

• Indicheremo con $\emptyset$ l'insieme che non contiene nessun elemento.

• Se $A$ è un insieme e $B\subseteq A$ indicheremo $B^{C}$ o equivalentemente con $A\setminus B$ l'insieme degli elementi di $A$ che non appartengono a $B$ e lo chiameremo il complementare di $B$ in $A$.

$B^{C}=A\setminus B:=\{x:x\in A\wedge x\notin B\}$

• Se $A,B$ sono due insiemi, indicheremo con $A\times B$ l'insieme formato da tutte le coppie ordinate il cui primo elemento è un elemento di $A$ ed il secondo elemento è un elemento di $B$, e lo chiameremo il loro prodotto cartesiamo :

$A\times B:=\{(a,b):a\in A\wedge b\in B\}$

• Il prodotto cartesiano può essere definito per qualsiasi numero $n\in \mathbb {N}$ di insiemi, come l'insieme delle $n$-ple ordinate in cui tutti gli elementi stanno rispettivamente negli insiemi di partenza:

$A_{1}\times A_{2}\times \dots \times A_{n}:=\{(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}):a_{1}\in A_{i}\ \forall i=1,\dots ,n\}$

• Se $A$ è un insieme e $n\in \mathbb {N}$, la notazione $A^{n}$ indicherà il prodotto cartesiano di $A$ con sé stesso per $n$ volte.

Funzioni

• Se $A,B$ sono due insiemi, una funzione da $A$ in $B$ è una legge che associa ad ogni elemento $x\in A$ uno ed un solo elemento di $B$ che indicheremo con $f(x)$. Indicheremo con $f:A\to B$ la funzione e chiameremo $A$ il dominio e $B$ il codomino di $f$.

• Se $x\in A$ e $y\in B$ la notazione $x\mapsto y$ sottointenderà che $f(x)=y$, cioè $y$ è l'unico elemento di $B$ a cui è associato $x$ tramite $f$ (si dirà che $y$ è l'immagine di $x$ tramite $f$).

• Date due funzioni $f:A\to B$ e $g:A\to B$ porremo

$f=g\iff f(x)=g(x)\ \forall x\in A$

Data una funzione $f:A\to B$ diremo che $f$ è:

• • iniettiva se $\forall x,y\in A,\ x\neq y\Rightarrow f(x)\neq f(y)$;
  • suriettiva se $\forall y\in B,\ \exists x\in A:f(x)=y$;
  • biettiva se è sia iniettiva che suriettiva.

Operazioni binarie interne

Innanzitutto, definiamo cosa si intende per operazione: dato un insieme non vuoto $A$, una operazione o legge di composizione interna è una funzione da $A^{n}$ ad $A$ (in cui con $A^{n}$ si intende il prodotto cartesiano di $A$ con se stesso $n$ volte); in questo caso, si dice che l'operazione è $n$-aria p di varietà $n$, intendendo che opera su $n$ elementi di $A$ restituendo l'elemento di $A$ ad essi associato. Solitamente, si trattano operazioni binarie (cioè operazioni in cui $n=2$), ternarie (cioè operazioni in cui $n=3$), unarie (cioè operazioni in cui $n=1$), zerarie o nullarie (cioè operazioni in cui $n=0$, che equivalgono a fissare un elemento di $A$, per esempio nella definizione moderna di gruppo). Le operazioni sono solitamente indicate con simboli quali $+,\cdot ,*,\circ ,\bullet ,\star ,\times ,\oplus ,\otimes ,\dagger$ eccetera. Si usa spesso, al posto della notazione prefissa tipica delle funzioni ($+(\langle a,b\rangle )$) la notazione infissa ($a+b$) o quella postfissa o suffissa ($(\langle a,b\rangle )+$).

Dato un linguaggio ${\mathfrak {F}}$ e un insieme $A\neq \emptyset$, definiamo algebra $\mathbf {A}$ di tipo ${\mathfrak {F}}$ una coppia ordinata $\langle A,F\rangle$, con $F$ insieme di funzioni finitarie indicizzate (o non indicizzate) in modo tale che per ogni simbolo $f$ di operazione $n$-aria in ${\mathfrak {F}}$ corrisponda una operazione $n$-aria $f_{A}$ in $A$; le operazioni di $F$ si dicono fondamentali. Se $F$ è finito, si scrive $\langle A,f_{1},f_{2},\ldots ,f_{n}\rangle$, con la convenzione di elencare le operazioni fondamentali per arietà decrescente.

Definiamo quindi, a partire da questa, le strutture algebriche elementari, indicando l'arietà dell'operazione o delle operazioni e le proprietà da esse verificate.

Classificazione

In particolare, consideriamo ora operazioni binarie.

1. Un'operazione binaria (che chiamiamo per esempio $*$) si dice:
   • associativa se si ha l'uguaglianza $(a*b)*c=a*(b*c)$ per ogni $a,b,c\in A$;
   • commutativa se $a*b=b*a$ per ogni $a,b\in A$;
   • mediale se $(a*b)*(c*d)=(a*c)*(b*d)$ per ogni $a,b,c,d\in A$;
   • commutativa a sinistra se $a*(b*c)=a*(c*b)$ per ogni $a,b,c\in A$;
   • commutativa a destra se $(a*b)*c=(b*a)*c$ per ogni $a,b,c\in A$;
   • autodistributiva a sinistra se $a*(b*c)=(a*b)*(a*c)$ per ogni $a,b,c\in A$;
   • autodistributiva a destra se $(a*b)*c=(a*c)*(b*c)$ per ogni $a,b,c\in A$.
2. Inoltre, se sono date due operazioni $+,\cdot$, definiamo:
   • $\cdot$ distributiva a $+$ a sinistra se $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ per ogni $a,b,c\in A$;
   • $\cdot$ distributiva a $+$ a destra se $(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$ per ogni $a,b,c\in A$.
3. Diciamo che un elemento $a\in A$ rispetto all'operazione $\dagger$ è:
   • idempotente se $a\dagger a=a$ (dove possiamo scrivere $a\dagger a$ più sinteticamente come $a^{2}$);
   • neutro a sinistra se $a\dagger c=c,\forall c\in A$;
   • neutro a destra se $c\dagger a=c,\forall c\in A$;
   • neutro se è neutro sia sinistro che destro, ovvero se $a\dagger c=c\dagger a=c,\forall c\in A$;
   • zero (assorbente) a sinistra se $a\dagger c=a,\forall c\in A$;
   • zero (assorbente) a destra se $c\dagger a=a,\forall c\in A$;
   • zero (assorbente) se è zero sia sinistro che destro, ovvero se $a\dagger c=c\dagger a=c,\forall a\in A$;
   • divisore dello zero a sinistra se, nell'ipotesi che esista lo zero ($0$) in $A$ e che $a\neq 0$, si ha che $\exists b\in A\setminus \{0\}:a\dagger b=0$;
   • divisore dello zero a destra se, nell'ipotesi che esista lo zero ($0$) in $A$ e che $a\neq 0$, si ha che $\exists b\in A\setminus \{0\}:b\dagger a=0$;
   • invertibile (simmetrizzabile) a sinistra se $\exists a'\in A:\forall x\in A,a'\dagger (a\dagger x)=x$, e in questo caso si dice che $a'$ è un inverso sinistro o un simmetrico sinistro di $a$; se inoltre vale la proprietà associativa ed esiste in $A$ l'unità $u$, allora $a$ si definisce invertibile a sinistra se $\exists a'\in A:a'\dagger a=u$;
   • invertibile (simmetrizzabile) a destra se $\exists a'\in A:\forall x\in A,(x\dagger a)\dagger a'=x$, e in questo caso si dice che $a'$ è un inverso destro o un simmetrico destro di $a$; se inoltre vale la proprietà associativa ed esiste in $A$ l'unità $u$, allora $a$ si definisce invertibile a destra se $\exists a'\in A:a\dagger a'=u$;
   • invertibile (simmetrizzabile) se è invertibile sia a sinistra che a destra, ovvero se $\exists a'\in A:\forall x\in A,a'\dagger (a\dagger x)=(x\dagger a)\dagger a'=x$, e in questo caso si dice che $a'$ è l' inverso o il simmetrico di $a$; se inoltre vale la proprietà associativa ed esiste in $A$ l'unità $u$, allora $a$ si definisce invertibile se $\exists a'\in A:a'\dagger a=a'\dagger a=u$.

Strutture algebriche fondamentali

Per poter affrontare i concetti di spazio vettoriale e molte delle sue proprietà è necessario essere in possesso di alcune definizioni di base di teoria dei gruppi e dei campi. Per struttura intendiamo un insieme su cui sia definita un'ulteriore relazione o operazione chiusa rispetto all'insieme, nel senso che applicata ad elementi dell'insieme risulti ancora definito il suo "risultato" come un elemento dello stesso insieme. La struttura più semplice che incontreremo ora è quella di Gruppo.

Gruppo

La base del concetto di gruppo è un insieme su cui sia definita una operazione interna all'insieme con delle proprietà specifiche. Consideriamo un insieme $A$. Un operazione su un insieme $A$ è una funzione $\star :A\times A\to A$. In questo caso si indica generalmente l'immagine come $a_{1}\star a_{2}:=\star (a_{1},a_{2})$.

Definizione

Un gruppo è una coppia $(A,\star )$ dove $A$ è un insieme e $\star$ è un'operazione su $A$ che verifiche le seguenti proprietà:

1. $\star$ è associativa, cioè $\forall a,b,c\in A$ vale che $(a\star b)\star c=a\star (b\star c)$;
2. esiste un elemento in $A$ detto elemento neutro che si indica con $1_{A}$ (a volte anche con $0_{A}$) tale che $\forall a\in A$ vale che $a\star 1_{A}=1_{A}\star a=a$;
3. per ogni elemento esiste un inverso: cioè $\forall a\in A\ \exists b\in A$ tale che $a\star b=1_{A}$. In tal caso si indica $b$ con la notazione $a^{-1}$.

Analizziamo ora qualche esempio di gruppo.

• $(\mathbb {Z} ,+)$ è un gruppo. Infatti la somma è associativa, $0$ è l'elemento neutro (infatti $x+0=0+x=x\ \forall x\in \mathbb {Z}$) e per ogni numero intero $x$ esiste $-x\in \mathbb {Z}$ tale che $x+(-x)=(-x)+x=0$.
• $(\mathbb {Q} ,\cdot )$ è un gruppo. Si verifichi per esercizio le tre proprietà.
• $(\mathbb {N} ,+)$ non è un gruppo. Non è infatti verificata la proprietà degli inversi.

Negli esempi sopra considerati l'operazione sull'insieme verifica anche un'altra proprietà aggiuntiva: la commutatività. È sempre vero infatti che $x+y=y+x$ per ogni numero intero. Non tutti i gruppi verificano questa proprietà, anche se per ora non siamo in grado di mostrarvene un esempio. I gruppi la cui operazioni è commutativa si chiamano gruppi commutativi o abeliani.

Campo

Il passo successivo rispetto alla struttura di gruppo è quello di considerare insiemi su cui siano definite più operazioni. Come idea tenete presente i numeri razionali su cui è definita sia la somma che il prodotto. In questo caso potremmo avere che l'insieme è un gruppo rispetto a tutte e due le operazioni (o quasi): se le due operazioni si "comportano bene" l'una rispetto all'altra si parlerà di campo. Vale infatti la seguente definizione:

Definizione

Un campo è una terna $(K,\star ,\$)$ tale che:

1. $(K,\star )$ è un gruppo abeliano con elemento neutro $0_{K}$;
2. $(K\setminus \{0_{K}\},\$)$ è un gruppo abeliano;
3. vale la proprietà distributiva, ovvero $(a\star b)\$c=(a\$c)\star (b\$c)\forall a,b,c\in K$

Il concetto di campo sarà fondamentale nella trattazione successiva quindi vediamone alcuni esempi pratici.

• $(\mathbb {R} ,+,\cdot )$ è un campo. Infatti la somma e il prodotto sui numeri reali verificano le proprietà di gruppo. Inoltre è banale verificare che verificano la proprietà distributiva su ogni terna di numeri reali.
• $(\mathbb {Q} ,+,\cdot )$ è un campo in modo del tutto analogo all'esempio precedente.
• $(\mathbb {Z} ,+,\cdot )$ non è un campo, perché non esiste un inverso per il prodotto di alcun numero intero diverso da $1,-1$.

In effetti si potrebbe chiedere meno delle proprietà di campo, e accontentarsi di quelle di corpo. In questo libro si farà riferimento sempre a strutture definite su campi, ma si potrebbe trattare la stessa teoria su concetti più deboli, come appunto quello di corpo, o di anello ottenendo così, al posto di spazi vettoriali, ambienti più generali come quelli di modulo. Tuttavia tale trattazione richiederebbe notevoli prerequisiti di algebra commutativa che non sono trattati in queste pagine.

Numeri reali

Fin qui sono state presentate strutture via via più ricche, ma di fondo sostanzialmente astratte, cioè tali che non descrivevano completamente insiemi numerici nel senso in cui generalmente vengono intesi. In effetti gruppi e campi sono importanti proprio per questo, perché sono concetti molto flessibili che si possono associare a diverse situazioni. Tuttavia, per quello che concerne l'obiettivo di questo libro, avremo a che fare principalmente con spazi che hanno come basi i numeri reali (o complessi) e dunque vogliamo approfondire, prima di proseguire con la trattazione, lo studio di questi insiemi.

Si è già visto come l'insieme dei numeri reali sia un campo. Sappiamo però che su $\mathbb {R}$ è presente un'ulteriore struttura data dall'ordine. In particolare è possibile confrontare due numeri reali secondo la loro "grandezza" e decidere sempre se sono uguali o quale dei due è il maggiore. Formalmente si dirà che su $\mathbb {R}$ è definita una relazione d'ordine totale "$\leq$", che ha le usuali proprietà.

Non approfondiremo qui il concetto di relazione d'ordine, in quanto si suppone che ogni lettore abbia una certa familiarità con le disuguaglianze. Vogliamo solo far notare che questa ulteriore struttura è comune a tutti gli insiemi numerici, infatti anche sui naturali, sugli interi, sui razionali e ovviamente sui reali è definita tale relazione. Che cosa dunque caratterizza in maniera specifica i numeri reali?

Densità

Una prima osservazione, che distingue i numeri reali da quelli interi o naturali è il concetto di "densità". In modo informale potremmo affermare che $\mathbb {R}$ non ha buchi. Chiariamo questo concetto. Negli interi (come nei naturali) esistono coppie di numeri, di cui uno è maggiore dell'altro, ma non esiste nessun altro elemento dell'insieme compreso tra di essi. Si pensi ad esempio a $2,3$: è noto che $2\leq 3$ ma non esiste nessun altro intero $n$ tale che $2\leq n\leq 3$ che non sia uguale a due o a tre. Tale proprietà è invece soddisfatta per i reali, basti pensare a ${\frac {5}{2}}$.

Possiamo dunque affermare che per i numeri reali vale la seguente proprietà:

Dati $a,b\in \mathbb {R}$ tali che $a\lneqq b$, esiste sempre $c\in \mathbb {R}$ tale che $a\leq c\leq b$ e $a\neq c\neq b$

Questa proprietà è sufficiente a caratterizzare pienamente i numeri reali? Abbiamo già visto come i numeri interi e i naturali non verifichino questa proprietà. E i razionali? Purtroppo anche i razionali verificano questa proprietà. Date infatti due frazioni ${\frac {a}{b}}$ e ${\frac {c}{d}}$ tali che ${\frac {a}{b}}\lneqq {\frac {c}{d}}$ si ha che la frazione ${\frac {2ad+1}{2bd}}$ verifica la proprietà richiesta, infatti ${\frac {a}{b}}={\frac {2ad}{2bd}}\lneqq {\frac {2ad+1}{2bd}}\lneqq {\frac {2cb}{2bd}}={\frac {c}{d}}$ (provare per esercizio con qualche esempio).

Abbiamo allora bisogno di trovare una "nuova" proprietà che sia verificata dai reali ma non dai razionali.

Completezza e assioma di Dedekind

L'idea di base è estendere la proprietà precedente anche agli insiemi, introducendo il concetto di estremo superiore. Diremo estremo superiore (o "sup") di un sottoinsieme dei numeri reali il più piccolo degli elementi che sono maggiori di tutti gli elementi dell'insieme. Formalmente vale la seguente

Definizione

Dato $\emptyset \neq A\subset \mathbb {R}$, si definisce estremo superiore di $A$ il numero

$\sup A:=min\{x\in \mathbb {R} \mid x\geq a\ \ \forall a\in A\}$

Dalla definizione segue immediatamente una caratterizzazione fondamentale del sup, ovvero

$x=\sup A\ \Rightarrow \ \forall y:\ y\geq a\ \ \forall a\in A\ x\leq y$

ovvero se esiste un altro elemento maggiore di tutti quelli di $A$ allora dev'essere anche maggiore del sup.

Vediamo alcuni esempi: l'insieme ${\mathopen {[}}0,2{\mathclose {[}}$ ammette un estremo superiore che è 2. In questo caso l'estremo superiore non appartiene all'insieme, ma può accadere che invece vi appartenga, come nel caso dell'insieme ${\mathopen {[}}2\pi ,4{\mathclose {]}}$ in cui l'estremo superiore è appunto 4. L'estremo superiore può anche essere infinito, come nel caso di $\{x\in \mathbb {R} \mid x>1\}$.

Il passo successivo è valutare se esistono sottoinsiemi dei reali che non ammettono estremo superiore. Questo non accade mai, ed è un risultato fondamentale dell'analisi che va sotto il nome di assioma di Dedekind. Questo fatto è talmente caratteristico dei numeri reali che nessun altro insieme numerico nominato fin qui ha questa caratteristica, in particolare i razionali.

C'è dunque un sottoinsieme dei razionali che non ammette estremo superiore, e questo distingue in maniera netta i numeri reali dalle frazioni. Se infatti si considera l'insieme $S=\{x\in \mathbb {Q} \mid x^{2}\leq 2\}$, esso non possiede estremo superiore nei razionali, mentre lo possiede nei reali, ed è ${\sqrt {2}}$ che ovviamente non appartiene ai razionali.

Possiamo dunque concludere che i reali sono un campo ordinato in cui vale l'assioma di Dedekind, e questo caratterizza completamente questo insieme.

Ora che abbiamo chiarito i concetti di base, possiamo cominciare a percorrerre il percorso che ci porterà alla definizione degli spazi vettoriali.