Algebra 1/Insiemi Logica Relazioni/Insiemi

Indice del libro

Insiemi ed elementiModifica

In matematica usiamo la parola insieme per indicare un raggruppamento, una collezione, una raccolta di oggetti, individui, simboli, numeri, figure che sono detti elementi dell’insieme e che sono ben definiti e distinti tra di loro.

La nozione di insieme e quella di elemento di un insieme in matematica sono considerate nozioni primitive, nozioni che si preferisce non definire mediante altre più semplici.

Esempio: Sono insiemi:

  • l’insieme delle lettere della parola RUOTA;
  • l’insieme delle canzoni che ho ascoltato la settimana scorsa;
  • l’insieme delle città della Puglia con più di 15.000 abitanti;
  • l’insieme delle lettere dell’alfabeto italiano;
  • l’insieme dei numeri 1, 2, 3, 4, 5;
  • l’insieme delle montagne d’Italia più alte di 1.000 metri.

Per poter assegnare un insieme occorre soddisfare le seguenti condizioni:

  • bisogna poter stabilire con certezza e oggettività se un oggetto è o non è un elemento dell’insieme;
  • gli elementi di uno stesso insieme devono essere differenti tra loro, cioè un elemento non può essere ripetuto più volte nello stesso insieme.

Non possono essere considerati insiemi:

  • i film interessanti (non c’è un criterio oggettivo per stabilire se un film è interessante oppure no, uno stesso film può risultare interessante per alcune persone e non interessante per altre);
  • le ragazze simpatiche di una classe (non possiamo stabilire in maniera oggettiva se una ragazza è simpatica);
  • le montagne più alte d’Italia (non possiamo dire se una montagna è tra le più alte poiché non è fissata un’altezza limite);
  • l’insieme delle grandi città d’Europa (non c’è un criterio per stabilire se una città è grande);

In generale, gli insiemi si indicano con lettere maiuscole  ,  ,  , …e gli elementi con lettere minuscole  ,  ,  , …

Se un elemento   sta nell’insieme   si scrive   e si legge “  appartiene ad  ”. Il simbolo “ ” si chiama simbolo di appartenenza.

Se un elemento   non sta nell’insieme   si scrive   e si legge “  non appartiene ad  ”. Il simbolo “ ” si chiama simbolo di non appartenenza.

Il criterio che stabilisce se un elemento appartiene a un insieme si chiama proprietà caratteristica dell’insieme.

Un altro modo per definire un insieme, oltre a quello di indicare la sua proprietà caratteristica, è quello di elencare i suoi elementi separati da virgole e racchiusi tra parentesi graffe. Ad esempio:  .

Per indicare alcuni insiemi specifici vengono utilizzati simboli particolari:

  •   si utilizza per indicare l’insieme dei numeri naturali:  ;
  •   si utilizza per indicare i numeri interi relativi:  ;
  •   si utilizza per indicare i numeri razionali:  .

Esempio: Indica con il simbolo opportuno quali dei seguenti elementi appartengono o non appartengono all’insieme   dei giorni della settimana: lunedì, martedì, gennaio, giovedì, dicembre, estate.
Gennaio e dicembre sono mesi dell’anno, perciò scriviamo:

 

Consideriamo l’insieme   e l’insieme   delle consonanti della parola “risate”. Possiamo osservare che   e   sono due insiemi costituiti dagli stessi elementi; diremo che sono insiemi uguali.

Definizione: Due insiemi   e   si dicono uguali se sono formati dagli stessi elementi, anche se disposti in ordine diverso. In simboli si scrive  . Altrimenti i due insiemi si dicono diversi, in simboli  .


Insieme vuoto, insieme universo, cardinalitàModifica

Consideriamo l’insieme   {consonanti della parola "AIA"}. Poiché la parola “AIA” non contiene consonanti, l’insieme   è privo di elementi.

Definizione: Un insieme privo di elementi si chiama insieme vuoto e lo si indica con il simbolo   o  .


Osservazione:   ma   dato che la scrittura   rappresenta un insieme che ha come unico elemento l’insieme vuoto, quindi non è vuoto.

Esempio: Alcuni insiemi vuoti.

  • L’insieme dei numeri negativi maggiori di 5 è vuoto;
  • l’insieme delle capitali europee con meno di 50 abitanti è vuoto;
  • l’insieme dei numeri naturali minori di 0 è vuoto.

La frase <<l’insieme degli studenti che vengono a scuola con il motorino>> non definisce un insieme particolare. Occorre definire il contesto, l’ambiente che fa individuare gli elementi dell’insieme. Se l’ambiente è la classe 1aC gli elementi considerati saranno certamente diversi, e probabilmente meno numerosi, di quelli che compongono l’ambiente di un’intera scuola o di un’intera città. Quando si identifica un insieme, occorre indicare anche l’ambiente di riferimento da cui trarre gli elementi che appartengono al nostro insieme. Questo insieme si chiama insieme universo e rappresenta il contesto, l’ambiente su cui faremo le nostre osservazioni. In generale l’insieme universo per un insieme   è semplicemente un insieme che contiene  . Solitamente l’insieme universo viene indicato con  .

CardinalitàModifica

Definizione: Si definisce cardinalità (o potenza) di un insieme finito il numero degli elementi dell’insieme. Essa viene indicata con uno dei seguenti simboli  , #( ) o  .


Per poter parlare di cardinalità di un insieme qualsiasi, che comprenda anche insiemi infiniti come gli insiemi numerici, occorre una definizione più complessa che qui non daremo.

Esempio: Esempi di cardinalità.

  • L’insieme   delle vocali dell’alfabeto italiano ha 5 elementi, quindi  ;
  • l’insieme   dei multipli di 3 minori di 10 ha 3 elementi, quindi  .

Rappresentazione degli insiemiModifica

Esistono diversi modi per rappresentare un insieme e quindi per indicare con precisione i suoi elementi.

Rappresentazione tabulareModifica

La rappresentazione tabulare è la descrizione più elementare di un insieme; consiste nell’elencare tutti gli elementi dell’insieme separati da virgole e racchiusi tra le parentesi graffe.

Per esempio, definiamo un insieme   con la scrittura:  . Non è importante l’ordine in cui vengono scritti gli elementi, cioè

 

È invece necessario che ogni elemento dell’insieme compaia una sola volta. Ad esempio, per rappresentare l’insieme   delle lettere della parola “autunno”, scriviamo

 

Si può utilizzare questa rappresentazione anche per insiemi numerosi e addirittura infiniti. In questi casi si elencano i primi elementi dell’insieme e in fondo all’elenco si mettono tre punti di sospensione lasciando intendere come continuare la serie.

Per esempio, l’insieme dei multipli di 3 si può indicare con la seguente rappresentazione tabulare:

 

Esempio: Rappresentazione degli insiemi:

  • l’insieme   dei primi 3 giorni della settimana si indica:  ;
  • l’insieme   delle lettere della parola “associazione” si indica:  .

Rappresentazione per proprietà caratteristicaModifica

Per quegli insiemi i cui elementi soddisfano una certa proprietà che li caratterizza, possiamo usare proprio questa proprietà per descrivere più sinteticamente l’insieme che li contiene.

Per esempio, l’insieme   dei divisori di 10 può essere definito come:

 

e si legge “  è l’insieme degli elementi   tali che   è un divisore di 10”.

In questa scrittura si mette in evidenza la caratteristica degli elementi dell’insieme. La rappresentazione tabulare dello stesso insieme è  . L’espressione “tale che”, che è stata rappresentata per mezzo del simbolo “ ”, può essere indicata anche per mezzo del simbolo “:”.

La rappresentazione per caratteristica dell’insieme   dei naturali minori di 15 è:

 

e si legge “  è l’insieme dei numeri naturali   tali che   è minore di 15”.

L’insieme che viene indicato nella prima parte della rappresentazione (nell’ultimo esempio è l’insieme dei numeri naturali  ) è l’insieme universo (sezione [sect:universo]) al quale si fa riferimento. Questo metodo è particolarmente utile quando l’insieme da rappresentare contiene molti elementi.

Esempio: Esempi di definizioni di insiemi per mezzo della loro proprietà caratteristica:

  • l’insieme   delle rette incidenti a una retta   assegnata si può rappresentare come:
 
  • l’insieme   dei numeri naturali maggiori di 100 può essere rappresentato come:
 
  • l’insieme   dei numeri pari può essere rappresentato come:
 
  • l’insieme   dei numeri interi relativi compresi tra   e  , estremi inclusi:
     

Rappresentazione grafica (Diagramma di Eulero-Venn)Modifica

In questa rappresentazione grafica, detta anche rappresentazione di Eulero-Venn[1] si disegna una linea chiusa all’interno della quale gli elementi dell’insieme si indicano con dei punti. Solitamente si scrive all’esterno il nome dell’insieme e vicino ad ogni punto il valore ad esso associato.

Esempio:   è l’insieme dei numeri naturali minori di 6, cioè  . La sua rappresentazione con un diagramma di Eulero-Venn è la seguente

Esempio:   è l’insieme delle lettere della parola “TARTARUGA”,  . La sua rappresentazione con un diagramma di Eulero-Venn è la seguente

Un insieme può essere rappresentato con una qualsiasi delle rappresentazioni indicate. Se un insieme è infinito o è costituito da un numero elevato di elementi la rappresentazione più pratica è quella per caratteristica.

Esempio: Rappresentare l’insieme   dei multipli di 5.

  • Per caratteristica:   oppure  ,  
  • Tabulare:  . I puntini di sospensione indicano che l’elenco continua.
  • Rappresentazione con diagramma di Eulero-Venn:

SottoinsiemeModifica

Consideriamo l’insieme   degli abitanti di Milano e l’insieme   degli abitanti di Milano con età superiore ai 40 anni. Gli abitanti ultra quarantenni di Milano fanno parte della popolazione di Milano, cioè tutti gli elementi dell’insieme   sono anche elementi di  : si dice che   è sottoinsieme di   e si scrive  .

Definizione: Dati due insiemi   e  , si dice che   è un sottoinsieme di   se ogni elemento di   è anche elemento di  . In simboli:  , che si legge “  è incluso in  ” o “  è sottoinsieme di  ”.


La rappresentazione con un diagramma di Eulero-Venn è la seguente:

Se   è un elemento del sottoinsieme  , allora lo sarà anche dell’insieme  :

se   e  , allora  oppure   e  .

Dalla stessa definizione, si deduce che ogni insieme è sottoinsieme di se stesso, in simboli  .

Nel caso in cui tutti gli elementi di   siano elementi di   e tutti gli elementi di   siano elementi di   si ha che  , e   si dice sottoinsieme improprio di  . Se   e  , allora  .

Tra i sottoinsiemi di un insieme si considera anche l’insieme vuoto. Cioè, qualunque sia l’insieme   risulta  . Quindi l’insieme vuoto è considerato un sottoinsieme improprio di qualunque insieme.

Se   è un sottoinsieme non vuoto di   e   ha altri elementi oltre a quelli di   si dice che   è un sottoinsieme proprio di   e si scrive  .

La scrittura   si usa quando non si sa in modo certo se   o meno.

Esempio: Consideriamo l’insieme  lettere della parola “autunno”  e l’insieme  lettere della parola “notaio” ; possiamo affermare che ogni elemento di   è anche elemento di  ? La risposta è negativa, infatti   ma   quindi   non è sottoinsieme di   e si scrive  .

Esempio: Sia   l’insieme delle lettere dell’alfabeto italiano e   l’insieme delle vocali, allora si può scrivere  ; cioè   è un sottoinsieme proprio di  , come si può anche vedere dalla rappresentazione grafica.

Esempio: Sia  , allora   non ha sottoinsiemi propri; mentre i suoi sottoinsiemi impropri sono   e l’insieme vuoto  .

Esempio: Sia   l’insieme delle auto esposte in un autosalone e   l’insieme delle auto usate esposte nello stesso autosalone. Si ha che   è un sottoinsieme di  , ma senza avere ulteriori informazioni non possiamo escludere che tutte le auto esposte siano usate, dobbiamo perciò scrivere  . Se invece sappiamo che nessuna auto esposta è usata, allora  .

Insieme delle partiModifica

Consideriamo l’insieme   dei numeri naturali compresi tra 0 e 100. A partire da questo insieme possiamo formare gruppi costituiti dai soli numeri multipli di 10, dai numeri pari, da quelli dispari, da quelli divisibili per 7 e così via. Quindi con gli elementi dell’insieme   possiamo formare molti altri insiemi che sono sottoinsiemi di  .

Esempio: Determinare tutti i sottoinsiemi di  1, 2, 3 .F

 , infatti l’insieme vuoto è un sottoinsieme improprio di qualunque insieme.

Elenchiamo tutti i sottoinsiemi costituiti da un solo elemento:  ,  ,  . Elenchiamo ora tutti i sottoinsiemi costituiti da due elementi:  1, 2 ,  1, 3 ,  2, 3 . L’unico sottoinsieme costituito da tre elementi è   stesso, possiamo scrivere:  1, 2, 3 . In tutto si hanno 8 sottoinsiemi.

Definizione: Dato un insieme  , si chiama insieme delle parti o (insieme potenza) di   l’insieme   che ha come elementi tutti i sottoinsiemi propri ed impropri di  .


L’insieme delle parti di un insieme   ha sempre come elementi   e  , quindi   e  . Il numero degli elementi di  , cioè dei suoi possibili sottoinsiemi, propri e impropri, dipende dal numero degli elementi di  .

Esempio: L’insieme vuoto ha come unico sottoinsieme se stesso, quindi  .

Esempio: Dato l’insieme  , i suoi possibili sottoinsiemi propri ed impropri sono:  ,  ; allora  .

Esempio: Dato l’insieme   i suoi possibili sottoinsiemi propri ed impropri sono:  ,  ,  ,  ; allora  .

Esempio: Dato l’insieme  , i suoi possibili sottoinsiemi propri ed impropri sono:  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ; allora  .

Riassumendo:

  • se   l’insieme delle parti ha 1 solo elemento;
  • se   ha 1 elemento allora l’insieme delle parti ha 2 elementi;
  • se   ha 2 elementi, l’insieme delle parti ne ha 4;
  • se   ha 3 elementi, l’insieme delle parti ne ha 8.

Generalizzando, se   ha   elementi, l’insieme delle parti   ne ha  .

Insieme unioneModifica

Prendiamo l’insieme   dei numeri pari e l’insieme   dei numeri dispari; allora l’insieme   dei numeri naturali è dato dall’unione dei due insiemi   e  .

Definizione: Dati due insiemi   e  , si dice insieme unione l’insieme  , composto da tutti gli elementi appartenenti ad   o a   o a entrambi. In simboli:   e si legge “  unito a  ” o “  unione  ”.


Mediante la proprietà caratteristica si scrive:  .

Proprietà dell’unione tra insiemiModifica

  1.  : proprietà commutativa dell’unione;
  2.  : proprietà associativa dell’unione;
  3. se  , allora  ;
  4.  ;
  5.  : proprietà di idempotenza dell’unione;
  6.  .

Esempio: Siano  1, 3, 5  e  2, 4, 6  allora

 

Esempio: Siano  do, re, mi, fa, sol, la, si  e  do, re, mi , allora, poiché  ,

 

Insieme intersezioneModifica

Consideriamo gli insiemi   e   formati rispettivamente dalle lettere dell’alfabeto italiano e dalle consonanti dell’alfabeto italiano cioè:  a, b, c, d, e, f, g, h, i, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, z  e  b, c, d, f, g, h, l, m, n, p, q, r, s, t, v, z , le lettere “a, e, i, o, u” che compaiono nell’insieme   ma non in   formano un nuovo insieme chiamato insieme differenza tra   e  .

Definizione: Dati due insiemi   e  , si dice insieme intersezione di   e  , l’insieme   composto da tutti gli elementi appartenenti contemporaneamente ad   e a  , ossia comuni a entrambi. In simboli:  , che si legge “  intersecato a  ” o “  intersezione  ”.


Mediante proprietà caratteristica si scrive:  .

Esempio: Se   è l’insieme delle lettere della parola “matematica” e   è l’insieme delle lettere della parola “materia”. Quali elementi di   stanno in  ? Quali elementi di   stanno in  ? Quali sono gli elementi che stanno in entrambi gli insiemi?

  • L’insieme degli elementi di   che stanno in   è  m, a, t, e, i ;
  • l’insieme degli elementi di   che stanno in   è  m, a, t, e, i ;
  • l’insieme degli elementi che stanno sia in   sia in   è  m, a, t, e, i .

Definizione: Dati due insiemi   e  , essi si dicono disgiunti se non hanno elementi in comune, ossia se la loro intersezione è vuota. In simboli  .


Esempio: Siano   e   allora  . Gli insiemi   e   sono disgiunti.

Proprietà dell’intersezione tra insiemiModifica

  1.  : proprietà commutativa dell’intersezione;
  2.  : proprietà associativa dell’intersezione;
  3. Se  , allora  ;
  4.  ;
  5.  : proprietà di idempotenza dell’intersezione;
  6.  .

Esempio: Siano   e  . Allora, poiché  , si ha:  .

Proprietà distributiva dell’intersezione rispetto all’unione e viceversaModifica

  1.  : proprietà distributiva dell’intersezione rispetto all’unione;
  2.  : proprietà distributiva dell’unione rispetto all’intersezione.

Dimostriamo con i diagrammi di Venn la proprietà distributiva dell’intersezione rispetto all’unione.

Insieme differenzaModifica

Consideriamo gli insiemi   e   formati rispettivamente dalle lettere dell’alfabeto italiano e dalle consonanti dell’alfabeto italiano cioè:  a, b, c, d, e, f, g, h, i, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, z  e  b, c, d, f, g, h, l, m, n, p, q, r, s, t, v, z , le lettere “a, e, i, o, u” che compaiono nell’insieme   ma non in   formano un nuovo insieme chiamato insieme differenza tra   e  .

Definizione: Dati due insiemi   e  , si dice insieme differenza tra   e   l’insieme   composto da tutti gli elementi di   che non appartengono a  . In simboli:   o anche  .


Mediante proprietà caratteristica si scrive:  .

Proprietà della differenza tra insiemiModifica

  •  ;
  •  ;
  • se  , ossia   e   sono disgiunti, allora  , e  ;
  • se  , ossia   è sottoinsieme proprio di  , allora  .

Esempio: Siano   8, 9, 10, 12, 13  e  9, 10, 11, 13 , allora  8, 12  e  .

Poiché in genere  , nella differenza tra insiemi non vale la proprietà commutativa.

Esempio: Siano  1, 3, 5  e  0, 2, 4 . I due insiemi sono disgiunti poiché  , quindi  1, 3, 5  e  0, 2, 4 .

Esempio: Siano  do, re, mi, fa, sol, la, si  e  do, re, mi  allora poiché  ,  fa, sol, la, si .

Insieme complementareModifica

Sia   l’insieme dei giorni della settimana che non finiscono per “dì”. L’insieme   può essere considerato come sottoinsieme dell’insieme   formato da tutti i giorni della settimana  . L’insieme degli elementi di   che non appartengono a   forma un insieme che chiameremo complementare di   rispetto a  . L’insieme   invece si dice, in questo caso, insieme universo. Ad esempio nella rappresentazione caratteristica  ,   è l’insieme universo di  .

Definizione: Dato un insieme  , uno dei possibili insiemi che contengono   come sottoinsieme si dice insieme universo o insieme ambiente.


Definizione: Dato l’insieme   e scelto   come suo insieme universo, l’insieme degli elementi di   che non appartengono ad   è detto insieme complementare di   rispetto a   e si indica con   oppure   o ancora  .


Il diagramma di Eulero-Venn dell’insieme   e del suo universo   è quello rappresentato in figura. La parte in grigio è il complementare di   rispetto a  , cioè  . Si può osservare che, essendo  , il complementare coincide con la differenza tra insiemi:  .

Esempio: Insiemi complementari.

  • Il complementare dell’insieme   dei numeri dispari rispetto all’insieme   dei numeri naturali è l’insieme   dei numeri pari:  ;
  • Il complementare dell’insieme   delle vocali dell’alfabeto italiano rispetto all’insieme   delle lettere dell’alfabeto italiano è l’insieme   delle consonanti:  ;
  • Dati gli insiemi   e  , poiché   si può determinare  .

Leggi di De MorganModifica

Dati due insiemi   e   ci sono alcune proprietà, dette leggi di De Morgan[2], che semplificano lo svolgimento di alcune operazioni:

  •  : Prima legge di De Morgan;
  •  : Seconda legge di De Morgan.

Dimostriamo la prima legge di De Morgan utilizzando i diagrammi di Eulero-Venn.

Partizione di un insiemeModifica

Definizione: Dato un insieme   e alcuni suoi sottoinsiemi  ,  ,  , …,  , si dice che questi costituiscono una partizione di   se:

  1. sono tutti non vuoti;
  2. sono a due a due disgiunti;
  3. la loro unione dà l’insieme  .


Esempio: Partizione di un insieme.

Dato l’insieme   delle carte da gioco napoletane, i sottoinsiemi   delle carte a denari,   delle carte a spade,   delle carte a coppe,   delle carte a bastoni costituiscono una partizione di  .

Infatti nessuno degli insiemi  ,  ,  ,   è vuoto, ciascuno è costituito da 10 elementi. Inoltre i sottoinsiemi sono a due a due disgiunti perché non ci sono carte che appartengono a  ,  ,  ,  ,  ,  , cioè non ci sono carte che possono appartenere contemporaneamente a due semi distinti. Infine l’unione   dà l’insieme delle carte  .

Prodotto cartesiano fra insiemiModifica

Supponiamo che la partita di calcio Lecce - Juventus sia terminata 3-2; in questo caso il risultato della partita non rappresenta un insieme di numeri dato che nella rappresentazione di un insieme scrivere  3, 2  e  2, 3  è la stessa cosa. Infatti, se avessimo scritto 2-3 al posto di 3-2 la partita avrebbe avuto un esito differente. Ci troviamo nel caso di una coppia ordinata di numeri.

Definizione: Un insieme di due elementi   e   presi in un determinato ordine si dice coppia ordinata. Se il primo elemento della coppia è   e il secondo è   si scrive:  .


Definizione: Dati due insiemi   e   non vuoti, l’insieme formato da tutte le coppie ordinate tali che il primo elemento appartiene ad   e il secondo a  , si chiama prodotto cartesiano di   per  . In simboli:   che si legge “  per  ” oppure “  prodotto cartesiano con  ” o ancora “  cartesiano  ”.


Mediante proprietà caratteristica si scrive:  .

Nel caso in cui  , il prodotto cartesiano diventa  .

Esempio: Sia  , il prodotto cartesiano   è dato dalle seguenti coppie ordinate:  .

Proprietà del prodotto cartesiano tra insiemiModifica

a)  ;

b)  ;

c)  .

Esempio: Sia   e  . Il prodotto cartesiano   è dato dalle seguenti coppie ordinate:

 ,

mentre il prodotto cartesiano   è dato dalle seguenti coppie ordinate:

 .

Quindi si può notare che  .

Poiché   nel prodotto cartesiano non vale la proprietà commutativa.

Rappresentazione del prodotto cartesiano tra insiemiModifica

Tabulazione delle coppie ordinateModifica

Come fatto nei precedenti esempi, si combina il primo elemento di   con tutti gli elementi di  , il secondo elemento di   con tutti gli elementi di   e così via fino ad esaurire tutti gli elementi di  .

 

Diagramma a frecceModifica

Si rappresentano i due insiemi graficamente con i diagrammi di Eulero-Venn e si tracciano degli archi orientati che escono dagli elementi del primo insieme e raggiungono gli elementi del secondo insieme formando coppie ordinate del prodotto cartesiano.

Tabella a doppia entrataModifica

Si costruisce una tabella nella quale si riportano gli elementi del primo insieme sulla prima colonna e gli elementi del secondo insieme sulla prima riga. Le caselle di incrocio rappresentano le coppie ordinate del prodotto cartesiano.

Diagramma cartesianoModifica

Si tracciano due semirette orientate, perpendicolari, una orizzontale e l’altra verticale, con l’origine in comune. Si riportano gli elementi del primo insieme sulla semiretta orizzontale e quelli del secondo su quella verticale. Tali semirette vengono chiamate assi cartesiani. Si tracciano prima le parallele all’asse verticale dai punti individuati sull’asse orizzontale che rappresentano gli elementi del primo insieme, poi le parallele all’asse orizzontale dai punti sull’asse verticale; i punti di intersezione rappresentano le coppie ordinate del prodotto cartesiano.

Diagramma ad alberoModifica

È un grafico formato da un nodo iniziale dal quale si ripartono alcuni rami che a loro volta possono ramificarsi e così via fino a che nello schema figurano tutte le possibili situazioni. Si può raggiungere un particolare nodo solo muovendosi lungo i rami ed il percorso che collega due nodi qualsiasi deve essere unico.

La rappresentazione mediante diagramma ad albero è vantaggiosa nel caso si voglia fare il prodotto cartesiano tra più insiemi.

Esempio: Una compagnia aerea deve organizzare delle rotte per collegare fra loro alcune città effettuando uno scalo in un'altra città. Sia  Brindisi, Bari, Palermo  l’insieme delle città di partenza,  Roma, Milano  l’insieme delle città di scalo e  Parigi, Berlino, Londra  l’insieme delle città di arrivo. Per conoscere tutte le possibili rotte aeree dobbiamo determinare il prodotto cartesiano tra i 3 insiemi  . Rappresentiamo   tramite un diagramma ad albero:

I diagrammi di Eulero-Venn come modello di un problemaModifica

Alcune volte, trovandoci di fronte a un problema, possiamo rappresentare la situazione con diagrammi di Eulero-Venn, ciò agevola la comprensione e facilita la risoluzione del problema. Attraverso alcuni esempi mostreremo come usare la teoria degli insiemi per risolvere problemi.

Esempio: Nel seguente diagramma di Eulero-Venn, l’insieme   rappresenta un gruppo di amici appassionati di ballo; gli insiemi  ,  ,   rappresentano rispettivamente coloro che ballano il tango, la rumba, il samba; ogni puntino rappresenta uno degli amici. Quanti sono gli amici appassionati di ballo?

Quanti tra loro ballano:

  1. nessuno dei balli indicati?
  2. almeno uno dei balli tango, samba, rumba?
  3. almeno il samba?
  4. solo la rumba?
  5. la rumba e il tango?
  6. tutti i balli indicati?

Per rispondere alle domande dobbiamo contare gli elementi che formano determinati insiemi.

Quanti sono gli amici appassionati di ballo? Per rispondere a questa domanda, contiamo tutti i puntini che compaiono nel disegno. Si ha  .

Rispondiamo ora alle altre domande.

  1. Quanti tra loro ballano nessuno dei balli indicati? Chi non balla nessuno dei balli indicati sta nell’insieme  , ma in nessuno degli insiemi  ,  ,   quindi appartiene al complementare di   rispetto all’insieme  , dunque  .
  2. Quanti tra loro ballano almeno uno dei balli tra tango, samba, rumba? Chi balla almeno uno di quei balli è rappresentato dagli elementi dell’insieme  , quindi  .
  3. Quanti tra loro ballano almeno il samba? Gli amici che ballano almeno il samba sono nell’insieme  , quindi  .
  4. Quanti tra loro ballano solo la rumba? Nell’insieme   sono rappresentati gli amici che ballano almeno il rumba, quindi dobbiamo togliere dall’insieme   gli elementi che stanno in   o in  :  .
  5. Quanti tra loro ballano la rumba e il tango? Quelli che ballano sia la rumba che il tango sono gli elementi dell’insieme intersezione  , quindi  .
  6. Quanti tra loro ballano tutti i balli indicati? Quelli che ballano tutti e tre i balli indicati sono elementi dell’insieme intersezione  , quindi  .

Esempio: A settembre, per la festa delle contrade, a Lainate è arrivato un luna park dove, oltre ad una grande giostra, era stato allestito un tiro a segno con palline di gommapiuma, proprio per i bambini. Alcuni bambini, accompagnati dalla loro maestra si sono recati al luna park: 7 sono stati sulla giostra, 3 sono stati sia sulla giostra che al tiro a segno, 3 si sono divertiti solamente col tiro a segno e altri 2 sono stati a guardare. Quanti bambini sono andati quel giorno al luna park?

Per risolvere il problema rappresentiamo con diagrammi di Eulero-Venn la situazione; indichiamo con   l’insieme dei bambini recatisi al luna park, con   l’insieme di quelli che sono stati sulla giostra e con   l’insieme di quelli che hanno provato il tiro a segno. Dall’enunciato sappiamo che  ,  ,   e  .

Completa la rappresentazione segnando i bambini con dei puntini e rispondi al quesito.

Esempio: Alla palestra Anni Verdi, il giovedì si tengono due allenamenti di pallavolo e calcio dalle 17.00 alle 18.30. Frequentano il corso di pallavolo 15 persone e sono 28 quelli che frequentano l’allenamento di calcio. Quante persone frequentano pallavolo o calcio in questo orario?

Dati     iscritti a pallavolo ,  iscritti a calcio ,  ,  .

Obiettivo    Il problema chiede di determinare la cardinalità di  .

Soluzione    Osserviamo che non ci sono persone che frequentano sia l’uno che l’altro sport essendo gli allenamenti nello stesso orario; gli insiemi   e   sono disgiunti:  .

Quindi:  .

Esempio:

Alla palestra Anni Verdi, il lunedì si tengono allenamenti di pallavolo dalle 17.00 alle 18.30 e dalle 19.00 alle 20.30 gli allenamenti di calcio. Quelli che frequentano la pallavolo sono 15, quelli che frequentano il calcio sono 28, però ce ne sono 7 di loro che fanno entrambi gli allenamenti. Quanti sono gli sportivi che si allenano il lunedì?

Dati     iscritti a pallavolo ,  iscritti a calcio ,  ,   e  .

Obiettivo   Il problema chiede di determinare la cardinalità di  .

Soluzione   Poiché gli insiemi   e   non sono disgiunti, si ha  .

Generalizzando possiamo affermare che, dati due insiemi finiti   e  , la cardinalità dell’insieme   è data dalla seguente formula:

 

Esempio: A scuola si sono aperti i corsi di lingue. Della classe di Piero, che è composta da 28 ragazzi, 17 frequentano il corso di inglese, 12 quello di francese, 5 di loro frequentano sia il corso di inglese che quello di francese. Quanti sono i ragazzi della classe di Piero che non frequentano alcun corso di lingue?

Rappresentiamo la situazione con un diagramma di Eulero-Venn.

L’insieme universo è costituito dai 28 ragazzi che compongono la classe. I ragazzi che frequentano almeno un corso non sono  , perché ce ne sono 5 che frequentano entrambi i corsi e così vengono conteggiati due volte. Quindi i ragazzi che frequentano almeno un corso sono  . Di conseguenza quelli che non frequentano nessun corso sono  .

Esempio: Il professore di matematica di Piero è piuttosto severo; nella sua classe, di 28 alunni, ha messo solo 6 sufficienze allo scritto e solo 8 all’orale. I ragazzi che sono risultati insufficienti sia allo scritto sia all’orale sono stati 18. Quanti sono i ragazzi che hanno avuto una votazione sufficiente sia allo scritto che all’orale?

Rappresentiamo la situazione con un diagramma di Eulero-Venn.

  è l’insieme degli alunni della classe di Piero ed è costituito da 28 elementi.   è l’insieme dei ragazzi sufficienti allo scritto costituito da 6 alunni.   è l’insieme dei ragazzi che sono sufficienti all’orale ed è costituito da 8 elementi.

Gli elementi di   sono 18, cioè i ragazzi che non sono sufficienti né allo scritto, né all’orale.

L’insieme   è quindi costituito da   elementi.

Ricordiamo che

 

In conclusione i ragazzi sufficienti allo scritto e all’orale sono 4.

Esercizi del capitoloModifica

  1. in onore del matematico svizzero Leonhard Euler, noto in Italia come Eulero, (1707 - 1783) e del matematico e statistico inglese John Venn (1834 - 1923).
  2. dal nome del matematico e logico britannico Augustus De Morgan (1806 - 1871).