Algebra 1/Vettori e funzioni circolari/Vettori

Indice del libro

Prime definizioniModifica

Sappiamo che due punti   e   presi su una retta   determinano il segmento   di estremi   e  ; fissiamo su di esso un verso di percorrenza, per esempio da   verso  .

Definizione: Il segmento orientato di estremi   e   si chiama vettore; esso viene indicato con   oppure con  ; il punto   è il primo estremo e   il secondo estremo.


Un vettore libero è caratterizzato da tre elementi:

  • la direzione indicata dalla retta su cui esso giace;
  • il verso indicato dalla punta della freccia che dal primo estremo va al secondo estremo;
  • il modulo o intensità, uguale alla misura del segmento  : scriveremo   e leggeremo “il modulo del vettore   è uguale alla misura del segmento  ”.

Un vettore applicato è caratterizzato, oltre che dai tre elementi suddetti, anche dal punto di applicazione, ovvero il punto da cui parte la freccia, chiamato anche primo estremo del vettore.

Esempio: I due vettori   e   nella figura appartengono alla stessa retta, quindi hanno stessa direzione, verso opposto e modulo diverso.


Esempio: I due vettori   e   in figura appartengono a rette parallele, quindi hanno stessa direzione. I loro versi sono opposti e hanno uguale intensità: essi si chiamano vettori opposti e scriveremo  .


Esempio: I due vettori   e   in figura appartengono a rette parallele, quindi hanno stessa direzione. Hanno lo stesso verso e uguale intensità: essi si chiamano equipollenti e scriveremo  .


Osserviamo che un vettore può essere interpretato come uno spostamento dal primo estremo al secondo estremo, avente la direzione della retta cui appartiene il vettore stesso nel verso indicato dalla freccia. Nel piano dotato di riferimento cartesiano ortogonale è rappresentato il vettore   avente il primo estremo nel punto   e il secondo estremo in  . Per andare da   a   si possono compiere diversi percorsi: possiamo procedere sul vettore   oppure possiamo scegliere di compiere due spostamenti particolari, uno parallelo all’asse   e l’altro parallelo all’asse  . In tal modo si determina il punto   come “tappa intermedia” per raggiungere  : ci spostiamo sul vettore   e poi da   sul vettore  .

Definizione: Chiamiamo componenti del vettore   le misure con segno dei segmenti   e   paralleli a quelli degli assi coordinati, con la precisazione di assegnare il segno   alle misure dello spostamento avente lo stesso verso degli assi coordinati e segno   se il verso è opposto a quello degli assi coordinati.


Nella figura precedente figura le componenti del vettore assegnato sono positive in quanto sia lo spostamento orizzontale che quello verticale avvengono nello stesso verso degli assi coordinati. Scriveremo  . Tutti i vettori del piano cartesiano di componenti   sono equipollenti a  . Ciò che li distingue in modo univoco è il loro punto di applicazione.

Esempio: Il vettore   della figura ha componenti entrambe negative poiché lo spostamento orizzontale e quello verticale avvengono in verso contrario rispetto al verso degli assi coordinati: scriveremo  . Il vettore   della figura ha la componente lungo l’asse   positiva e quella verticale negativa: scriveremo  .

Procedura: Determinare le componenti cartesiane di un vettore  , note le coordinate cartesiane degli estremi   e  :

  1. dal primo estremo tracciamo la parallela all’asse   e dal secondo estremo la parallela all’asse   determinando il punto  ;
  2. calcoliamo le misure con segno  ,  ;
  3. scriviamo   ovvero  .


Ottenute le componenti si determina il modulo del vettore utilizzando il teorema di Pitagora; si ha infatti  . Il rapporto   indica invece la direzione del vettore.

Esempio:

Assegnato il vettore della figura a fianco, determinate le sue componenti, il modulo e la direzione. Completate i passi indicati nella strategia risolutiva:

  • scrivete le coordinate degli estremi del vettore assegnato   e  ;
  • individuate le componenti del vettore  :
    • segnate il punto   e calcolate   e  ;
    • le componenti del vettore sono  ;
  • determinate il modulo del vettore  ;
  • determinate la direzione del vettore  .


Esempio:

Tracciate nel riferimento cartesiano ortogonale il vettore  . Nella richiesta di questo quesito sembra manchi qualcosa: conosciamo le componenti del vettore, ma dove mettiamo il primo estremo? Provate a mettere il primo estremo in ciascuno dei seguenti punti:  ,  ,   e determinate il secondo estremo di ciascun vettore; completate indicando per ciascuno di essi il modulo e la direzione. È vero che tutti i vettori tracciati sono equipollenti? In figura è rappresentato il vettore equipollente a quelli costruiti avente il primo estremo nell’origine del riferimento?

Osservazione: Quando si assegna un vettore (libero) mediante le sue componenti, collocheremo il primo estremo nell’origine del riferimento cartesiano ortogonale e il secondo estremo (punta della freccia) avrà come coordinate le componenti del vettore in questione.

Operazioni con i vettoriModifica

Somma di vettoriModifica

Definizione: Nel punto   del piano sono applicati due vettori   e  : dall’estremo   si traccia la retta parallela ad   e da   la parallela ad   indicando con   il loro punto di intersezione. Si definisce somma dei vettori   e   il vettore   individuato dalla diagonale   del parallelogramma   e si scrive  .


Nella sua opera “Philosophiae naturalis principia mathematica” del 1682, Isaac Newton[1] nel primo corollario alle leggi del moto, scrive: <<un corpo spinto da due forze congiunte descriverà la diagonale di un parallelogramma nello stesso tempo nel quale descriverebbe separatamente i lati>>.

Illustriamo con un esempio che per la somma di vettori vale la proprietà associativa.

Esempio: Dimostriamo che vale  .

Nella prima figura è realizzata la costruzione   e  . Nell'altra figura è realizzata la costruzione   e  . Sovrapponendo le due figure si può constatare che i due vettori   risultanti coincidono.

Osserviamo che la validità della proprietà associativa ci permette di costruire la somma di più vettori. Per come è definita l’operazione di somma, pensando al vettore come rappresentante di uno spostamento dal primo estremo al secondo, possiamo interpretare la figura come lo spostamento di un punto prima da   fino a   e poi da questo fino a  , essendo   un vettore equipollente ad   (cambia soltanto il punto di applicazione). Quindi possiamo affermare che il vettore somma di due vettori   e   si può determinare prendendo due vettori   e   rispettivamente equipollenti ai dati; se   e   allora la somma è il vettore   avente   come primo estremo e   come secondo estremo.

Pertanto la somma di più vettori si può semplicemente determinare scegliendo per ogni addendo il vettore equipollente avente il primo estremo nell’estremo finale dell’addendo precedente: la somma è il vettore avente il primo estremo nel punto iniziale del primo addendo e l’estremo finale nel secondo estremo dell’ultimo addendo.

Esempio: Somma di più vettori:  .


Abbiamo visto come si costruisce geometricamente il vettore somma di vettori; vediamo come si determinano le componenti del vettore somma se la questione è posta nel riferimento cartesiano ortogonale.

Esempio: Nel piano dotato di riferimento cartesiano ortogonale costruiamo il vettore somma dei vettori   e   e determiniamone le componenti.

Strategia risolutiva:

  1. posizioniamo i vettori   e   con il punto di applicazione nell’origine del sistema cartesiano;
  2. costruiamo il vettore   equipollente al vettore   applicato al punto  ;
  3. determiniamo il punto  ;
  4. costruiamo il vettore   di coordinate  .

Osserviamo che il primo passo realizzato ci permette di affermare   e  .

Procedura: Note le componenti cartesiane dei vettori addendi   e   le componenti cartesiane del vettore somma   si ottengono con la regola del parallelogramma:

Il primo passo realizzato nella costruzione precedente ci permette di affermare che le componenti del vettore somma   sono la somma delle componenti dei vettori addendi:

 


Applicazioni dei vettori  I vettori sono degli enti geometrici che vengono spesso utilizzati in fisica per rappresentare tutte le grandezze che sono definite conoscendo modulo, direzione, verso e punto di applicazione. Esempi di grandezze vettoriali sono: la velocità, l’accelerazione, la forza, il campo elettrico.

Esempio: Nella figura seguente sono rappresentate tre scatole viste dall’alto e su ognuna di esse agiscono due forze, come rappresentato in figura. Calcola la forza risultante   in ognuno dei casi, sapendo che una forza ha modulo   e l’altra  .

Svolgimento:

  1. Nel primo caso ( ) i due vettori hanno la stessa direzione e lo stesso verso, quindi la risultante si ottiene addizionando semplicemente i due moduli:  ;
  2. Nel secondo caso ( ) poiché i vettori sono opposti come verso, si procede sottraendo al vettore maggiore il vettore minore e la forza risultante ha la direzione ed il verso del vettore di modulo maggiore:  .
  3. Nel terzo caso ( ) i due vettori hanno direzioni perpendicolari, quindi il vettore somma si ottiene con il metodo del parallelogramma. Il suo modulo si ottiene applicando il teorema di Pitagora:
 

Differenza tra vettoriModifica

Procedura: Per determinare la differenza tra due vettori (vedi figura)   e   si procede nel seguente modo:

  1. costruiamo il vettore   che ha stessa direzione, stesso modulo, ma verso opposto;
  2. determiniamo con la regola del parallelogramma  .

Il vettore ottenuto è la differenza tra i vettori assegnati:  .


Esempio: Sono assegnati i vettori   e  . Determinare   e  . Cosa osservate?


Moltiplicazione di un numero reale per un vettoreModifica

Definizione: Assegnato un numero reale   ed un vettore  , il prodotto   è un vettore avente:

  1. la stessa direzione del vettore  ;
  2. intensità o modulo uguale al prodotto del modulo di   per il valore assoluto di  :  ;
  3. verso uguale al verso di   se   è positivo, verso opposto a quello di   se   è negativo.



Esempio: Nella figura sono rappresentati il vettore   e altri vettori ottenuti moltiplicandolo per un numero reale:    .


Esempio: Nel piano dotato di riferimento cartesiano ortogonale rappresentiamo il vettore  ; le componenti del vettore   si ottengono moltiplicando per   le componenti del vettore dato:  .   e   hanno la stessa direzione essendo   e anzi appartengono alla stessa retta avendo in comune il punto di applicazione  .


In generale, dato un vettore   si ha che  , quindi la sua direzione è  , cioè la stessa di  .

Osservazione: Se due vettori hanno la stessa direzione, cioè appartengono a rette parallele, si può sempre trovare un numero reale   tale che uno sia   volte l’altro. La figura seguente può suggerirvi come giustificare l’osservazione precedente.

Esempio: Sono assegnati i vettori  ,   e  . Costruite i vettori  ,  ,   e determinatene le componenti.

Dipendenza e indipendenza lineareModifica

Definizione: Diciamo che un vettore   è combinazione lineare di altri vettori  ,  ,   se esistono i numeri reali  ,  ,  , detti coefficienti della combinazione lineare, per i quali risulta verificata l’uguaglianza  .


Esempio: Nell’esempio precedente hai costruito i vettori  ,  ,   eseguendo la somma algebrica di vettori costruiti moltiplicando per numeri reali i vettori assegnati  ,  ,  . Possiamo dire che:

  •   è combinazione lineare dei vettori   e   i cui coefficienti sono  ,  .
  •   è combinazione lineare dei vettori   e   i cui coefficienti sono  ,  .
  •   è combinazione lineare dei vettori  ,   e   i cui coefficienti sono  ,   e  .


Nell’insieme   di tutti i vettori del piano cartesiano, consideriamo i vettori   e   appartenenti rispettivamente all’asse delle ascisse e a quello delle ordinate; possiamo notare che   e   formano tra loro un angolo di   e che  . Tali vettori sono chiamati versori associati rispettivamente dell’asse   e all’asse  .

Ogni vettore   del piano può essere scritto come combinazione lineare di   e   e le sue componenti sono i coefficienti della combinazione lineare di   e   con i quali si determina  .  

Esempio: Disegniamo nel riferimento cartesiano ortogonale i vettori  ,  ,  ; ci chiediamo se è possibile scrivere   come combinazione lineare degli altri due.


Il metodo geometrico  Dobbiamo costruire due vettori   e   tali che sommati diano il vettore  . Dal punto   tracciamo la parallela alla retta  , che interseca la retta   nel punto  ; dallo stesso punto   tracciamo la parallela alla retta   che interseca in   la retta  . I punti   ed   sono gli estremi dei due vettori   e   cercati:   e   con   e   rispettivamente ottenuti allungando e accorciando   e  . Si ha quindi  .

Il metodo algebrico  Dobbiamo trovare due numeri   e   tali che

 

e risolvendo il sistema lineare di due equazioni in due incognite si ottiene   e  , coerentemente ai risultati della costruzione geometrica effettuata.

Definizione: Dati   vettori  ,  , …,  , questi si dicono linearmente indipendenti se almeno uno di essi si può scrivere come combinazione lineare degli altri. Se nessuno degli   vettori  ,  ,  ,,   può essere scritto come combinazione lineare degli altri, i vettori si dicono linearmente indipendenti.


Esercizi del capitoloModifica

  1. matematico, fisico, filosofo, astronomo, teologo e alchimista inglese (1642 - 1727).