Algebra 1/Calcolo Letterale/Frazioni Algebriche

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Definizione di frazione algebricaModifica

Diamo la seguente definizione:

Definizione: Si definisce frazione algebrica un’espressione del tipo   dove   e   sono polinomi.


Osserviamo che un’espressione di questo tipo si ottiene talvolta quando ci si propone di ottenere il quoziente di due monomi.

Esempio: Determinare il quoziente tra   e  .

Questa operazione si esegue applicando, sulla parte letterale, le proprietà delle potenze e sul coefficiente la divisione tra numeri razionali:  . Il quoziente è quindi un monomio.

Esempio: Determinare il quoziente tra   e  .

In questo caso l’esponente della   nel dividendo è minore dell’esponente della stessa variabile nel divisore quindi si ottiene  .

Questo non è un monomio per la presenza dell’esponente negativo alla variabile  . Quindi:  . Il quoziente è una frazione algebrica.

Quando vogliamo determinare il quoziente di una divisione tra un monomio e un polinomio o tra due polinomi, si presentano diversi casi.

Caso I  Monomio diviso un polinomio.

  • Determinare il quoziente tra:   e  .

Il dividendo è un monomio e il divisore un polinomio. Questa operazione non ha come risultato un polinomio ma una frazione.  .

Caso II  Un polinomio diviso un monomio.

  • Determinare il quoziente tra:   e  .

 . Il quoziente è un polinomio.

  • Determinare il quoziente tra:   e  .

Dividiamo ciascun termine del polinomio per il monomio assegnato: il quoziente sarà  . Il quoziente è una somma di frazioni algebriche.

Caso III  Un polinomio diviso un altro polinomio.

  • Determinare il quoziente tra:   e  .

La divisione tra polinomi in una sola variabile è possibile, quando il grado del dividendo è maggiore o uguale al grado del divisore; questa condizione non si verifica nel caso proposto. Il quoziente è la frazione algebrica  .

Conclusione  Una frazione algebrica può essere considerata come il quoziente indicato tra due polinomi. Ogni frazione algebrica è dunque un’espressione letterale fratta o frazionaria.

Condizioni di esistenza per una frazione algebricaModifica

Per discussione di una frazione algebrica intendiamo la ricerca dei valori che attribuiti alle variabili non la rendano priva di significato. Poiché non è possibile dividere per  , una frazione algebrica perde di significato per quei valori che attribuiti alle variabili rendono il denominatore uguale a zero. Quando abbiamo una frazione algebrica tipo   poniamo sempre la condizione di esistenza (abbreviato con  ):  .

La determinazione della condizione di esistenza richiede una conoscenza dei metodi per risolvere le equazioni, argomento che verrà sviluppato nei prossimi capitoli.

Esempio: Determinare le condizioni di esistenza di  .

Questa frazione perde di significato quando il denominatore si annulla:  .

Esempio: Determinare le condizioni di esistenza di  .

Questa frazione perde di significato quando il denominatore si annulla:  .

Esempio: Determinare le condizioni di esistenza di  .

 . Sappiamo che un prodotto è nullo quando almeno uno dei suoi fattori è nullo, dunque affinché il denominatore non si annulli non si deve annullare né   , quindi   e  . Concludendo,  .

Esempio: Determinare le condizioni di esistenza di  .

 , per risolvere questa disuguaglianza si procede come per le usuali equazioni:   si può concludere  .

Esempio: Determinare le condizioni di esistenza di  .

 , il binomio è sempre maggiore di   perché somma di due grandezze positive. Pertanto la condizione   è sempre verificata e la frazione esiste sempre. Scriveremo   (si legge “per ogni   appartenente a  ” o “qualunque   appartenente a  ”).

Esempio: Determinare le condizioni di esistenza di  .

 ; per rendere nullo il denominatore si dovrebbe avere   e questo si verifica se   oppure se  ; possiamo anche osservare che il denominatore è una differenza di quadrati e che quindi la condizione di esistenza si può scrivere come  , essendo un prodotto possiamo scrivere   e concludere:  .

Procedura: Determinare la condizione di esistenza di una frazione algebrica:

  1. porre il denominatore della frazione diverso da zero;
  2. scomporre in fattori il denominatore;
  3. porre ciascun fattore del denominatore diverso da zero;
  4. escludere i valori che annullano il denominatore.



Semplificazione di una frazione algebricaModifica

Semplificare una frazione algebrica significa dividere numeratore e denominatore per uno stesso fattore diverso da zero. In questo modo, infatti, la proprietà invariantiva della divisione garantisce che la frazione ottenuta è equivalente a quella data. Quando semplifichiamo una frazione numerica dividiamo il numeratore e il denominatore per il loro   che è sempre un numero diverso da zero, ottenendo così una frazione ridotta ai minimi termini equivalente a quella assegnata. Quando ci poniamo lo stesso problema su una frazione algebrica, dobbiamo porre attenzione a escludere quei valori che, attribuiti alle variabili, rendono nullo il  .

Esempio: Semplificare  .

 . Puoi semplificare la parte numerica. Per semplificare la parte letterale applica la proprietà delle potenze relativa al quoziente di potenze con la stessa base:   e  . Quindi:  

Esempio: Ridurre ai minimi termini la frazione:  .

  • Scomponiamo in fattori
    • il numeratore:  ;
    • il denominatore:  ;
  • riscriviamo la frazione  ;
  •   da cui   e  , il terzo fattore non si annulla mai perché somma di un numero positivo e un quadrato;
  • semplifichiamo:  .

Esempio: Ridurre ai minimi termini la frazione in due variabili:  .

  • Scomponiamo in fattori
    •  ;
    •  ;
  • la frazione diventa:  ;
  •   cioè  ;
  • semplifichiamo i fattori uguali:  .

Le seguenti semplificazioni sono errate.

  •   questa semplificazione è errata perché   e   sono addendi, non sono fattori;
  •   questa semplificazione è errata perché   è un addendo, non un fattore;
  •  , ,  ;
  •  , .

Moltiplicazione di frazioni algebricheModifica

Il prodotto di due frazioni è una frazione avente per numeratore il prodotto dei numeratori e per denominatore il prodotto dei denominatori.

Si vuole determinare il prodotto  ; possiamo scrivere prima il risultato dei prodotti dei numeratori e dei denominatori e poi ridurre ai minimi termini la frazione ottenuta:  , oppure prima semplificare i termini delle frazioni e poi moltiplicare:  .

Esempio: Prodotto delle frazioni algebriche   e  .

Poniamo le   per ciascuna frazione assegnata ricordando che tutti i fattori letterali dei denominatori devono essere diversi da zero, quindi  . Il prodotto è la frazione  .

Esempio: Prodotto delle frazioni algebriche   e  .

L’espressione è in due variabili, i denominatori sono polinomi di primo grado irriducibili; poniamo le condizioni di esistenza:   dunque  . Il prodotto è la frazione   in cui non è possibile alcuna semplificazione.

Osservazione:  . Questa semplificazione contiene errori in quanto la variabile   è un fattore del numeratore ma è un addendo nel denominatore; analogamente la variabile  .

Esempio: Prodotto delle frazioni algebriche in cui numeratori e denominatori sono polinomi   e  .

  • Scomponiamo in fattori tutti i denominatori (servirà per la determinazione delle  ) e tutti i numeratori (servirà per le eventuali semplificazioni)
    •  ,
    •  ;
  • poniamo le   ricordando che tutti i fattori dei denominatori devono essere diversi da zero:   da cui  ;
  • determiniamo la frazione prodotto, effettuando le eventuali semplificazioni:
    •  .

Potenza di una frazione algebricaModifica

La potenza di esponente  , naturale diverso da zero, della frazione algebrica   con   ( ) è la frazione avente per numeratore la potenza di esponente   del numeratore e per denominatore la potenza di esponente   del denominatore:  .

Esempio: Calcoliamo  .

Innanzi tutto determiniamo le   per la frazione assegnata

  da cui  . Dunque si ha  

Casi particolari dell’esponenteModifica

Se   sappiamo che qualsiasi numero diverso da zero elevato a zero è uguale a  ; lo stesso si può dire se la base è una frazione algebrica, purché essa non sia nulla.   con   e  .

Esempio: Quali condizioni deve rispettare la variabile   per avere  ?

  • Scomponiamo in fattori numeratore e denominatore della frazione:  ;
  • determiniamo le   del denominatore:   da cui,  . Poniamo poi la condizione, affinché la frazione non sia nulla, che anche il numeratore sia diverso da zero. Indichiamo con   questa condizione, dunque  :  , da cui  ;
  • le condizioni di esistenza sono allora  .

Se   è intero negativo la potenza con base diversa da zero è uguale alla potenza che ha per base l’inverso della base e per esponente l’opposto dell’esponente.   con   e  .

Esempio: Determinare  .

  • Scomponiamo in fattori numeratore e denominatore:  ;
  •   del denominatore   e   da cui   essendo l’altro fattore sempre diverso da 0. Per poter determinare la frazione inversa dobbiamo porre le condizioni perché la frazione non sia nulla e cioè che anche il numeratore sia diverso da zero, quindi si deve avere   da cui   e  ;
  • quindi se  ,   e   si ha  .

Divisione di frazioni algebricheModifica

Il quoziente di due frazioni è la frazione che si ottiene moltiplicando la prima con l’inverso della seconda. Lo schema di calcolo può essere illustrato nel modo seguente, come del resto abbiamo visto nell’insieme dei numeri razionali:

 

Si vuole determinare il quoziente  . L’inverso di   è la frazione  , dunque

 

Esempio: Determinare il quoziente delle frazioni algebriche   e  .

  • Scomponiamo in fattori le due frazioni algebriche:
 
  • poniamo le condizioni di esistenza dei denominatori:   da cui    ;
  • determiniamo la frazione inversa di  . Per poter determinare l’inverso dobbiamo porre le condizioni perché la frazione non sia nulla. Poniamo il numeratore diverso da zero,   da cui  ;
  • aggiorniamo le condizioni  ;
  • cambiamo la divisione in moltiplicazione e semplifichiamo:
 

Addizione di frazioni algebricheModifica

Proprietà della addizione tra frazioni algebricheModifica

Nell’insieme delle frazioni algebriche la somma:

  • è commutativa:  ;
  • è associativa:  ;
  • possiede l’elemento neutro, cioè esiste una frazione   tale che per qualunque frazione   si abbia   cioè  ;
  • elemento inverso: per ogni frazione algebrica   esiste la frazione opposta   tale che  

Quest’ultima proprietà ci permette di trattare contemporaneamente l’operazione di addizione e di sottrazione con la somma algebrica, come abbiamo fatto tra numeri relativi;   omettendo il segno di addizione “ ” e togliendo le parentesi diventa  ;   omettendo il segno di sottrazione “ ” e togliendo le parentesi diventa  . Come per i numeri relativi, quando si parlerà di somma di frazioni si intenderà “somma algebrica”.

Esempio: Le frazioni   hanno lo stesso denominatore.

Poniamo le     da cui  , quindi

 

Osservazione: A questo caso ci si può sempre ricondurre trasformando le frazioni in maniera che abbiamo lo stesso denominatore. Si potrebbe scegliere un qualunque denominatore comune, ad esempio il prodotto di tutti i denominatori ma per semplificare i calcoli scegliamo il   dei denominatori delle frazioni addendi.

Esempio:  .

Dobbiamo trasformare le frazioni in modo che abbiano lo stesso denominatore:

  • calcoliamo il  ;
  • poniamo le     da cui   e  ;
  • dividiamo il   per ciascun denominatore e moltiplichiamo il quoziente ottenuto per il relativo numeratore:
 
  • la frazione somma ha come denominatore lo stesso denominatore e come numeratore la somma dei numeratori:
 

Esempio:  .

  • Scomponiamo in fattori i denominatori:
 

il   è  ;

  • poniamo le     da cui    ,   e  ;
  • dividiamo il   per ciascun denominatore e moltiplichiamo il quoziente ottenuto per il relativo numeratore:
 
  • eseguiamo le operazioni al numeratore:
 
  • semplifichiamo la frazione ottenuta, dopo aver scomposto il numeratore:
 

Esempio:  .

  • Scomponiamo in fattori  , essendo gli altri denominatori irriducibili:   che è anche il   dei denominatori;
  • poniamo le     da cui    ,   e  ;
  • dividiamo il   per ciascun denominatore e moltiplichiamo il quoziente ottenuto per il relativo numeratore:
 
  • eseguiamo le operazioni al numeratore:
 
  • semplifichiamo la frazione ottenuta, dopo aver scomposto il numeratore. La frazione somma è:
     

Esercizi del capitoloModifica