Algebra 1/Calcolo Letterale/Frazioni Algebriche

Indice del libro

Definizione di frazione algebrica

modifica

Diamo la seguente definizione:

Definizione: Si definisce frazione algebrica un’espressione del tipo   dove   e   sono polinomi.


Osserviamo che un’espressione di questo tipo si ottiene talvolta quando ci si propone di ottenere il quoziente di due monomi.

Esempio:

Determinare il quoziente tra   e  .

Questa operazione si esegue applicando, sulla parte letterale, le proprietà delle potenze e sul coefficiente la divisione tra numeri razionali:  . Il quoziente è quindi un monomio.

Esempio:

Determinare il quoziente tra   e  .

In questo caso l’esponente della   nel dividendo è minore dell’esponente della stessa variabile nel divisore quindi si ottiene  .

Questo non è un monomio per la presenza dell’esponente negativo alla variabile  . Quindi:  . Il quoziente è una frazione algebrica.

Quando vogliamo determinare il quoziente di una divisione tra un monomio e un polinomio o tra due polinomi, si presentano diversi casi.

Caso I  Monomio diviso un polinomio.

  • Determinare il quoziente tra:   e  .

Il dividendo è un monomio e il divisore un polinomio. Questa operazione non ha come risultato un polinomio ma una frazione.  .

Caso II  Un polinomio diviso un monomio.

  • Determinare il quoziente tra:   e  .

 . Il quoziente è un polinomio.

  • Determinare il quoziente tra:   e  .

Dividiamo ciascun termine del polinomio per il monomio assegnato: il quoziente sarà  . Il quoziente è una somma di frazioni algebriche.

Caso III  Un polinomio diviso un altro polinomio.

  • Determinare il quoziente tra:   e  .

La divisione tra polinomi in una sola variabile è possibile, quando il grado del dividendo è maggiore o uguale al grado del divisore; questa condizione non si verifica nel caso proposto. Il quoziente è la frazione algebrica  .

Conclusione  Una frazione algebrica può essere considerata come il quoziente indicato tra due polinomi. Ogni frazione algebrica è dunque un’espressione letterale fratta o frazionaria.

Condizioni di esistenza per una frazione algebrica

modifica

Per discussione di una frazione algebrica intendiamo la ricerca dei valori che attribuiti alle variabili non la rendano priva di significato. Poiché non è possibile dividere per  , una frazione algebrica perde di significato per quei valori che attribuiti alle variabili rendono il denominatore uguale a zero. Quando abbiamo una frazione algebrica tipo   poniamo sempre la condizione di esistenza (abbreviato con  ):  .

La determinazione della condizione di esistenza richiede una conoscenza dei metodi per risolvere le equazioni, argomento che verrà sviluppato nei prossimi capitoli.

Esempio:

Determinare le condizioni di esistenza di  .

Questa frazione perde di significato quando il denominatore si annulla:  .

Esempio:

Determinare le condizioni di esistenza di  .

Questa frazione perde di significato quando il denominatore si annulla:  .

Esempio:

Determinare le condizioni di esistenza di  .

 . Sappiamo che un prodotto è nullo quando almeno uno dei suoi fattori è nullo, dunque affinché il denominatore non si annulli non si deve annullare né   , quindi   e  . Concludendo,  .

Esempio:

Determinare le condizioni di esistenza di  .

 , per risolvere questa disuguaglianza si procede come per le usuali equazioni:   si può concludere  .

Esempio:

Determinare le condizioni di esistenza di  .

 , il binomio è sempre maggiore di   perché somma di due grandezze positive. Pertanto la condizione   è sempre verificata e la frazione esiste sempre. Scriveremo   (si legge “per ogni   appartenente a  ” o “qualunque   appartenente a  ”).

Esempio:

Determinare le condizioni di esistenza di  .

 ; per rendere nullo il denominatore si dovrebbe avere   e questo si verifica se   oppure se  ; possiamo anche osservare che il denominatore è una differenza di quadrati e che quindi la condizione di esistenza si può scrivere come  , essendo un prodotto possiamo scrivere   e concludere:  .

Procedura: Determinare la condizione di esistenza di una frazione algebrica:

  1. porre il denominatore della frazione diverso da zero;
  2. scomporre in fattori il denominatore;
  3. porre ciascun fattore del denominatore diverso da zero;
  4. escludere i valori che annullano il denominatore.



Semplificazione di una frazione algebrica

modifica

Semplificare una frazione algebrica significa dividere numeratore e denominatore per uno stesso fattore diverso da zero. In questo modo, infatti, la proprietà invariantiva della divisione garantisce che la frazione ottenuta è equivalente a quella data. Quando semplifichiamo una frazione numerica dividiamo il numeratore e il denominatore per il loro   che è sempre un numero diverso da zero, ottenendo così una frazione ridotta ai minimi termini equivalente a quella assegnata. Quando ci poniamo lo stesso problema su una frazione algebrica, dobbiamo porre attenzione a escludere quei valori che, attribuiti alle variabili, rendono nullo il  .

Esempio:

Semplificare  .

 . Puoi semplificare la parte numerica. Per semplificare la parte letterale applica la proprietà delle potenze relativa al quoziente di potenze con la stessa base:   e  . Quindi:  

Esempio:

Ridurre ai minimi termini la frazione:  .
  • Scomponiamo in fattori
    • il numeratore:  ;
    • il denominatore:  ;
  • riscriviamo la frazione  ;
  •   da cui   e  , il terzo fattore non si annulla mai perché somma di un numero positivo e un quadrato;
  • semplifichiamo:  .

Esempio:

Ridurre ai minimi termini la frazione in due variabili:  .
  • Scomponiamo in fattori
    •  ;
    •  ;
  • la frazione diventa:  ;
  •   cioè  ;
  • semplifichiamo i fattori uguali:  .

Le seguenti semplificazioni sono errate.

  •   questa semplificazione è errata perché   e   sono addendi, non sono fattori;
  •   questa semplificazione è errata perché   è un addendo, non un fattore;
  •  , ,  ;
  •  , .

Moltiplicazione di frazioni algebriche

modifica

Il prodotto di due frazioni è una frazione avente per numeratore il prodotto dei numeratori e per denominatore il prodotto dei denominatori.

Si vuole determinare il prodotto  ; possiamo scrivere prima il risultato dei prodotti dei numeratori e dei denominatori e poi ridurre ai minimi termini la frazione ottenuta:  , oppure prima semplificare i termini delle frazioni e poi moltiplicare:  .

Esempio:

Prodotto delle frazioni algebriche   e  .

Poniamo le   per ciascuna frazione assegnata ricordando che tutti i fattori letterali dei denominatori devono essere diversi da zero, quindi  . Il prodotto è la frazione  .

Esempio:

Prodotto delle frazioni algebriche   e  .

L’espressione è in due variabili, i denominatori sono polinomi di primo grado irriducibili; poniamo le condizioni di esistenza:   dunque  . Il prodotto è la frazione   in cui non è possibile alcuna semplificazione.

Osservazione:  . Questa semplificazione contiene errori in quanto la variabile   è un fattore del numeratore ma è un addendo nel denominatore; analogamente la variabile  .

Esempio:

Prodotto delle frazioni algebriche in cui numeratori e denominatori sono polinomi   e  .
  • Scomponiamo in fattori tutti i denominatori (servirà per la determinazione delle  ) e tutti i numeratori (servirà per le eventuali semplificazioni)
    •  ,
    •  ;
  • poniamo le   ricordando che tutti i fattori dei denominatori devono essere diversi da zero:   da cui  ;
  • determiniamo la frazione prodotto, effettuando le eventuali semplificazioni:
    •  .

Potenza di una frazione algebrica

modifica

La potenza di esponente  , naturale diverso da zero, della frazione algebrica   con   ( ) è la frazione avente per numeratore la potenza di esponente   del numeratore e per denominatore la potenza di esponente   del denominatore:  .

Esempio:

Calcoliamo  .

Innanzi tutto determiniamo le   per la frazione assegnata

  da cui  . Dunque si ha  

Casi particolari dell’esponente

modifica

Se   sappiamo che qualsiasi numero diverso da zero elevato a zero è uguale a  ; lo stesso si può dire se la base è una frazione algebrica, purché essa non sia nulla.   con   e  .

Esempio:

Quali condizioni deve rispettare la variabile   per avere  ?
  • Scomponiamo in fattori numeratore e denominatore della frazione:  ;
  • determiniamo le   del denominatore:   da cui,  . Poniamo poi la condizione, affinché la frazione non sia nulla, che anche il numeratore sia diverso da zero. Indichiamo con   questa condizione, dunque  :  , da cui  ;
  • le condizioni di esistenza sono allora  .

Se   è intero negativo la potenza con base diversa da zero è uguale alla potenza che ha per base l’inverso della base e per esponente l’opposto dell’esponente.   con   e  .

Esempio:

Determinare  .
  • Scomponiamo in fattori numeratore e denominatore:  ;
  •   del denominatore   e   da cui   essendo l’altro fattore sempre diverso da 0. Per poter determinare la frazione inversa dobbiamo porre le condizioni perché la frazione non sia nulla e cioè che anche il numeratore sia diverso da zero, quindi si deve avere   da cui   e  ;
  • quindi se  ,   e   si ha  .

Divisione di frazioni algebriche

modifica

Il quoziente di due frazioni è la frazione che si ottiene moltiplicando la prima con l’inverso della seconda. Lo schema di calcolo può essere illustrato nel modo seguente, come del resto abbiamo visto nell’insieme dei numeri razionali:

 

Si vuole determinare il quoziente  . L’inverso di   è la frazione  , dunque

 

Esempio:

Determinare il quoziente delle frazioni algebriche   e  .
  • Scomponiamo in fattori le due frazioni algebriche:
 
  • poniamo le condizioni di esistenza dei denominatori:   da cui    ;
  • determiniamo la frazione inversa di  . Per poter determinare l’inverso dobbiamo porre le condizioni perché la frazione non sia nulla. Poniamo il numeratore diverso da zero,   da cui  ;
  • aggiorniamo le condizioni  ;
  • cambiamo la divisione in moltiplicazione e semplifichiamo:
 

Addizione di frazioni algebriche

modifica

Proprietà della addizione tra frazioni algebriche

modifica

Nell’insieme delle frazioni algebriche la somma:

  • è commutativa:  ;
  • è associativa:  ;
  • possiede l’elemento neutro, cioè esiste una frazione   tale che per qualunque frazione   si abbia   cioè  ;
  • elemento inverso: per ogni frazione algebrica   esiste la frazione opposta   tale che  

Quest’ultima proprietà ci permette di trattare contemporaneamente l’operazione di addizione e di sottrazione con la somma algebrica, come abbiamo fatto tra numeri relativi;   omettendo il segno di addizione “ ” e togliendo le parentesi diventa  ;   omettendo il segno di sottrazione “ ” e togliendo le parentesi diventa  . Come per i numeri relativi, quando si parlerà di somma di frazioni si intenderà “somma algebrica”.

Esempio:

Le frazioni   hanno lo stesso denominatore.

Poniamo le     da cui  , quindi

 

Osservazione: A questo caso ci si può sempre ricondurre trasformando le frazioni in maniera che abbiamo lo stesso denominatore. Si potrebbe scegliere un qualunque denominatore comune, ad esempio il prodotto di tutti i denominatori ma per semplificare i calcoli scegliamo il   dei denominatori delle frazioni addendi.

Esempio:

 .

Dobbiamo trasformare le frazioni in modo che abbiano lo stesso denominatore:

  • calcoliamo il  ;
  • poniamo le     da cui   e  ;
  • dividiamo il   per ciascun denominatore e moltiplichiamo il quoziente ottenuto per il relativo numeratore:
 
  • la frazione somma ha come denominatore lo stesso denominatore e come numeratore la somma dei numeratori:
 

Esempio:

 .
  • Scomponiamo in fattori i denominatori:
 

il   è  ;

  • poniamo le     da cui    ,   e  ;
  • dividiamo il   per ciascun denominatore e moltiplichiamo il quoziente ottenuto per il relativo numeratore:
 
  • eseguiamo le operazioni al numeratore:
 
  • semplifichiamo la frazione ottenuta, dopo aver scomposto il numeratore:
 

Esempio:

 .
  • Scomponiamo in fattori  , essendo gli altri denominatori irriducibili:   che è anche il   dei denominatori;
  • poniamo le     da cui    ,   e  ;
  • dividiamo il   per ciascun denominatore e moltiplichiamo il quoziente ottenuto per il relativo numeratore:
 
  • eseguiamo le operazioni al numeratore:
 
  • semplifichiamo la frazione ottenuta, dopo aver scomposto il numeratore. La frazione somma è:
     

Esercizi del capitolo

modifica