Algebra 1/Calcolo Letterale/Polinomi

Polinomi

Definizioni fondamentali

Definizione: Un polinomio è un’espressione algebrica letterale che consiste in una somma algebrica di monomi.

Esempio:

Sono polinomi: $6a+2b$, $5a^{2}b+3b^{2}$, $6x^{2}-5y^{2}x-1$, $7ab-2a^{2}b^{3}+4$.

Se tra i termini di un polinomio non sono presenti monomi simili, il polinomio si dice in forma normale o ridotto; se al contrario si presentano dei termini simili, possiamo eseguire la riduzione del polinomio sommando i termini simili. Tutti i polinomi sono quindi riducibili in forma normale.

Un polinomio in forma normale può presentare tra i suoi termini un monomio di grado 0 che viene comunemente chiamato termine noto.

Esempio:

Il polinomio $3ab+b^{2}-2ba+4-6ab^{2}+5b^{2}$ ridotto in forma normale diventa $ab+6b^{2}-6ab^{2}+4$. Il termine noto è $4$.

Un polinomio può anche essere costituito da un unico termine, pertanto un monomio è anche un polinomio. Un polinomio che, ridotto in forma normale, è somma algebrica di due, tre, quattro monomi non nulli si dice rispettivamente binomio, trinomio, quadrinomio.

Esempio:

Binomi, trinomi, quadrinomi.

• $xy-5x^{3}y^{2}$ è un binomio;
• $3ab^{2}+a-4a^{3}$ è un trinomio;
• $a-6ab^{2}+3ab-5b$ è un quadrinomio.

Definizione: Due polinomi, ridotti in forma normale, formati da termini uguali si dicono uguali, più precisamente vale il principio di identità dei polinomi: due polinomi $p(x)$ e $q(x)$ sono uguali se, e solo se, sono uguali i coefficienti dei termini simili.

Se due polinomi sono invece formati da termini opposti, allora si dicono polinomi opposti.

Definiamo, inoltre, un polinomio nullo quando i suoi termini sono a coefficienti nulli. Il polinomio nullo coincide con il monomio nullo e quindi con il numero 0.

Esempio: Polinomi uguali, opposti, nulli.

• I polinomi $\quad {\frac {1}{3}}xy+2y^{3}-x$; $\quad ~2y^{3}-x+{\frac {1}{3}}xy\quad$ sono uguali;
• i polinomi $\quad ~6ab-3a+2b$; $\quad ~3a-2b-6ab\quad$ sono opposti;
• il polinomio $\quad ~7ab+4a^{2}-ab+b^{3}-4a^{2}-2b^{3}-6ab+b^{3}\quad$ è un polinomio nullo, infatti riducendolo in forma normale otteniamo il monomio nullo $0$.

Definizione: Il grado complessivo (o semplicemente grado) di un polinomio è il massimo dei gradi complessivi dei suoi termini. Si chiama, invece, grado di un polinomio rispetto ad una data lettera l’esponente maggiore con cui quella lettera compare nel polinomio, dopo che è stato ridotto a forma normale.

Esempio: Grado di un polinomio.

• Il polinomio $2ab+3-4a^{2}b^{2}$ ha grado complessivo $4$ perché il monomio con grado massimo è $-4a^{2}b^{2}$, che è un monomio di quarto grado;
• il grado del polinomio $a^{3}+3b^{2}a-4ba^{2}$ rispetto alla lettera $a$ è $3$ perché l’esponente più grande con cui tale lettera compare è $3$.

Definizione: Un polinomio si dice omogeneo se tutti i termini che lo compongono sono dello stesso grado.

Esempio:

Il polinomio $a^{3}-b^{3}+ab^{2}$ è un polinomio omogeneo di grado $3$.

Definizione: Un polinomio si dice ordinato secondo le potenze decrescenti (crescenti) di una lettera, quando i suoi termini sono ordinati in maniera tale che gli esponenti di tale lettera decrescono (crescono), leggendo il polinomio da sinistra verso destra.

Esempio:

Il polinomio ${\frac {1}{2}}x^{3}+{\frac {3}{4}}x^{2}y-2xy^{2}+{\frac {3}{8}}y^{3}$ è ordinato secondo le potenze decrescenti della lettera $x$, e secondo le potenze crescenti della lettera $y$.

Definizione: Un polinomio di grado $n$ rispetto ad una data lettera si dice completo se contiene tutte le potenze di tale lettera di grado inferiore a $n$, compreso il termine noto.

Esempio:

Il polinomio $x^{4}-3x^{3}+5x^{2}+{\frac {1}{2}}x-{\frac {3}{5}}$ è completo di grado $4$ e inoltre risulta ordinato rispetto alla lettera $x$. Il termine noto è $-{\frac {3}{5}}$.

Osservazione: Ogni polinomio può essere scritto sotto forma ordinata e completa: l’ordinamento si può effettuare in virtù della proprietà commutativa della somma, mentre la completezza si può ottenere mediante l’introduzione dei termini dei gradi mancanti con coefficiente uguale a $0$.

Per esempio, il polinomio $x^{4}-x+1+4x^{2}$ può essere scritto sotto forma ordinata e completa come $x^{4}+0x^{3}+4x^{2}-x+1$.

Somma algebrica di polinomi

I polinomi sono somme algebriche di monomi e quindi le espressioni letterali che si ottengono dalla somma o differenza di polinomi sono ancora somme algebriche di monomi.

Definizione: La somma di due o più polinomi è un polinomio avente per termini tutti i termini dei polinomi addendi.

La differenza di polinomi si può trasformare in somma del primo polinomio con l’opposto del secondo polinomio.

Esempio: Differenza di polinomi.

${\begin{aligned}3a^{2}+2b-{\frac {1}{2}}ab-\left(2a^{2}+ab-{\frac {1}{2}}b\right)&=3a^{2}+2b-{\frac {1}{2}}ab-2a^{2}-ab+{\frac {1}{2}}b\\&=a^{2}+{\frac {-1-2}{2}}ab+{\frac {4+1}{2}}b\\&=a^{2}-{\frac {3}{2}}ab+{\frac {5}{2}}b.\end{aligned}}$

Prodotto di un polinomio per un monomio

Per eseguire il prodotto tra il monomio $3x^{2}y$ e il polinomio $2{xy}+5x^{3}y^{2}$; indichiamo il prodotto con $\left(3x^{2}y\right)\cdot \left(2{xy}+5x^{3}y^{2}\right)$. Applichiamo la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione: $\left(3x^{2}y\right)\cdot \left(2{xy}+5x^{3}y^{2}\right)=6x^{3}y^{2}+15x^{5}y^{3}$.

Osservazione: Il prodotto di un monomio per un polinomio è un polinomio avente come termini i prodotti del monomio per ciascun termine del polinomio.

Esempio: Prodotto di un monomio per un polinomio.

${\begin{aligned}\left(3x^{3}y\right)\cdot \left({\frac {1}{2}}x^{2}y^{2}+{\frac {4}{3}}{xy}^{3}\right)&=\left(3x^{3}y\right)\cdot \left({\frac {1}{2}}x^{2}y^{2}\right)+\left(3x^{3}y\right)\cdot \left({\frac {4}{3}}{xy}^{3}\right)\\&={\frac {3}{2}}x^{5}y^{3}+4x^{4}y^{4}.\end{aligned}}$

Quoziente tra un polinomio e un monomio

Il quoziente tra un polinomio e un monomio si calcola applicando la proprietà distributiva della divisione rispetto all’addizione.

Definizione: Si dice che un polinomio è divisibile per un monomio, non nullo, se esiste un polinomio che, moltiplicato per il monomio, dà come risultato il polinomio dividendo; il monomio si dice divisore del polinomio.

Esempio: Quoziente tra un polinomio e un monomio.

$\left(6x^{5}y+9x^{3}y^{2}\right):\left(3x^{2}y\right)=2x^{(5-2)}y^{(1-1)}+3x^{(3-2)}y^{(2-1)}=2x^{3}+3{xy}.$

Osservazione:

• Poiché ogni monomio è divisibile per qualsiasi numero diverso da zero, allora anche ogni polinomio è divisibile per un qualsiasi numero diverso da zero;
• un polinomio è divisibile per un monomio, non nullo, se ogni fattore letterale del monomio divisore compare, con grado uguale o maggiore, in ogni monomio del polinomio dividendo;
• la divisione tra un polinomio e un qualsiasi monomio non nullo è sempre possibile, tuttavia il risultato è un polinomio solo nel caso in cui il monomio sia divisore di tutti i termini del polinomio;
• il quoziente tra un polinomio e un monomio suo divisore è un polinomio ottenuto dividendo ogni termine del polinomio per il monomio divisore.

Prodotto di polinomi

Il prodotto di due polinomi è il polinomio che si ottiene moltiplicando ogni termine del primo polinomio per ciascun termine del secondo polinomio.

Esempio: Prodotto di polinomi.

• $\left(a^{2}b+3a-4{ab}\right)\left({\frac {1}{2}}a^{2}b^{2}-a+3{ab}^{2}\right).$ Riducendo i termini simili:

${\begin{aligned}\left(a^{2}b+3a-4{ab}\right)\left({\frac {1}{2}}a^{2}b^{2}-a+3{ab}^{2}\right)={\frac {1}{2}}a^{4}b^{3}-a^{3}b+{\underline {3a^{3}b^{3}}}+{\frac {3}{2}}a^{3}b^{2}-3a^{2}\\+9a^{2}b^{2}-{\underline {2a^{3}b^{3}}}+4a^{2}b-12a^{2}b^{3}\\={\frac {1}{2}}a^{4}b^{3}-a^{3}b+a^{3}b^{3}+{\frac {3}{2}}a^{3}b^{2}-3a^{2}+9a^{2}b^{2}+4a^{2}b-12a^{2}b^{3}.\end{aligned}}$

• $\left(x-y^{2}-3{xy}\right)\cdot \left(-2x^{2}y-3y\right).$ Moltiplicando ogni termine del primo polinomio per ogni termine del secondo otteniamo. $\left(x-y^{2}-3{xy}\right)\left(-2x^{2}y-3y\right)=-2x^{3}y+3{xy}+2x^{2}y^{3}-3y^{3}+6x^{3}y^{2}+9{xy}^{2};$

• $\left({\frac {1}{2}}x^{3}-2x^{2}\right)\left({\frac {3}{4}}x+1\right)$. $\left({\frac {1}{2}}x^{3}-2x^{2}\right)\left({\frac {3}{4}}x+1\right)={\frac {3}{8}}x^{4}+{\underline {{\frac {1}{2}}x^{3}}}-{\underline {{\frac {3}{2}}x^{3}}}-2x^{2}={\frac {3}{8}}x^{4}-x^{3}-2x^{2}.$